大学物理实验-误差理论与数据处理20090823学习教案

1、会计学1大学物理实验大学物理实验(shyn)-误差理论与数据处误差理论与数据处理理20090823第一页，共51页。大学物理实验课程安排(npi) 本学期（8次课32学时） （1）误差理论与数据处理 4学时（2）实验项目7个 24学时 第1页/共51页第二页，共51页。一、基本概念二、随机误差的正态分布率三、数据处理 *（重点(zhngdin)）五、物理实验课的基本(jbn)程 序和要求四、实验常用的数据处理 方法 *（重点）第2页/共51页第三页，共51页。 1） 含义(hny)：1、测量(cling)一、基本概念 2） 测量(cling)结果： 例如：测量结果 L=25.26cm. L物理

2、量名称、mm测量单位、25.26比值（单位的数目）以确定被测对象量值为目的的一组操作，即用实验的方法，将物理量与作为单位量的某量值相比较，得到其比值的过程。测量是物理实验的基础。 由测量得到的赋予被测对象的量值。 测量结果由比值和测量单位两部分组成。第3页/共51页第四页，共51页。 3）测量(cling)的分类: 按 照 测 量 量 获 得 的 方 式 、 途 径 进 行(jnxng)分类直接测量：间接测量：例如：米尺测长度、秒表测时间、温度 计测温度等。例如：体积、密度、粘度等。可以用测量仪器(yq)或仪表直接读出测量值的测量。通过测量与被测量有关系的其他物理量，这些量可直接测得，依据它们

3、之间的函数关系，求得被测量。 z)z)y,y,f(x,f(x,N Nx xy yz z、为直接测量量、N N为间接测量量第4页/共51页第五页，共51页。依据(yj)测量的条件进行分类等精度测量:非等精度测量 : 就是在一定的条件下，由同一测量者，操作同一测量工具，采用同一方法，测量同一对象，这样的测量称为(chn wi)等精度测量即测量的一切条件都是不变的，变化的因素很小时也可认为是等精度测量依据测量可重复性进行(jnxng)分类多次测量：单次测量：第5页/共51页第六页，共51页。 ）测量(cling)的目的: 真值：得真值2、误差(wch)将测量值记为，真值记为，误差记为，即误差 。Xa

4、aX 误差是客观存在的，有测量(cling)就有误差，它将存在于测量(cling)过程的始终。在一定客观条件下，物理量的真实大小，它是客观存在的，是一个比较绝对的概念，一般不可知，我们的测量结果只能逼近。）定义:测量值和真值之差。第6页/共51页第七页，共51页。任何测量(cling)结果都有误差！根据误差性质(xngzh)和产生原因可将误差分为以下几类:系统误差 ）误差(wch)的分类: 随机误差过失误差第7页/共51页第八页，共51页。定义(dngy)：系统误差 来源(liyun)：a、仪器本身(bnshn) b、理论推导 c、实验方法d、操作者 e、环境等。定值系统误差变值系统误差在一定

5、的条件下（指仪器、方法、环境和观测者一定），多次测量同一量时，测量误差的绝对值和正负符号都保持不变，或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。第8页/共51页第九页，共51页。 发现(fxin)：c、其他(qt)的判椐 系统误差的处理(chl)：如：比较法、抵偿法、交换法、替代法等。a、理论分析b、对比检验 a、消除产生系统误差的因素 b、对测量结果进行修正c、采用一些实验方法第9页/共51页第十页，共51页。随机误差 定义(dngy): 产生(chnshng)原因：如：电磁场等的微扰，测量(cling)者的心理等。在同一条件下，对同一量进行多次测量时，如果没有系统误差，测量结果仍会出现一些无规

