第三章应力和应变

1、3.1 3.1 应力分析应力分析(1) 一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：xzxyx,y面的应力：面的应力：yzyxy,z面的应力：面的应力：zyzxz,xyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx(2) 应力张量应力张量一点一点 的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成一个二阶对称张量，称为一个二阶对称张量，称为应力张量应力张量。) 13( zzyzxzyzyyxyxzxyxxzyzzyzyxyxzxyx或上式中左

2、边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法定义：定义：写法：写法： 采用张量下标记号的应力写法采用张量下标记号的应力写法)23(,333231232221131211jiij把坐标轴把坐标轴x、y、z分别分别用用x1、x2、x3表示，表示，或简记为或简记为xj (j=1,2,3),(3) 斜截面上的应力与应力张量的关系斜截面上的应力与应力张量的关系在在xj坐标系中，考虑一个法线为坐标系中，考虑一个法线为N的斜平面的斜平面。N是单位向量，其方向作弦为是单位向量，其方向作弦为,321lll则这个面上的应力向量则这个面上的应力向量SN的三

3、个分量与应力张量的三个分量与应力张量 之间的关系之间的关系ij 321333231232221131211321lllSSsNNN1x2x3xONNS采用张量下标记号，可简写成采用张量下标记号，可简写成)(=3-3jijNilS i）重复出现的下标叫做重复出现的下标叫做求和下标求和下标，相当于，相当于 这称为求和约定这称为求和约定；ii）不重复出现的下标不重复出现的下标i叫做叫做自由下标自由下标，可取，可取i=1,2,3；,31j(4) 应力张量的分解应力张量的分解1.静水静水“压力压力”： =332211l在静水压力作用下，应力在静水压力作用下，应力应变间服从弹性规律，且不会屈应变间服从弹性

4、规律，且不会屈服、不会产生塑性变形。服、不会产生塑性变形。应力应力不产生塑性变形的部分不产生塑性变形的部分产生塑性变形的部分产生塑性变形的部分反映静水反映静水“压力压力”：2.平均正应力：平均正应力：)(=)+(=4-33131332211kkm 3.应力张量的分解：应力张量的分解：应力张量可作如下分解：应力张量可作如下分解：mmmmmm333231232221131133323123222113121112000000用张量符号表示：用张量符号表示：)53(,ijijmijs其中：其中：)63(, 0, 1jijiij当当100010001ij或或ij 单位球张量单位球张量ijm 应力球张量

5、，它表示各方向承受相同拉（压）应力应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力 而没有剪应力的状态。而没有剪应力的状态。ijS应力偏张量应力偏张量mmmijm 000000mmmijS 333231232221131211与单元体的体积变形有关与单元体的体积变形有关材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是由应力偏张量引起的由应力偏张量引起的 。应力张量的这种分解在塑性力。应力张量的这种分解在塑性力学中有重要意义。学中有重要意义。（1）主应力）主应力1.

6、 一点的主应力与应力主向一点的主应力与应力主向 若某一斜面上若某一斜面上 ，则该斜面上的正应，则该斜面上的正应力力 称为该点一个称为该点一个主应力主应力 ；0NN（2）应力主向）应力主向主应力主应力 所在的平面所在的平面 称为称为主平面主平面；主应力主应力 所在平面的法线方向所在平面的法线方向 称为称为应力主向应力主向；根据主平面的定义，根据主平面的定义，S SN N与与N N重合。若重合。若S SN N的大小为的大小为 ，则它在各，则它在各坐标轴上的投影为坐标轴上的投影为 iNilS =)(=3-3jijNilS 代入（代入（3-33-3）式）式)(.=)(7-30-jijijl .=,=+

7、11232221iilllll即应有应有 )83(, 0ijij)83(0333231232221131211或即或即 将这个行列式展开得到将这个行列式展开得到)93(, 032213JJJ其中其中)123(.)113(,21)103(,321ijkiikkkiikkJJJ2. 应力张量的不变量应力张量的不变量当坐标轴方向改变时当坐标轴方向改变时,应力张量的分量应力张量的分量 均将改变均将改变,但主应力的但主应力的大小不应随坐标轴的选取而改变大小不应随坐标轴的选取而改变.因此因此,方程方程(3-9)的系数的系数 的值与坐标轴的取向无关，称为的值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量应力张

8、量的三个不变量。ij 321JJJ、)123(.)113(,21)103(,321ijkiikkkiikkJJJ可以证明方程（可以证明方程（3-93-9）有三个实根，即三个主应力）有三个实根，即三个主应力321、当用主应力来表示不变量时当用主应力来表示不变量时)123()113(),()103(,321313322123211JJJn应力偏张量应力偏张量Sij显然也是一种应力状态即显然也是一种应力状态即J1=0的应力状态。的应力状态。不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值（称为（称为主偏应力主偏应力）为：）为：)133()3 , 2 ,

