计算方法Chapter02 - 数值积分

1、二数值积分2数值积分数值积分数值积分概述数值积分概述机械求积公式机械求积公式求积公式的代数精度求积公式的代数精度牛顿牛顿-柯特斯（柯特斯（Newton-Cotes ）求积公式）求积公式复化求积复化求积龙贝格（龙贝格（Romberg） 求积求积高斯（高斯（Gauss）求积）求积数值微分数值微分3数值积分概述数值积分概述设函数设函数 f (x) 在积分区间在积分区间 a, b 上连续，且上连续，且 F (x) =) = f (x) ，理论上可以用，理论上可以用牛顿牛顿-莱布尼兹公式计算定积分：莱布尼兹公式计算定积分：( )d( )( )baf xxF bF a= 然而在生产实践和科学研究中，极少直

2、接用上然而在生产实践和科学研究中，极少直接用上述公式进行求积。述公式进行求积。原函数无法用简单的初等函数表示出来原函数无法用简单的初等函数表示出来22sin1sind ,d ,ed ,dlnbbbbxaaaaxxxxxxxx 4数值积分概述（续）数值积分概述（续） 被积函数被积函数 f (x) 是以表格形式给出，无法得到它的原是以表格形式给出，无法得到它的原函数函数f (x) 的原函数能用初等函数表示，但表达式过于复的原函数能用初等函数表示，但表达式过于复杂，利用牛顿杂，利用牛顿-莱布尼兹公式直接求积不方便莱布尼兹公式直接求积不方便1010222232d44ln 228xxxxaxbaxbxc

3、xaxbxcaacbaxbaaxbxca = 5机械求积机械求积0 xyabxf (x)y = f (x)( )d()( )baf xxbafx x= 积分中值定理：积分中值定理：f (x) 在积分在积分区间区间 a, b 上上的平均高度的平均高度未知未知6机械求积（续）机械求积（续）( )d()2baabf xxbaf 中矩形公式：中矩形公式：( )4( )2( )d()6baabf aff bf xxba 辛普森（辛普森（Simpson）公式：）公式：( )( )( )d()2baf af bf xxba 梯形公式：梯形公式：( )fx x的的近近似似值值7机械求积（续）机械求积（续）可以

4、在积分区间可以在积分区间 a, b 中选择若干个节点中选择若干个节点 xi，用这些，用这些节点处的高度（函数值节点处的高度（函数值 f (xi)）的）的加权平均值近似替近似替代代 f (x x)，从而构造出如下所示的求积公式：，从而构造出如下所示的求积公式：0( )d()nbiiaif xxA f x= = 求积系数求积节点0011( )d()()()()bnnaf xxbak f xk f xk f x 其中加权系数：其中加权系数：011nkkk=更一般的形式：更一般的形式：8机械求积（续）机械求积（续）特点：特点：求积系数求积系数 Ai 仅与节点仅与节点 xi 和积分区间宽度有关，与被和积

5、分区间宽度有关，与被积函数积函数 f (x) 的具体形式无关的具体形式无关公式具有通用性公式具有通用性避开了原函数的求解计算避开了原函数的求解计算0( )d()nbiiaif xxA f x= = 机械求积公式：机械求积公式：9代数精度代数精度0( )d()nbiiaif xxA f xR= = 余项代数精度的定义对于一切次数对于一切次数 m 的多项式均准确成立，而对于的多项式均准确成立，而对于次数次数 m 的某个多项式不能准确成立，则称该求积公的某个多项式不能准确成立，则称该求积公式具有式具有 m 次代数精度。次代数精度。0( )d()nbiiaif xxA f x= = 如果求积公式：如果

6、求积公式：10代数精度（续）代数精度（续）考查梯形公式的代数精度考查梯形公式的代数精度( )( )( )d()2baf af bf xxba 零次多项式零次多项式( )()f xc= =设设常常数数d()bbaacxcxc ba= 左左边边()()2ccbac ba =右右边边梯形公式对一梯形公式对一切零次多项式切零次多项式均准确成立均准确成立11代数精度（续）代数精度（续）一次多项式一次多项式( )( ,)f xcxdc d=设设为为常常数数222()()d()22bbbaaacxc bacxdxdxd ba = 左左边边 22()()()21()()()2()22cadcbdbac bab

7、ac badd ba= =右右边边梯形公式对一梯形公式对一切一次多项式切一次多项式均准确成立均准确成立12代数精度（续）代数精度（续）二次多项式二次多项式2( )( , ,)f xcxdxec d e=设设为为常常数数3223322()d32()()()32bbbbaaaacxdxcxdxexexc bad bae ba= 左左边边22222222()()()21()()()22()()()()22cadaecbdbebabac bad baec babad bae ba=右右边边不不恒恒等等130101()dbkkaa xa xa xx 代数精度（续）代数精度（续）如果机械求积公式对如果机械