6、律的起伏，测量误差以不可预知的方式变化，这种误差叫做随机误差。主要是不确定的随机因素，这些因素一般难以控制，往往不可抗拒。第10页/共51页第十一页，共51页。服从(fcng)的规律：处理(chl)方法：粗大(cd)误差由于实验者粗心大意或环境突发干扰而造成的,该测量值为坏值，在处理数据时应予以剔除（采用判据）。服从数理统计规律。多次测量取平均值，也就是用最佳估计的办法得近似真值。第11页/共51页第十二页，共51页。 3）研究(ynji)误差的目的： 提高(t go)精度减小误差(wch) 4）精度：它反映测量值的准确程度，与误差大小相对应，误差大精度低，误差小精度高。主要有三个指标：精密度

7、 准确度 精确度 反映随机误差的影响程度。 反映系统误差的影响程度。 反映两者综合的影响程度。 第12页/共51页第十三页，共51页。举例(j l)：打耙实验 精密度高准确度低准确度高精密度低准确度高精密度高精确度高第13页/共51页第十四页，共51页。 4）误差(wch)的表示方法：是绝对误差(ju du w ch)与测量真值的比值的百分数。反映测量结果的可靠(kko)范围，一般 所说的误差常指绝对误差。%*X%*aE100100 绝对误差 （ 为真值， 为测量值）XaX a 用 表示相对误差，则E相对误差是反映测量误差在测量结果中的比重。绝对误差：相对误差：第14页/共51页第十五页，共5

8、1页。举例：精度大小比较 测量结果有以下两种情况： mm.L001001mm.L00202mm.0101mm.0102如何得知，两种测量结果精度的高低？绝对误差相等求相对误差(xin du w ch)： %.%*.%*LE01010000100010100111%.%*.%*LE0501000020010100222第15页/共51页第十六页，共51页。21EE 可知： 的精度高于 。 1L2L第16页/共51页第十七页，共51页。二、随机误差的正态分布率（等精度(jn d)测量）1、正态分布的特征(tzhng) 对某一物理量进行多次重复测量，不考虑系统误差，假定的对象为 ，真值为 ，由于随机

9、误差的存在，得到的测量列 ,各数据存在一定的差异。根据误差的定义，发现各次测量的误差具有以下特征：nx,x,x21xaaxii)n,i (21第17页/共51页第十八页，共51页。n很大时，由于正负误差相互(xingh)抵消， 各误差的代数和趋于零。有界性单峰性对称性抵偿(dchng)性通过数学推导，可以得到随机误差的概率密度分布(fnb)函数 22212fe误差的绝对值有界小误差出现的概率大于大误差出现 的概率n很大时，绝对值相等、符号相反的 误差，概率相等第18页/共51页第十九页，共51页。nnn2222122221)ax(e)x(f或者称为(chn wi)标准差称为(chn wi)理论

10、均值nxai1式中：作图分析(fnx) 作出概率密度分布函数曲线第19页/共51页第二十页，共51页。)x(f)x(fxay1x2x2112xy12a图（a）图（b）图(a)曲线可知：在 或 处的领域内具有最大的概率，同时也说明了 作为测量列的测量结果是最可信赖的。ax xx图(b)曲线可知：标准差 愈小，分布曲线愈陡峭，即测量列的分散性越小，也就是测量列的精度愈高；反之 愈大，分散性愈大，测量列的精度愈低。第20页/共51页第二十一页，共51页。2、随机误差的两个数字(shz)特征 在不考虑系统误差的情况下，对某一物理量 进行 次等精度重复测量，假定真值为 ，所得到的测量值（测量列 ） ,则

11、算术均值为nx,x,x21xa)n,i (21nnxxni1算术(sunsh)均值算术(sunsh)平均值是真值的最佳估计值通过分析可得结论：第21页/共51页第二十二页，共51页。误差(wch)：ax 11ax 22axnnnaxiinanxxii当 时 ni0 ax )n(第22页/共51页第二十三页，共51页。标准差最小二乘原理最大或然原理（概率统计中）同样由：算术平均值是真值的最佳估计值它是描述测量数据(shj)分散性指标的特征量 nnn22221axii)n,i (21式中：a为真值第23页/共51页第二十四页，共51页。 由于真值我们往往是得不到的，此时我们以 作为真值 的最佳估计

