数值计算方法chap误差实用教案

1、模型误差：实际问题的解与数学模型的解之差.观测误差：由观测所产生的数学问题（模型） 中参量（数据）的误差.截断误差：数学问题的准确解与数值(shz)方法所求 得的近似解之差. b)(a, )(12)()(2)()(311 fbfafabdxxfabIIRIIba舍入误差：计算过程中对数字的舍取所产生的误差.（计算机可以(ky)表示的数是有限的）第1页/共35页第一页，共35页。1.2.1绝对误差(ju du w ch)与相对误差的一个近似值的一个近似值为准确值为准确值设设xx*xxe *xxe *xxx * xx或或:绝绝对对误误差差:绝绝对对误误差差限限:可可以以表表示示为为.:绝绝对对误误

2、差差限限不不唯唯一一注注1.2绝对误差(ju du w ch)、相对误差和有效数字第2页/共35页第二页，共35页。例： 4 . 2 5 . 2 xx例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过5cm, 宽的误差不超过2cm, 如何(rh)表示？02. 010)( 05. 030)( 宽宽长长xy哪一个哪一个(y )精度精度高？高？1 . 0e xx绝对误差：绝对误差：第3页/共35页第三页，共35页。相对误差(xin du w ch)：*xexeer 相对误差限： rer 两种误差(wch)限的关系：*xr rx * 002. 00016. 03005. 0)()(002. 0100

3、2. 0)()(* xyyxxxrr *2*2*1)()()(xexexexexxxxexexe 第4页/共35页第四页，共35页。1.2.2 有效数字(yu xio sh z)位有效数字位有效数字有有则则如果如果为为为整数，为整数，其中其中表示成规范形式：表示成规范形式：一般地，将一般地，将nxxxaamaaaxxnmimn ,10210, 9010. 0121数字。数字。的所有数字均称为有效的所有数字均称为有效位小数位小数的第一位非零数字到第的第一位非零数字到第从从位小数，位小数，准确到第准确到第则称则称的绝对误差限为的绝对误差限为如果近似值如果近似值nxnxxn ,1021第5页/共35

4、页第五页，共35页。例如(lr)005800. 0 1021005800. 0 . 1*6 xx表示近似值表示近似值准确(zhnqu)到小数点后第6位，有4位有效数字(yu xio sh z).4*10.145204600461452 2 .x.具有7位有效数字，其误差限374*10211021 xx准准确确到到哪哪一一位位有有效效数数字字绝绝对对误误差差限限 第6页/共35页第六页，共35页。有效数字和绝对误差有效数字和绝对误差(ju du w ch)限的关系限的关系（准确到哪一位）（准确到哪一位）位有效数字位有效数字有有则则如果如果为为为整数，为整数，其中其中表示成规范形式：表示成规范形式

5、：nxxxaamaaaxxnmimn ,10210, 9010. 0121;, 0;, 0;, 0,1021位位准确到个位前的第准确到个位前的第准确到个位准确到个位位位准确到小数点后第准确到小数点后第若若nxnxnnxnxxn 4*1021)(,2376490 xx 且且例：例：.3*位有效数字位有效数字有有则则x第7页/共35页第七页，共35页。的相对误差限满足的相对误差限满足若若反之反之相对误差限相对误差限为其为其则则位有效数字位有效数字有有的近似值的近似值若若定理定理*11121*,1021,)0(10. 01 . 1xanaaaaxxnmn 1110) 1( 21 nra .*位有效数

6、字位有效数字至少具有至少具有则则nx111*102110. 011021| nmnnmaaax mnmnraax 102110. 010)1(21|111 第8页/共35页第八页，共35页。1.3数值计算(j sun)中误差的传播1.3.1基本运算(yn sun)中的误差传播的近似值，则的近似值，则为为处可微，处可微，在点在点设设iinnxxxxxfxxxfy*2121),.,(),.,( )().,( ).,().,()(*n1i*2*1*2*121*iinnnxexxxxfxxxfxxxfye )(),.,( ).,()()(*n1i*1*2*1*irniinrxexxfxxxxxfyye