8、求积公式对 能准确成立，则能准确成立，则它对一切它对一切 k 次代数多项式均准确成立。次代数多项式均准确成立。,0,1,jxjk= =机械求积公式对一切机械求积公式对一切 均准确成立，则有：均准确成立，则有：,(0)jxjk0001100dddnbiiainbiiainbkkiiaixxA xxxA xxxA x= = = = = = = 0101dddbbbkkaaaaxxaxxaxx=0101000nnnkiiiikiiiiiaA xaA xaA x=01010()nkiiikiiA a xa xa x= = 14代数精度（续）代数精度（续）10121( )d( 1)(0)(1)f xxA

9、 fA fA f 已已知知，试试确确定定系数系数 A0, A1, A2，使得上式的代数精度尽可能高。，使得上式的代数精度尽可能高。 解：分别设解：分别设 f (x) = = 1, x, x2，则有：，则有：0120202202 3AAAAAAA=三式联立解得：三式联立解得：0121 3,4 3,1 3AAA=11( )d ( 1)4 (0)(1) 3f xxfff 则则153( )0f xx=取取，则则左左边边右右边边1441( )d2 52 3f xxxx = 取取，左左边边右右边边所以上述求积公式的代数精度为所以上述求积公式的代数精度为 3代数精度的求法： 考查考查 f (x) = = 1

10、, x, x2, x3，依次验证求积公式，依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的机械求积等式的是否成立，若第一个不成立的机械求积等式的 f (x) 是是 xm，则求积公式的代数精度为，则求积公式的代数精度为 m 1。11( )d ( 1)4 (0)(1) 3f xxfff 16代数精度（续）代数精度（续）定理定理： 对于任意给定的对于任意给定的 n 1 个互异的求积节点个互异的求积节点012.naxxxxb总存在系数总存在系数 A0, A1, . , An，使得求积公式，使得求积公式 0( )d()nbiiaif xxA f x= = 的代数精度的代数精度至少至少为为 n。 17代数精度（

11、续）代数精度（续）0( )d()nbiiaif xxA f x= = 对于对于( )1, ,nf xxx= =准确成立准确成立01202220011220111001122012211由得：由得：由得：nbianinbianninnnnnbnnnnianniAxAAAAbaxbaA xA xA xA xA xxbaA xA xA xA xA xnn= = = = = = 证证-1：若机械求积公式具有至少若机械求积公式具有至少n次代数精度次代数精度则则182201330122012111111231nnnnnnnnnbabaAAxxxxbaAxxxxAban= 代数精度（续）代数精度（续）在求积

12、节点给定的情况下，求积公式的构造本质在求积节点给定的情况下，求积公式的构造本质上是个解线性方程组的代数问题。上是个解线性方程组的代数问题。系数行列式为范德蒙行列式系数行列式为范德蒙行列式V，当求积节点互异时，当求积节点互异时， V 0,则求积系数则求积系数Ak唯一存在。唯一存在。0()jii j nVxx = = 范德蒙行列式范德蒙行列式19( )f x若若 是不高于是不高于 n 次的代数多项式，则次的代数多项式，则(1)( )0nfx = =代数精度（续）代数精度（续）证证-2：若已知插值节点：若已知插值节点 处的函数值处的函数值，则可构造，则可构造 n 次代数多项式：次代数多项式：01,n

13、xxx01(),(),f xf x,()nf x0( )() ( )nniiiLxf x l x= = = ( )( )( )nf xLxR x=(1)( )( )(1)!nfxnx x (1)0( )d( )d( )d1()( )d( )( )d(1)!bbbnaaanbbniiaaif xxLxxR xxf xl xxfxxnxx = = 0= =20插值型求积公式插值型求积公式012.,()niiaxxxxbxf x设设，根根据据可可以以构构造造 n 次次 Lagrange 插值多项式：插值多项式：0( )() ( )nniiiLxf x l x= = = 去逼近去逼近 f (x)。因此

14、：。因此：00( )d( )d() ( ) d( )d()bbnaanbiiainbiiaiIf xxLxxf x l xxl xxf x= = = = = 0( )d()nbiiaif xxA f x= = 插值型求积公式插值型求积公式21插值型求积公式（续）插值型求积公式（续）给定给定 n 1 个积分节点个积分节点 xi 以及相应的函数值以及相应的函数值 f (xi)，i = = 0,1, 0,1, . , , n。则求积公式：。则求积公式：0( )d()nbiiaif xxA f x= = 代数精度至少有代数精度至少有 n 次次求积公式为插值型求积公式为插值型证证：必要性：必要性：以以