12、值，引入残差的概念 xa残差xxvii)n,i (21由真差 与残差 、 之间的关系可以推得ivi122221nvvvn（ 非常大但有限）n 称为测量列的标准偏差，它是的最佳估计值。nnn22221贝塞尔公式(gngsh)第24页/共51页第二十五页，共51页。算术(sunsh)均值（方差(fn ch)）（期望(qwng)）标准偏差真值的最佳估计值描述测量数据分散性的指标 x结论：随机误差的两个数字特征3、算术平均值的标准偏差对物理量 多次测量可以获得多个测量列，假设有 个测量列，可以得到 个平均值 ，它们可以构成一个测量列，且符合正态分布规律，所以我们就可以找到一个反映算术平均值精度的指标

13、。 xmmnxxx,21)( x第25页/共51页第二十六页，共51页。nx)(nx)(到此，我们可以求得算术平均值ninxnxxxnx1211)(1 算术平均值的标准偏差被测物理量的结果(ji gu):)( xxx%100*)( xxE单位一定(ydng)要记住 !第26页/共51页第二十七页，共51页。举例(j l)：测量(cling)某一物体长度,获得以下数据:次数次数12345 (mm) 20.005 19.996 20.003 19.994 20.002iiL千分尺测*物体长度(chngd) 数据记录: L精度0.01mm试计算,给出测量结果表达式。怎么做？思考：第27页/共51页第

14、二十八页，共51页。*物体(wt)长度计算：数据处理000.205151iLLmm0052. 0) 15(252221vvvmm残差 LLvii002. 0 ,006. 0,003. 0 ,004. 0,005. 0数值分别为 测量(cling)列标准差算术(sunsh)平均值标准差0022. 05)( Lmm第28页/共51页第二十九页，共51页。4、粗大(cd)误差的剔除 *物体(wt)长度为：)003. 0000.20()( LLL%15. 0%100*)( LLEmm 准则(莱以达准则)3两个判据:肖维涅nCx 第29页/共51页第三十页，共51页。三、数据处理1、直接(zhji)测量

15、（1）多次测量(cling)按以下步骤(bzhu)进行：依据肖维涅准则审查数据，是否有粗大误差 若有，舍掉偏差最大的1个数，重复 ；观察仪器是否有零点读数，若有要记录；多次测量，列表记录数据；计算 ；, x计算 ；)( x第30页/共51页第三十一页，共51页。计算相对误差；表达实验测量结果。)( xxx%100*)( xxE单位举例(j l)：（2）单次测量(cling)1xx)2(分度值2、间接测量 设 为间接测量量， 为直接测量量且相互独立Nzyx,),(zyxfN 第31页/共51页第三十二页，共51页。222222)()ln)()ln)()ln()(zzNyyNxxNNN或),(zy

16、xfN 222222)()()()()(zzNyyNxxNN计算3、有效数字(yu xio sh z)及其运算举例说明：第32页/共51页第三十三页，共51页。举例：用最小刻度为mm的直尺测长度 结果为35.26Lcm处于3，4之间的中间位置是估读出来的，称为可疑数字，虽为估读但是有意义可 以 准 确 读出 称 为可 靠数字测量结果是由可靠数字加可疑(ky)数字合起来的第33页/共51页第三十四页，共51页。（1）如何(rh)判断有效数字测量结果的第一位非零数字(shz)之前的“0”不属有效数字(shz)；非零数字(shz)后的“0”均为有效数字(shz)。 如：0.0125 是三位有效数字。