7、ye 第9页/共35页第九页，共35页。特别(tbi)地，和、差、积、商的误差公式为： )()()()()()(22121211212121xexxxxexxxxxexexexxerrr )()()()()()(2121211221xexexxexexxexxxerrr )()()()()(1)(212122211221xexexxexexxxexxxerrr第10页/共35页第十页，共35页。 )()()()()()()()()(212121212121xxxxxxxxxxxxrrrrrr 即和、差的绝对误差限不超过(chogu)各数的绝对误差限之和，积、商的相对误差极限不超过(chogu)

8、各数的相对误差限之和.第11页/共35页第十一页，共35页。1.3.2 算法(sun f)的数值稳定性算法：预先设计计算问题近似解的运算顺序(shnx)稳定性：在按一个算法的计算过程中，数据误差和舍入误差在计算过程中不增长，则称算法是稳定的；否则称算法是数值不稳定的.).,2, 1 ,0(5:10 ndxxxInn计算下列积分的近似值计算下列积分的近似值例例 10101111555ndxxdxxxxIInnnnn第12页/共35页第十二页，共35页。算法(sun f)*010018232155. 02 . 1ln51 IdxxI 取取)., 2 , 1( 51 1 nInInn按公式按公式依次

9、计算,21II近似值.nIInn151 第13页/共35页第十三页，共35页。n(算法算法)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831*nI第14页/共35页第十四页，共35页。估计估计(gj)nI0122222. 0)751901(21*14 I11100011116165551()()nn

10、nnxx dxIdxx dxnxn第15页/共35页第十五页，共35页。算法(sun f) 由于取 ) 1( 51) 1( 6121*nnIn按公式)1(511kkIkI )1 ,., 1,( nnk)., 2 , 1( 151 nnIInn计算0122222. 0)751901(21*14 I例如第16页/共35页第十六页，共35页。n(算法算法)00.1823215510.0883922220.0580389230.0431387340.0343063350.0254683560.0243249170.0212326080.0188369990.01692617100.0153691411

11、0.01406339120.01301636130.01184127140.01222222*nI0011. 0)901751(2114 01222222. 0)901751(21*14 I第17页/共35页第十七页，共35页。0*00 eII 设设01*11*) 5(555eeIIIIennnnnnn nnkkeeee)51 ( ,51 01 分析什么(shn me)原因：由算法)., 2 , 1( 511 nInInn对算法) 1, 1,( )1(511 nnkIkIkk第18页/共35页第十八页，共35页。 关于数值稳定性的算法 一个程序往往要进行大量的运算才能得出结果，每一步的运算都可

12、能会产生舍入误差。 在运算过程中，舍入误差能控制在某个范围(fnwi)(fnwi)内的算法称之为数值稳定的算法；否则，就称之为不稳定的算法。第19页/共35页第十九页，共35页。1.4数值计算中应注意(zh y)的问题1.4.1. 避免两个(lin )相近的数相减yxyexeyxer )()()(有效数字严重丢失。有效数字严重丢失。差很大差很大很接近时，差的相对误很接近时，差的相对误与与当当yx两数之差x-y的相对误差(xin du w ch)为第20页/共35页第二十页，共35页。一般地， 当 x 充分大时，应作变换：xxxx 111)1(1111 xxxx当x接近(jijn)零时，应作变换

13、xxxxxxcos1sinsincos1 ,2sin2cos12 第21页/共35页第二十一页，共35页。 例： 如用四位有效数字计算: : 结果只有一位有效数字; ; 如改为(i wi): (i wi): 有四位有效数字。避免了两个相近数的相减。.170130 0384048.1701313 04130 04.11170130 0384013 041317013第22页/共35页第二十二页，共35页。 例：用四位浮点数计算 解: : 只有一位有效数字, ,有效数字大量损失, ,造成相对误差扩大。结果仍然有四位有效数字。这说明了算法(sun f)(sun f)设计的重要性。 117 5 97