15、为插值节点的为插值节点的 Lagrange 插值插值基函数基函数 也是一个也是一个 n 次代数多项式，次代数多项式，如求积公式的代数精度至少有如求积公式的代数精度至少有 n 次，则：次，则：01.,nxxx( ),0,1,il xin= =0( )d()nbij ijajl xxA l x= = = 10jiji= = = = iA= =22( )f x若若 是不高于是不高于 n 次的代数多项式，则次的代数多项式，则(1)( )0nfx = =充分性充分性：若已知插值节点：若已知插值节点 处的函数值处的函数值，则可构造，则可构造 n 次代数多项式：次代数多项式：01,nxxx0(),f x,(

16、)nf x0( )() ( )nniiiLxf x l x= = = ( )( )( )nf xLxR x=(1)( )( )(1)!nfxnx x (1)0( )d( )d( )d1()( )d( )( )d(1)!bbbnaaanbbniiaaif xxLxxR xxf xl xxfxxnxx = = 0= =插值型求积公式（续）插值型求积公式（续）23插值型求积公式（续）插值型求积公式（续）例：已知某求积公式例：已知某求积公式试问该机械求积公式是插值型的吗？试问该机械求积公式是插值型的吗？4016 (1)12 (2)8 (4)( )d9ffff xx 解：根据已知的三个求积节点解：根据已

17、知的三个求积节点 进行进行Lagrange 插值，则插值基函数为：插值，则插值基函数为：0121,2,4xxx=20(2)(4)1( )(68)(12)(14)3xxlxxx=21(1)(4)1( )(54)(21)(24)2xxlxxx= = 22(1)(2)1( )(32)(41)(42)6xxlxxx=24434200011 6416( )d383 168433339xlxxxxA= = 0 0201( )(68)3lxxx=211( )(54)2lxxx= = 221( )(32)6lxxx=4016 (1)12 (2)8 (4)( )d9ffff xx 4342101151 6454

18、( )d416442322323xlxxxxA= = = = = = 0 04342202131 6438( )d216246326329xlxxxxA= = 0 0所以原机械求积公式是插值型的求积公式。所以原机械求积公式是插值型的求积公式。25牛顿牛顿-柯特斯（柯特斯（Newton-Cotes）公式公式如果将积分区间如果将积分区间 a, b 分为分为 n 等分，其求积节点等分，其求积节点 xi 为：为：以上述以上述 n 1 个求积节点为插值节点，构建被积函个求积节点为插值节点，构建被积函数数 f (x) 的的 n 次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式 Ln(x)，则有：，则有：上式中，上

19、式中， 表示各等分小区间的宽度。表示各等分小区间的宽度。bahn = =,0,1,2,ixaihin=26牛顿牛顿-柯特斯求积公式（续）柯特斯求积公式（续）( )d( )dbbnaaf xxLxx Ci 柯特斯系数柯特斯系数0() ( ) dnbiiaif x l xx= = = 0()( )dnbiiaif xl xx= = = 0( )d()()bniaiil xxbaf xba= = 27牛顿牛顿-柯特斯求积公式（续）柯特斯求积公式（续）( )dbiail xxCba= = xath=积积分分变变量量替替换换：0 xa tbaxb tnh= = 0,njjj iijxxxx= ddxh

20、t= =nhjxajh=bahn = =00,1()d()nnijj iathajhCh tnhaihajh= = 2800,( 1)() d! ()!n innjj itjtnini = = 00,1()d()nnijj iathajhCh tnhaihajh= = 000,0,11ddnnnnijj ijj itjtjCh ttnhijnij=00,11111() d0(1)(1)nnjj itjtniiiiiin= 00,11111() d!(1)(2)nnjj itjtn iiiiiin= 00,11111() d!12nnjj itjtn ini= = bahn = =29牛顿牛顿-

21、柯特斯求积公式（续）柯特斯求积公式（续）( )11221416663311888832327127909090909019755050751928828828828828828821621641272722741840840840840840840840751357713232989298913233577751172801728017280172801728017280172801728098958882835012345678ninC9281049645401049692858889892835028350283502835028350283502835028350负数01niiC= =

22、= 30牛顿牛顿-柯特斯公式的稳定性柯特斯公式的稳定性如考虑计算如考虑计算 时产生的舍入误差时产生的舍入误差()if xi 0( )d() ()nbiiiaif xxbaCf x = = 则由舍入误差引起的积分误差为：则由舍入误差引起的积分误差为：00() ()()()nniiiiiiibaCf xbaC f x=0()niiibaC = = 0( )d()()nbiiaif xxbaC f x= = Newton-Cotes 公式：公式：310()niiibaC= = 记记maxmax|,0,1,iin=0|()niiibaC= = 0()| |niiibaC = = max0()|niib