17、 如：19.000 是五位有效数字。 第34页/共51页第三十五页，共51页。（2）有效数字(yu xio sh z)的运算规则 只要与可疑数字相运算(yn sun)，结果都为可疑数字，有可靠数字与可靠数字运算(yn sun)，结果才为可靠数字。多个(du )测量值作加减法运算时，小数位数较多的值，只需比小数位数最少的多保留一位，而计算结果与小数位最少的那个测量值相同。 如：1425.4 + 343.1 + 11.243 + 9.7427 = 1425.4 + 343.1 + 11.24 + 9.74 = 1789.48 = 1789.5加减法运算：第35页/共51页第三十六页，共51页。 有

18、效位数较多的近似数比有效位数少的多保留一位，计算结果最后应保留与有效位数小的那个(n ge)数相同的位数。 如：3.142 2.4 = 3.14 2.4 = 7.536 = 7.5待求量的有效数字(yu xio sh z)位数由误差来确定。乘除(chngch)法运算：函数运算：第36页/共51页第三十七页，共51页。 如：函数 由微分 ，将 的最后一位取 为“1”，计算得出 在那一位上，就把函数结果 保留在那一位上。 )(xfy xxfy)(xyy 举例(j l)：xxy92. 38 .50ln y8xyln.50 x8. 0 x 取100. 0.50. 0y281第37页/共51页第三十八页

19、，共51页。（4）有效数字(yu xio sh z)的修约规则 举例(j l)：将以下数值保留为三位有效数字。 3.5425 3.5466 3.5350 3.5450 3.5452 3.54 3.55 3.54 3.54 3.55 第38页/共51页第三十九页，共51页。四、实验常用(chn yn)的数据处理方法1. 列表(li bio)法 表的名称写在表格上方居中； 在表中各行或列的标题栏内，标明物理量的名 称、符号(fho)和单位。公因子和幂提至标题栏内； 按递增或递减的规律将数据及处理过程列在表 中，各量之间的函数关系应能反映出来； 表中数据应按有效数字法则记录。 作表格要求：第39页/

20、共51页第四十页，共51页。项目次数项目次数外径外径 d1 （mm）内径内径 d2 （mm）高高h（mm）d1（mm）d2（mm）h（mm）121.70 0.0316.70 0.0843.55 0.19221.45 0.2816.50 0.1243.70 0.04321.60 0.1316.45 0.1743.55 0.19421.90 0.1716.80 0.1843.90 0.16522.00 0.2716.65 0.0344.00 0.26平均值平均值 =21.73 = 16.62= 43.74 标准偏差标准偏差=0.18 = 0.12 = 0.17修正后平均值修正后平均值21.53 1

21、6.4243.54结果结果1(21.50.2)dmm2(16.40.1)dmm(43.50.2)hmm测量(cling)一段金属管外径，内径，高数据表卡尺(kch)精度0.1mm 零点读数 0.20mm 举例(j l)：)( 1d1d2d)( 2dh)( h第40页/共51页第四十一页，共51页。2. 作图法作图规则(guz)如下：选纸直角坐标纸，纸的大小以误差位能在图上估读 出为依据(yj)，不要太小；定轴因变量为纵轴、自变量为横轴。轴的矢端标出 物理量的符号(fho)和单位；分度用容易读数的1、2、5给坐标轴分度，且以有 效位数均匀标写分度值；原点可以不从0开始， 使所作曲线能居中充满图纸

22、；描点用细铅笔，以、 、 等一种小符号标出 测量点。第41页/共51页第四十二页，共51页。连线用细铅笔连线。作直线时应通过大部分测 量点，未通过的点均匀分布在直线两侧；作校 正曲线时，为每两相邻点连成直线，即作折线(zhxin); 作曲线时，要用曲线板连成光滑曲线。标注图名图名标在图的上方(shn fn)或下方。标注作者(zuzh)名、日期在图的右上方或右下方。 举例：作图法第42页/共51页第四十三页，共51页。伏安法测电阻,获得以下(yxi)数据:电压电压(V)1.002.003.004.005.006.00 电流电流(mA)1.051.963.033.945.025.98U伏安法测电阻(dinz) 数据记录 试用(shyng)作图法求出该电阻的阻值。