14、6 0225110.1318 100.1316 100.2 107597605611110.1734 10759760759 7600.5768 10第23页/共35页第二十三页，共35页。1.4.2.1.4.2.避免大数避免大数“吃吃”小数小数. . 计算机在进行运算时，首先要把参加运算的数对计算机在进行运算时，首先要把参加运算的数对阶，即把两数都写成绝对值小于阶，即把两数都写成绝对值小于1 1而阶码相同的数。而阶码相同的数。 如如 ，必须改写成，必须改写成 如果计算机只能表示如果计算机只能表示8 8位小数，则算位小数，则算 出出 ，大数，大数“吃吃”了小数。了小数。 这种情况有时这种情况有

15、时(yush)(yush)允许，有时允许，有时(yush)(yush)不允不允许。许。 9101a10100.1 100.0000000001 10a100.1 10a第24页/共35页第二十四页，共35页。 例如: : 被大数吃掉了。 如按 , , 就没有被吃掉。 这也是构造算法时要注意(zh y)(zh y)的问题。1010,10, abca1010101010101010100abcb0acbbbb第25页/共35页第二十五页，共35页。 例:一元二次方程x2(109+1)x+109=0其精确解为 x1=109, x2=1。 如用求根公式(gngsh): 和8位的计算机求解,有 及 ;则

16、 的值与精确解差别很大。若用 因此,算法的选用很重要。21,242bbacxa21891894104 101010 bac99101109999912( 10 )10( 10 )1010 ,022 xx2x292992422 1012( 10 ) 104 bbaccxabbac第26页/共35页第二十六页，共35页。1.4.3.1.4.3.避免除数绝对值远小于被除数的绝对值避免除数绝对值远小于被除数的绝对值 , , 当当 时时, ,舍入误舍入误差会扩大。差会扩大。例例: : 的舍入误差均为的舍入误差均为 , ,而而 , ,则则的舍入误差为的舍入误差为: :很小的数作除数有时很小的数作除数有时(

17、yush)(yush)还会造成计算机的溢出还会造成计算机的溢出而停机。而停机。 2xyyxxyy xy , x y30.510 *710yx xy 7311214100.510151010 xxxx 第27页/共35页第二十七页，共35页。1.4.4.简化计算，减少(jinsho)运算次数，提高效率例如 计算(j sun)ln2的近似值，要求误差不超过510 算法(sun f): 由 1111121234()lnnn 绝对误差限11 n 由51011 n1105 n得nxxxxxnn 132) 1(.32)1ln( 第28页/共35页第二十八页，共35页。算法(sun f) 129 ) 12(

18、1.951931132311311ln2lnnn绝对误差(ju du w ch)限899) 12(13291119) 12(132 nnnn 由510 5 n得224111ln2 (1)13521nxxxxxxn第29页/共35页第二十九页，共35页。又如计算(j sun)n次多项式的值0111.)(axaxaxaxpnnnnn 再作线性组合再作线性组合先计算先计算,.,.32nxxxa需2n-1次乘法(chngf)运算，0121).)(.()(axaxaxaxaxpnnnn n次加法(jif)运算，2n+1个存储单元需n次乘法运算，n次加法运算，n+2个存储单元按按秦秦九九韶韶算算法法. b第30页/共35页第三十页，共35页。1.4.5.选用(xunyng)数值稳定性好的算法.问题：什么叫数值(shz)稳定性好的算法？舍入误差能控制(kngzh)在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法,稳定性好指的是误差可控范围可以很小。第31页/共35页第三十一页，共35页。介绍(jisho)MATLAB matlab语言是由美国的Clever Moler博士(bsh)于1980年开发的 设计者的初衷是为解决“线性代数”课程的矩阵(j zhn)运算问题 取名M