23、aC = = 0()|niiibaC = = 时，时， 皆为正，故：皆为正，故：7n iC00|1nniiiiCC=max|()ba时，时， 出现负数，出现负数， 随着随着 n 的增加而不断增大的增加而不断增大8n 0|niiC= = iC无上界无上界| 由舍入误差引起的积分误差由舍入误差引起的积分误差有上界有上界由舍入误差引起的积分误差由舍入误差引起的积分误差无上界无上界32梯形公式梯形公式若积分区间若积分区间 a, b 两端点处的函数值两端点处的函数值 f (a), f (b) 为已为已知，可应用线性插值公式知，可应用线性插值公式 p1(x) 在区间在区间 a, b 上的积上的积分来近似替

24、代分来近似替代 f (x) 在在 a, b 上的积分，即牛顿上的积分，即牛顿-柯特柯特斯公式中取斯公式中取 n = = 1 的情况。的情况。当当 n = = 1 时，时，C0(1) = = C1(1) = = 1/2 ，于是有：于是有：11( )d()( )( )22( )( )()2baf xxbaf af bf af bba 33梯形公式（续）梯形公式（续）xy0ABy = p1(x)y = f (x)f (a)abf (b)梯形公式的几何意义是用四边梯形的面积近似代替梯形公式的几何意义是用四边梯形的面积近似代替 y = = f (x) 围成的曲边梯形的面积。围成的曲边梯形的面积。34辛普

25、森公式辛普森公式若积分区间若积分区间 a, b 两端点以及积分区间中点两端点以及积分区间中点 (a b)/2 处的函数值处的函数值 f (a), f (b), f (a b)/2 为已知，可应用抛为已知，可应用抛物线插值公式物线插值公式 p2(x) 在区间在区间 a, b 上的积分来近似替上的积分来近似替代代 f (x) 在在 a, b 上的积分，即牛顿上的积分，即牛顿-柯特斯公式中取柯特斯公式中取 n = = 2 的情况。的情况。当当 n = = 2 时，时，C0(2) = = C2(2) = = 1/6 ， C1(2) = = 4/6 ，从而：从而：141( )d()( )( )6626(

26、 )4( )2()6baabf xxbaf aff babf aff bba 35辛普森公式（续）辛普森公式（续）xyaby = p2(x)y = f (x)02ab辛普森公式的几何意义为用抛物线辛普森公式的几何意义为用抛物线 y = = p2(x) 围成的围成的曲边梯形面积近似代替曲边梯形面积近似代替 y = = f (x) 围成的曲边梯形的面围成的曲边梯形的面积。积。36柯特斯（柯特斯（Cotes）公式）公式当当 n = = 4 时，由四次时，由四次 Lagrange 插值式推导而得的求插值式推导而得的求积公式称为柯特斯（积公式称为柯特斯（Cotes）公式：）公式：01234( ) d7(

27、)32 ()12 ()32 ()7()()90baf xxf xf xf xf xf xba 01234234xaxahxahxahxahb= = = = = = 4bah = =37牛顿牛顿-柯特斯公式余项柯特斯公式余项定理：定理：对于对于 n 阶阶 Newton-Cotes 公式，当公式，当 n 为偶数时，为偶数时，其代数精度至少可以达到其代数精度至少可以达到 n 1若若 f (x) 为为 n 1 次代数多项式，则：次代数多项式，则：(1)1( )(1)!nnfxan =1(0)(1)()nhtttn 101( )()()()nnxxxxxxx =()ddiibahnxathxaihxxt

28、i hxh t = = =积分区间积分区间变为变为0, n2(1)0()(0)(1)()d(1)!nnnxhRftttntnx x = (1)1()( )d(1)!nbxnafRxxnx x = = 证明：证明：38210210(1)!(0)(1)()d(1)!(0)(1)()dnnnnnnhRantttntnahtttnt = = n 为偶数，为偶数，2nm= =变量替换：变量替换：utm=dd0tutumtumtnum= = = =2121()(1)(2)d()(1)()dmnnmmnnmRahum umummuahum umumu = 设设( )()(1)(1)()g uum umumu

29、m=21()()(1)(1)()( 1)()(1)(1)()( )mguumumumumum umumumg u = = = = = = 0= =2(1)0()(0)(1)()d(1)!nnnthRftttntnx x = 39补充：积分第二中值定理补充：积分第二中值定理设设 f (x) 在区间在区间 a, b 上连续，上连续，g (x) 在区间在区间 a, b 上不变号，则必存在一点上不变号，则必存在一点 a, b ，使得：，使得：( )( )d( )( )dbbaaf xg xxfg xx =( )mf xM最大值最小值定理最大值最小值定理：不妨考查不妨考查 g (x) 0( )( ) (

