数学物理方法2012实用教案

1、1其中其中(qzhng)三角函数三角函数(snjihnsh)族：完备性，傅里叶级数平均族：完备性，傅里叶级数平均收敛于收敛于f(x)。狄里希利定理：狄里希利定理： 若函数若函数 f(z) 满足条件满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，在每个周期内只有有限个极值点，则三角则三角(snjio)级数收敛，且级数收敛，且级数和第1页/共30页第一页，共30页。2三角函数族：完备性的证明三角函数族：完备性的证明(zhngmng)（狄里（狄里希利定理）希利定理）帕塞瓦尔等式帕塞瓦尔等式(dng

2、sh)（能量（能量守恒）守恒）01( )cossinkkkk xk xf xaabll 第2页/共30页第二页，共30页。3频谱频谱频率频率(pnl)幅度幅度(fd)02 4 6 02E 043E 0435E 0415E 各个频率分量各个频率分量(fn ling)的幅的幅度度通常，函数通常，函数 f(t) 表示某系统按时间变化的性质，是表示某系统按时间变化的性质，是时域时域中的表示。中的表示。而在而在频域频域中，可用频谱表示。中，可用频谱表示。因此，傅里叶级数也是一种从因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换时域到频域的变换。频谱分析在现代技术中广泛使用频谱分析在现代技术中广泛使用例例:交流

3、电压交流电压 经过全波整流后的傅立叶级数经过全波整流后的傅立叶级数第3页/共30页第三页，共30页。4（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开(zhn ki)是奇函数是奇函数是偶函数是偶函数奇函数奇函数 f(z) 有有偶函数偶函数 f(z) 有有第4页/共30页第四页，共30页。5（三）（三） 有限有限(yuxin)区间中的函数的傅里区间中的函数的傅里叶展开叶展开f(x) 定义定义(dngy)于于 (0, l)可以认为它是某个周期为可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分的函数在半个周期中的部分(b fen)。即令此周期函数为。即令此周期函数为 g(x),

4、 在半周期在半周期 (0, l) 中中 g(x)=f(x) 这种这种做法叫延拓。做法叫延拓。例( ), ( )f xg x偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓第5页/共30页第五页，共30页。6（四）（四） 复数形式复数形式(xngsh)的傅里叶的傅里叶展开展开其中其中(qzhng)第6页/共30页第六页，共30页。7例：例：作业作业(zuy)：证明(zhngmng)帕塞瓦尔等式P72,1,3,4(2),5(2)(3)利用(lyng)帕塞瓦尔等式例：例：第7页/共30页第七页，共30页。8傅里叶展开傅里叶展开(zhn ki)与洛朗展与洛朗展开开(zhn ki)的关系的关系若f(z)在环域内解析(ji x)

5、，其洛朗展开若()在区间0,2连续(linx)，且为2的周期函数，其傅里叶级数为第8页/共30页第八页，共30页。9令：令：则则若若 有限有限(yuxin)，则，则5.2 傅里叶积分傅里叶积分(jfn)与傅里叶变与傅里叶变换换（一）（一） 实数实数(shsh)形式的傅里形式的傅里叶变换叶变换第9页/共30页第九页，共30页。10余弦余弦(yxin)部分的极部分的极限限正弦部分正弦部分(b fen)的的极限极限故故其中其中(qzhng)第10页/共30页第十页，共30页。11傅里叶积分定理：若函数傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间在区间(-，+)上上满足条件满足条件(1) 在任意在任意(r

6、ny)有限区间满足狄里希利条有限区间满足狄里希利条件；件；(2) 在区间在区间 (-，+ )上绝对可积（即上绝对可积（即 收敛），则收敛），则f(x) 可表为可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分傅里叶积分，且傅里叶积分值值=11( )( )cos,( )( )sin.AfdBfd 第11页/共30页第十一页，共30页。12振幅振幅(zhnf)谱和谱和相位谱相位谱为振幅(zhnf)谱为相位谱奇、偶函数奇、偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数第12页/共30页第十二页，共30页。13例例定义定义(dngy)矩矩形函数为形函数为x将矩形脉冲将矩形脉冲 展开展开(zhn ki)作傅里叶积作傅里叶积分。分。偶函数

7、偶函数(1)第13页/共30页第十三页，共30页。14（二）（二） 复数形式复数形式(xngsh)的傅里叶的傅里叶积分积分第14页/共30页第十四页，共30页。15像函数像函数(hnsh)原函数原函数例例同前例同前例(qinl)（三）（三） 傅里叶变换的基本傅里叶变换的基本(jbn)性质性质第15页/共30页第十五页，共30页。16(1) 导数导数(do sh)定理定理证明证明(zhngmng)(2) 积分积分(jfn)定定理理(3) 相似性定理相似性定理(4) 延迟定理延迟定理(5) 位移定理位移定理(6) 卷积定理卷积定理若若和和则卷积卷积第16页/共30页第十六页，共30页。傅里叶变换性

8、质傅里叶变换性质(xngzh)物理应用物理应用（1）帕塞瓦尔等式）帕塞瓦尔等式(dngsh)能量守恒能量守恒或对于实函数(hnsh)f(x),定义自相关可证其为偶函数第17页/共30页第十七页，共30页。（2）高斯函数）高斯函数(hnsh)傅里叶变换傅里叶变换令则问题(wnt)来源？问解析(ji x)延拓，取作业：作业：P82,5 及 的傅里叶变换第18页/共30页第十八页，共30页。19-RR直接(zhji)计算第19页/共30页第十九页，共30页。20数学上可以将无限小的范围数学上可以将无限小的范围(fnwi)看作有限大小范围看作有限大小范围(fnwi)的极限的极限一维一维考虑考虑(kol

9、)线质量线质量密度密度l 0 x总质量总质量(zhling)的极限下总质量不变的极限下总质量不变密度密度作为广义函数引入作为广义函数引入 函数：函数：x05.3 函数函数第20页/共30页第二十页，共30页。21性质性质(xngzh)(1) 偶函数偶函数从图形可以从图形可以(ky)看出看出(2) 阶跃函数阶跃函数(hnsh)或亥维赛单位函数或亥维赛单位函数(hnsh)0 x1(3) 挑选性挑选性对连续函数对连续函数 ：(4) 表示连续量表示连续量(5) 复合函数复合函数若若 的实根的实根 全部是单根，则全部是单根，则第21页/共30页第二十一页，共30页。22() ( )()kkkxxxx 证

10、明证明(zhngmng)：按定义：按定义在第在第n个根附近个根附近(fjn)积分积分例第22页/共30页第二十二页，共30页。23 函数是一种函数是一种(y zhn)广义函数广义函数第23页/共30页第二十三页，共30页。241 sin( )limnnxxx 作业作业(zuy)：证明狄里希利：证明狄里希利定理定理参考(cnko)P6习题第24页/共30页第二十四页，共30页。25 函数函数(hnsh)傅里叶变换傅里叶变换阶跃函数阶跃函数(hnsh)的傅里叶变换的傅里叶变换不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用极限傅立叶变换，必须采用极限(jxin)处理处理第25页/共30页第二十五页，共30页。26从极限过程从极限过程(guchng)理解：理解：1( ),2ixxed 练习练习(linx)：将函数：将函数表示表示(biosh)成傅里叶积分，并证明成傅里叶积分，并证明多维多维 函数函数第26页/共30页第二十六页，共30页。多重傅里叶积分多重傅里叶积分(jfn)： 函数的物理函数的物理(wl)应用：格林公式（点电荷的场分布）应用：格林公式（点电荷的场分布）