数学归纳法理学习教案

1、数学数学(shxu)归纳法理归纳法理第一页，共49页。怎怎 么么 考考1.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数列用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数列 有关的命题是高考命题的热点有关的命题是高考命题的热点2.题型为解答题，着重考查数学归纳法的应用及学生的题型为解答题，着重考查数学归纳法的应用及学生的 逻辑推理能力，难度中、高档逻辑推理能力，难度中、高档.第1页/共49页第二页，共49页。第2页/共49页第三页，共49页。 数学归纳法数学归纳法 证明一个与正整数证明一个与正整数n有关有关(yugun)的命题，可按下列步骤：的命题，可按下列步骤：1(归纳奠基归纳奠基)证明当证明当n

2、取取 时命题成立；时命题成立；2(归纳递推归纳递推)假设假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题成立，证明当 时命题也成立时命题也成立只要只要(zhyo)完成这两个步骤，就可以断定命题对从完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的开始的所所有正整数有正整数n都成立都成立第一个值第一个值n0(n0N*)nk1第3页/共49页第四页，共49页。第4页/共49页第五页，共49页。答案答案(d n)： B 解析：解析： n为偶数为偶数(u sh)故假设故假设nk成立后，再证成立后，再证nk2时等式成立时等式成立第5页/共49页第六页，共49页。答案答案(d n)： D2用数学用数学(shx

3、u)归纳法证明归纳法证明“12222n22n3 1”，在验证，在验证n1时，左边计算所得的式子为时，左边计算所得的式子为 ()A1 B12C1222 D122223解析解析(ji x)：由：由n1时，左时，左122223.第6页/共49页第七页，共49页。第7页/共49页第八页，共49页。答案答案(d n)： D第8页/共49页第九页，共49页。答案答案(d n)：2k第9页/共49页第十页，共49页。答案答案(d n)： 3解析解析(ji x)：第一步检验的第一个值：第一步检验的第一个值n0应应为为3.第10页/共49页第十一页，共49页。 数学归纳法的应用数学归纳法的应用(1)数学归纳法是

4、一种只适用于与正整数有关的命题的证数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础递推的基础(jch)，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着着“已知条件已知条件”的作用，在的作用，在nk1时一定要运用它，否则就不是时一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是数学归纳法第二步的关键是“一凑假设，二凑结论一凑假设，二凑结论”(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到到k1 时命题

5、中的项与项数的变化，防止对项数估算错误时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误第11页/共49页第十二页，共49页。第12页/共49页第十三页，共49页。精析考题精析考题(ko t)例例1求证：求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)第13页/共49页第十四页，共49页。自主解答自主解答(jid)当当n1时，等式左边时，等式左边2，右边，右边2，故等，故等式成立；假设当式成立；假设当nk时等式成立，时等式成立，即即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当那么当nk1时，时，左边左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2

6、k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，这就是说当，这就是说当nk1时等式也成立时等式也成立综上可知原等式对于任意正整数综上可知原等式对于任意正整数n都成立都成立第14页/共49页第十五页，共49页。巧练模拟巧练模拟(mn)(课堂突破保分题，分分必课堂突破保分题，分分必保！保！)第15页/共49页第十六页，共49页。第16页/共49页第十七页，共49页。第17页/共49页第十八页，共49页。冲关锦囊冲关锦囊 用数学归纳法证明恒等式应注意用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值明确初始值n0的取值并验证的取值并验证nn0时等式成立时等式成立(2)由由nk证明证明nk1

7、时，弄清左边增加的项，且明确变时，弄清左边增加的项，且明确变 形目标形目标(3)掌握掌握(zhngw)恒等变形常用的方法：因式分解；添恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；拆项； 配方法配方法.第18页/共49页第十九页，共49页。第19页/共49页第二十页，共49页。第20页/共49页第二十一页，共49页。第21页/共49页第二十二页，共49页。第22页/共49页第二十三页，共49页。第23页/共49页第二十四页，共49页。第24页/共49页第二十五页，共49页。第25页/共49页第二十六页，共49页。若若x1，x2，xn为正数为正数(zhngsh)，则，则(1x1)(1x2)(1xn)1(

8、x1x2xn)(n2，nN)(*)当当n2时，时，x10，x20，(1x1)(1x2)1(x1x2)x1x21(x1x2)假设当假设当nk(k2)时，不等式成立，即若时，不等式成立，即若x1，x2，xk为为正数正数(zhngsh)，则则(1x1)(1x2)(1xk)1(x1x2xk)，第26页/共49页第二十七页，共49页。第27页/共49页第二十八页，共49页。冲关锦囊冲关锦囊1用数学归纳法证明与正整数用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有有关的不等式，一般有三种具体形式：一是直接三种具体形式：一是直接(zhji)给出不等式，按要求进行证明；给出不等式，按要求进行证明；二是比较两个式

9、子的大小，先利用二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求变量的取值范围证明；三是已知不等式成立，寻求变量的取值范围2在证明由在证明由nk到到nk1成立时，一定要用归纳假设成立时，一定要用归纳假设nk时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证明可以用放缩时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证明可以用放缩法、基本不等式、分析法等法、基本不等式、分析法等.第28页/共49页第二十九页，共49页。精析考题精析考题(ko t)例例3(2012北京海淀模拟北京海淀模拟)数列数列an满足满足Sn2nan(nN*)(1)计算计算a1，a

10、2，a3，a4，并由此猜想通项公式，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明用数学归纳法证明(1)中的猜想中的猜想第29页/共49页第三十页，共49页。第30页/共49页第三十一页，共49页。第31页/共49页第三十二页，共49页。第32页/共49页第三十三页，共49页。巧练模拟巧练模拟(课堂课堂(ktng)突破保分题，分分必保！突破保分题，分分必保！)第33页/共49页第三十四页，共49页。第34页/共49页第三十五页，共49页。第35页/共49页第三十六页，共49页。第36页/共49页第三十七页，共49页。冲关锦囊冲关锦囊(jn nn) 解解“归纳归纳猜想猜想证明证明”题的关键环节题

11、的关键环节(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础(jch)(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论(3)用数学归纳法证明之用数学归纳法证明之第37页/共49页第三十八页，共49页。第38页/共49页第三十九页，共49页。解题解题(ji t)样板样板 数学归纳法解答题的规范解数学归纳法解答题的规范解答答第39页/共49页第四十页，共49页。第40页/共49页第四十一页，共49页。第41页/共49页第四十二页，共49页。第42页/共49页第四十三页，共49页。第43页/共49页第四十四页，共49页。第44页/共49页第四十五页，共49页。第45页/共49页第四十六页，共49页。高手点拨高手点拨1解答本题时易忽略的步骤解答本题时易忽略的步骤(1)构造构造(x)后易忽略后易忽略(x)的单调性的判断尤其是其定义的单调性的判断尤其是其定义 域为域为(0，)易忽视易忽视(2)在推证在推证nk1时没有时没有(mi yu)用上归纳假设用上归纳假设第46页/共49页第四十七页，共49页。2解答本题时易出现的错误解答本题时易出现的错误(1)不会由不会由f(an1)g(an)联想到联