30、 )( )m g xf x g xM g x( )d( ) ( )d( )dbbbaaamg xxf x g xxMg xx( ) ( )d( )dbabaf x g xxmMg xx 介值定理：介值定理：( ) ( )d( )( )dbabaf x g xxfg xx = = , a b 40梯形公式的余项梯形公式的余项设设 f (x) 在在 a, b 上有二阶连续导数上有二阶连续导数2(1)0()(0)(1)()d(1)!nnnthRftttntnx x = 1 21(1 1)0()(0)(1)d(11)!TthRftttx x = 3120()()d2thftttx x = 133321

31、200( )()d( )2232hhttftttf= 3311( )12( )232hhff= = , a b 21124thba=41辛普森公式的余项辛普森公式的余项bsxaabRISfxaxxbx1()()()()d3!2x x = 积分核积分核()()()2abxaxxb 在区间在区间a,b上不保号，上不保号，则，不能直接应用积分中值定理则，不能直接应用积分中值定理.( )()()()d2bsaabRfxaxxbx = 由于辛普森公式代数精度为由于辛普森公式代数精度为 3，可知其余项为某个，可知其余项为某个三次插值多项式的截断误差在三次插值多项式的截断误差在 a, b 上的积分上的积分.

32、构造三次构造三次 Hermite 插值多项式插值多项式H3(x)满足：满足：3333( )( ),22( )( ),22ababHaf aHfababHbf bHf=42辛普森公式的余项辛普森公式的余项可知，辛普生公式对三次插值多项式可知，辛普生公式对三次插值多项式H3(x)能准确能准确成立成立.2(4)3()()()4!2xfabRxaxxbx x =其截断误差为：其截断误差为：即即3333( )d( )4()( )62babaabHxxHaHHb= 3 ( )( )dbsaRISf xHxx= 设设 f (x) 在在 a, b 上有四阶连续导数上有四阶连续导数432(4)3()()()4!

33、2xfabRxaxxbx x =bxSafabRxaxxbx2(4)()()()d4!2x x = , ()()0 xa bxaxb 所以：所以：恒为负恒为负2(4)( )()()d4!2bafabxaxxbx = (4)2( )() ()d4!hShfRth ttht = (4)222( )()d4!hhfth tt = 作变量替换：作变量替换：2abtx =并记：并记：2bah = =,ddxa thxb thxt= = = =44(4)222( )()d4!hShfRth tt = (4)42 2( )()d4!hShfRth tt = (4)42 202( )()d4!hfth tt

34、= (4)53202( )4!53hftth =2bah = =5(4)90( )hf = = (4)5322( )4!53fhhh =(4)52( ) 22415fh = = , a b 45柯特斯公式的余项柯特斯公式的余项设设 f (x) 在在 a, b 上有六阶连续导数上有六阶连续导数柯特斯公式柯特斯公式7(6)8945( )ChRf = = 其截断误差为：其截断误差为：01234( ) d7()32 ()12 ()32 ()7()()90baf xxf xf xf xf xf xba 代数精度为代数精度为 5 , a b 4bah = =46例题例题解：解： 1) n = = 2 时时

35、123322221141ed(31)eee0.766575505666xx = = 2) n = = 3 时时571336622211331ed(31)eeee88880.766916279xx = = 32123Newton-Cotesedxnnx = 用用和和的的公公式式求求的的近近似似值值321ed0.7668009991xx 的的准准确确值值为为47复化求积复化求积Newton-Cotes 公式实质上是以积分区间内的等距节点公式实质上是以积分区间内的等距节点为插值节点，通过构造被积函数的为插值节点，通过构造被积函数的 Lagrange 插值多插值多项式而推导出的求积公式项式而推导出的求

36、积公式在一定范围内，求积公式的代数精度随插值节点的增在一定范围内，求积公式的代数精度随插值节点的增加而提高加而提高高次插值容易产生高次插值容易产生 Runge 现象现象n 较大时，较大时， Newton-Cotes 系数既不容易求解，且出系数既不容易求解，且出现负数项，同时求积产生的误差涉及到高阶导数，不现负数项，同时求积产生的误差涉及到高阶导数，不易估计易估计48复化求积（续）复化求积（续）从余项的讨论看到，积分区间越小，求积公式的截从余项的讨论看到，积分区间越小，求积公式的截断误差也越小。因此，我们经常把积分区间分成若断误差也越小。因此，我们经常把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上采用

37、次数不高的插值公干小区间，在每个小区间上采用次数不高的插值公式，构造出相应的求积公式，然后再把它们加起来式，构造出相应的求积公式，然后再把它们加起来得到整个区间上的求积公式，这就是得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。复化求积公式克服了高次复化求积公式克服了高次 Newton-Cotes 公式计算不公式计算不稳定的问题，其运算简单且易于在计算机上实现。稳定的问题，其运算简单且易于在计算机上实现。常用的复化求积公式是常用的复化求积公式是复化梯形公式和和复化抛物线公式49复化梯形公式复化梯形公式将区间将区间 a, b 划分为划分为 n 等分，积分节点表示为等分，积分节点表示为 0

38、,1,ixaihin=11()()( )d2iixiixf xf xf xxh 每个小区间每个小区间 xi, xi 1 上的积分为：上的积分为：小区间的长度称为小区间的长度称为步长步长：bahn = =50复化梯形公式（续）复化梯形公式（续）f (x)在区间在区间 a, b 上的积分为每个小区间上的积分为每个小区间 xi, xi 1 上上的积分之和，即：的积分之和，即：nT( )dbnaTf xx= = 110( )diinxxif xx = = 11( )2()( )2niihf af xf b = = 01n2h中间节点中间节点2h 51f (x)在区间在区间 a, b 上的积分为每个小区

39、间上的积分为每个小区间 x2i, x2i22 上上的积分之和，即：的积分之和，即：222101121201( )d( )d2( )4()2()( )6iimbxnaximmiiiiSf xxf xxhf af xf xf b = = = nS偶数节点偶数节点复化辛普森公式复化辛普森公式22222122()4 ()()( )d26iixiiixf xf xf xf xxh 将区间将区间 a, b 划分为偶数等分划分为偶数等分 n = = 2m，每个小区间，每个小区间 x2i, x2i22 上的积分为：上的积分为：其中步长其中步长 h = (= (b a)/n奇数奇数节点节点5211212012(

40、 )4()2()( )6mmniiiihSf af xf xf b =2h12630n4578头头节节点点尾尾节节点点奇奇数数节节点点偶偶数数节节点点n 为偶数为偶数26h 53复化柯特斯公式复化柯特斯公式44410114142001143401( )d( )d47 ( )32()12()9032()14() 7 ( )iimbxnaximmiiiimmiiiiCf xxf xxhf af xf xf xf xf b = = = 444441424344( )d7 ()32 ()12 ()32 ()7 ()490iixxiiiiif xxf xf xf xf xf xh 将区间将区间 a, b

41、 划分为偶数等分划分为偶数等分 n = = 4m，每个小区间，每个小区间x4i, x4i44 上的积分为：上的积分为：步长步长bahn = =54例题例题用复化梯形公式用复化梯形公式 T7 计算计算2604sindxx 671( )2()( )2iihTf af xf b= = 解解：步长：步长067742bah =42ixaihi =其中：其中：71.035T 将数据代入求得：将数据代入求得：2604sind31.04719755xx = = 的的准准确确值值复化求积公式的截断误差复化求积公式的截断误差55梯形公式的余项：梯形公式的余项：3( ), , ,12ThRfa bhba = = =

42、因此每个小区间因此每个小区间 xi, xi 1 的余项：的余项：3( )1.(),0,1,112iTiiiihRfxxin = = =复化梯形公式在整个区间复化梯形公式在整个区间 a, b 上的截断误差上的截断误差： nnninTiiiiinhhnhITRffnhffbfa33111( )002031()()1212( )( )( )1212 = = = = = , a b bahn = =复化求积公式的截断误差（续）复化求积公式的截断误差（续）56辛普森公式的余项：辛普森公式的余项：ShRfa b5(4)( ) , 90= = 复化辛普森公式的余项：复化辛普森公式的余项： nnmmiSSii

43、imhhffhnhRRffba bfa5511( )(4)54(4)(4)00( )( )( )9(2)(0180)( )9090 , = = = = = =2bah = =bahn = =2nm= =57柯特斯公式的余项：柯特斯公式的余项：7(6)8( ) , 945ChRfa b= = 复化柯特斯公式的余项：复化柯特斯公式的余项：nnmmiCCiiihfbhnhfaRRffmhfa b7711( )(6)(6)007(6(5)(56)8(4) 8()( )9459458(2( )( )945) , 945= = = = = =复化求积公式的截断误差（续）复化求积公式的截断误差（续）4bah

44、 = =bahn = =4nm= =58步长的自动选取步长的自动选取从上述误差分析可以看到，复化积分的截断误差随从上述误差分析可以看到，复化积分的截断误差随着分割因子着分割因子 n 的增大而减小，如何在求积分之前就的增大而减小，如何在求积分之前就确定确定 n 的值，使误差在允许范围之内的值，使误差在允许范围之内?尽管可以利用余项公式来估计尽管可以利用余项公式来估计 n，但由于余项公式，但由于余项公式中含有被积函数的导数，而估计各阶导数的最大值中含有被积函数的导数，而估计各阶导数的最大值往往比较困难，且用这种方法估计的误差上界一般往往比较困难，且用这种方法估计的误差上界一般偏大，在实际运用上很困

45、难。偏大，在实际运用上很困难。在实际计算中，最有效的方法是在实际计算中，最有效的方法是“事后估计误差事后估计误差法法”，它自动选取积分步长，从而在求积过程中，它自动选取积分步长，从而在求积过程中，根据精度要求，自动确定根据精度要求，自动确定 n ，并算出近似值。，并算出近似值。59步长的自动选取（续）步长的自动选取（续）具体方法如下，（假设使用复化梯形公式）具体方法如下，（假设使用复化梯形公式）1、在积分区间、在积分区间 a, b 上选用某个固定的上选用某个固定的 n，用，用 Tn近似计算近似计算( )dbaf xx 2、在第、在第 1 步的基础上将每个积分小区间分半处理，步的基础上将每个积分

46、小区间分半处理，用用T2n 近似计算近似计算( )dbaf xx 3、判断、判断 是否成立，成立则表示是否成立，成立则表示 T2n 满满足精度要求，否则在第足精度要求，否则在第 2 步的基础上将积分小步的基础上将积分小区间再分半，重复区间再分半，重复 2、3 步直至获得满足精度步直至获得满足精度要求的结果要求的结果2nnTT 60步长的自动选取（续）步长的自动选取（续）小区间小区间 ，记小区间中点：，记小区间中点：1,iix x 1212iiixxx = =该区间二分前、后的积分值分别记为：该区间二分前、后的积分值分别记为：12,iiTT11 ()()2iiihTf xf x =1122212

47、2 ()() ()()22iiiiihhTf xf xf xf x =121 ()()()42iiihhf xf xf x =1211()22iihTf x =1220nniiTT = = = 12111001()22nniiiihTf x =12101()22nniihTf x = = ban 二分前的步长二分前的步长二二分分点点的的被被积积函函数数值值61h头头节节点点尾尾节节点点二二分分点点原原中中间间节节点点121201()22nnniihTTf x = = 2h 22h 62龙贝格（龙贝格（Romberg）求积公式）求积公式 32211002()()1212( )d( )( )121

48、2nnniiiibahhITfhfhfxxfbhfaxxxx= = = = 2221( )( )12211( )( )()4124nnhITfbfahfbfaIT =复化梯形求积，积分区间分为复化梯形求积，积分区间分为 n 等分的截断误差为：等分的截断误差为：积分区间分为积分区间分为 2n 等分的截断误差为：等分的截断误差为：bahn = =6321()4nnITIT24()nnITIT2233nnnITTT221()3nnnITTT叠加上误差，可得到比叠加上误差，可得到比 更精确的积分值：更精确的积分值：2nT221()3nnnTTTT=1211201442( )2() 2()( )332n

49、nniiiihTf af xf xf b =bahn = =1211012 ( )4() 4() 2 ( )6nniiiihf af xf xf b =24133nnTT = =64121120142 ( )4() 4()2 ( )36nnniiiihTf af xf xf b =1111( )2()( )33 2nniihTf af xf b = = 24133nnTTT=121101( )4() 2()( )6nniiiihf af xf xf b =nS= =11( )2()( )6niihf af xf b = = nnnTTS24133=655(4)( )90nSmhRf = = (

50、 )( )( )()f bf afbax x =微分中值定理：微分中值定理：7(6)8( )945nCmhRf = = 4(4)1( )90 2hnh f = = 4(4)()( )180hbaf = = 4( )( )180hfbfa 4h 6(6)81( )945 4hnh f = = 6(6)2()( )945hbaf = = 6(5)(5)2( )( )945hfbfa 6h 66龙贝格求积公式（续）龙贝格求积公式（续）2nTRh 214nnITIT 24133nnTT 4nSRh 2116nnISIS 21611515nnSS 6nCRh 2164nnICIC 26416363nnC

51、C nS= =nC= =nR= =6716T32TS1S2S16S8S4C1C8C4C2R4R2R1达到精度要求了吗 ？12121()22nnniiThTf x = = 二分前的步长二分前的步长1T2T4T8TnnnnnnnnnSTTCSSRCC222411616413315156363=高斯（高斯（Gauss）求积公式）求积公式nbkkakIf x dxA f x0( )()= = 我们能否通过节点的选择将求积公式的代数精我们能否通过节点的选择将求积公式的代数精度从度从n 或者或者n+1提高到提高到2n+1？kkx Akn,(0,1,2, )= =问题：问题：若求积公式若求积公式中含有中含有

52、2n+2个待定参数个待定参数68高斯（高斯（Gauss）求积公式）求积公式69nbkkakf x dxA f x0( )()= = 定义：定义：把具有把具有n1个节点的具有个节点的具有2n+1次代次代数精确度的插值型求积公式数精确度的插值型求积公式 称为称为Gauss型求积公式型求积公式，其求积节点，其求积节点 （k=0，1，n）称为称为高斯点高斯点，系数，系数 称为称为高斯系数高斯系数。 kxkA注意注意：构造：构造Gauss型求积公式的关键在于确定高斯点，型求积公式的关键在于确定高斯点，再由再由n1个高斯点构造基函数，从而得到高斯系数。个高斯点构造基函数，从而得到高斯系数。70（法二）（法

53、二）令公式对令公式对 准确成立，有准确成立，有32, 1)(xxxxf= =210= = AA01100= = xAxA32211200= = xAxA0311300= = xAxA)()()(110011xfAxfAdxxf 例例解解 （法一）（法一）利用利用n =1时的时的Newton-Cotes公式，有公式，有)1()1()(11ffdxxf 代数精度为代数精度为1 1。,31,3110= = = =xx110= = = AA)31()31()(11ffdxxf 它至少有它至少有3 3次代数精确度，而以两个端点为节点的梯形次代数精确度，而以两个端点为节点的梯形公式却只有公式却只有1 1次

54、代数精度。次代数精度。高斯（高斯（Gauss）求积公式）求积公式不是线性方程组，不是线性方程组，不易求解。不易求解。71证明证明:“” x0 xn 为为 Gauss 点点, 则公式则公式 至少有至少有 2n+1 次代数精度。次代数精度。nbkkakf x dxA f x0( )()= = 对任意次数对任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 Pm(x)， Pm(x) (x)的次数的次数不大于不大于2n+1，则代入公式应则代入公式应精确成立精确成立：nbmkmkkakPxx dxA Pxx0( ) ( )() () = = = 0= 0 “” 要证明要证明 x0 xn 为为 Gauss 点，即要

55、证公式对任意次点，即要证公式对任意次数数不大于不大于2n+1 的多项式的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明：精确成立，即证明：nbmkmkakPx dxA Px0( )()= = = 设设)()()()(xrxqxxPm = = bbbmaaaPx dxx q x dxr x dx( )( ) ( )( ) = = 0 = = =nkkkxrA0)( = = =nkkmkxPA0)( 求求 Gauss 点点 求求 (x) x0 xn 为为 Gauss 点点 与任意次与任意次数不大于数不大于n 的多项式的多项式 P(x) 正交正交。= = = =nkkxxx0)()( 定理定理高斯（高斯（Ga

56、uss）求积公式）求积公式72在在Gauss型求积公式型求积公式 中，若取中，若取 则公式的左边则公式的左边 而右边而右边 故故n+1个节点的个节点的GaussGauss型求积公式的代数精度型求积公式的代数精度至多为至多为2n+1次。次。nbkkakf x dxA f x0( )()= = nkkf xxxx220( )( )() = = = bax dx2( )0 nkkkAx2()0 = = n+1个节点的插值型求积公式至少可达到个节点的插值型求积公式至少可达到n次次 代数精度，至多只能达到代数精度，至多只能达到2n+1次代数精度。次代数精度。n+1个求积节点的插值型求积公式代数精度的最高

57、个求积节点的插值型求积公式代数精度的最高值为值为2n+1，因而高斯型求积公式常称为最高代数，因而高斯型求积公式常称为最高代数精度求积公式。精度求积公式。高斯（高斯（Gauss）求积公式）求积公式73勒让德勒让德(Legendre)多项式多项式定义：定义：以高斯点以高斯点xk（k=0,1,2,n）为零点的）为零点的n+1次式次式nniniPxxxxxxxxxxx10121( )()()()()() = =，称为勒让德称为勒让德(Legendre)多项式多项式nnnnndPxxndx12111(1)!( )(1)(22)! = 根据高斯点的特点，可求出根据高斯点的特点，可求出n+1次勒让德多项式为

58、：次勒让德多项式为：74例：例： 一次一次LegendreLegendre多项式及其零点为：多项式及其零点为：P xxx10( ),0= 二次二次LegendreLegendre多项式及其零点为：多项式及其零点为：P xxxx2201133( ),333= = = 三次三次LegendreLegendre多项式及其零点为：多项式及其零点为：P xxxxxx33012333( ),0,555= = =勒让德勒让德(Legendre)多项式多项式75当高斯点确定以后，高斯系数当高斯点确定以后，高斯系数kA kn(0,1, )= =nbkaknbkkaknbnnkkakdxAxdxA xx dxA x000= = = = = = = = = = 确定确定. .即可由线性方程组即可由线性方程组也可以由也可以由插值插值型求积公式中的系数公式型求积公式中的系数公式bkkaAlx dx( )= = 确定。确定。高斯高斯-勒让德求积公式勒让德求积公式76nkkkf x dxA f x110( )() = = 为 的零点 。kxkn(0,1, )= =nnnnndPxxndx1211111( )(1)(1)!2 = kknkAxPx2212(1)() = = kn(0,1, )= =一点一点Gaus