9、 1( ,jsmjj应力偏张量也有三个不变量：应力偏张量也有三个不变量： )163()153()(21)()143(03321323222113322123213211sssJsssssssssJsssJM其中应力偏张量的第二不变量其中应力偏张量的第二不变量 今后用得最多。今后用得最多。2J再介绍它的其他几个表达式：再介绍它的其他几个表达式：)193(31)183(,)()()(61)173()222(13322123222122132322212,21231223212233222211212JJssssssssJijij在第四章中将看到，在第四章中将看到， 在屈服条件中起重要作用。至于在屈

10、服条件中起重要作用。至于 可以注可以注意它有这样的特点：不管意它有这样的特点：不管 的分量多么大，只要有一个主偏应力的分量多么大，只要有一个主偏应力为零，就有为零，就有 。这暗示。这暗示 在屈服条件中不可能起决定作用。在屈服条件中不可能起决定作用。 2Jijs03 J3J3Jn等斜面等斜面1 2 3 )203(3/1321llln八面体面：八面体面：等斜面常也被叫做八面体面等斜面常也被叫做八面体面)213()(31)()()(23222123322221128lllF设在这一点取设在这一点取 坐标轴与三个应力主轴一致，坐标轴与三个应力主轴一致，则等斜面法线的三个方向余弦为则等斜面法线的三个方向

11、余弦为321xxx,)223()(3213123232222118mlll.)()()(2132322213128288F)233(.2328Jm81J2328J2J1.定义：定义：2J)243(3213232221212J 在塑性力学中称为在塑性力学中称为应力强度应力强度或或等效应力等效应力注意：这里的注意：这里的“强度强度”或或“等效等效”都是在都是在 意义下衡量的意义下衡量的2J2.等效应力等效应力 的特点的特点l与空间坐标轴的选取无关；与空间坐标轴的选取无关；l各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力状态）时状态）时 数值不变

12、，即与应力球张量无关；数值不变，即与应力球张量无关；l 全反号时全反号时 的数值不变。的数值不变。)3 , 2 , 1( jj3. 空间空间ijSijSijSijijssJ212联系到（联系到（3-17）式）式，不难看出不难看出 代表代表 空间的中的广义距离空间的中的广义距离ijS4. 等效剪应力等效剪应力, 0, 0, 0321联系到（联系到（3-19）式）式，可知可知22J2J或或也可以定义也可以定义 ,剪应力强度剪应力强度或或等效剪应力等效剪应力:213232221612J5. 八面体剪应力、等效应力八面体剪应力、等效应力 和等效剪应力之间的换算和等效剪应力之间的换算关系为：关系为： )

13、263(2331,3323,323232282828JJJ这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效等效”（在在 意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力状态的状态的“强度强度”作出定量的描述和比较。作出定量的描述和比较。2J321O3P1P2PM图 3-3)0 ,(),0 ,(),0 ,(332211PPP.22,22,22231131323232121PPPPPP称为主剪应力称为主剪应力最大剪应力最大剪应力321、max1.三向三向Mohr圆圆3s2s1sO3P1P2PM图 3-4m

14、O2.Lode应力参数应力参数由图由图3-4可见，若在已知应力状态上可见，若在已知应力状态上叠加一个静水压力，其效果仅使三叠加一个静水压力，其效果仅使三个个 Mohr圆一起沿圆一起沿 轴平移一个距离轴平移一个距离，该距离等于所叠加的静水应力，该距离等于所叠加的静水应力，并不改变并不改变Mohr圆的大小圆的大小。 3s2s1sO3P1P2PM图 3-4mOl若将若将 轴平移到轴平移到 ，并使，并使OmOO =)+(=32131mOO =)+(=32131则：则：,333223111sPOsPOsPOmmm移轴后的三向移轴后的三向Mohr圆正是描述应力圆正是描述应力偏张量的三向偏张量的三向Mohr

15、圆，如图所示。圆，如图所示。lM点是点是P1P2线段的中点线段的中点131-21MP=)(=max )(=3122-221 MPLode在在1925年引进的参数年引进的参数 lLode应力参数应力参数)273(,22313123131212sssssMPMP当当P2点由点由P3移向移向P1时，时， 的变化范围是：的变化范围是： 111 , 0, 0132则. 0, 0, 0, 01312则. 1, 0, 0321则 只由只由P1、P2、P3三点的相对位置决定而与三点的相对位置决定而与 坐标原点坐标原点的选择无关，故的选择无关，故 是描述应力偏张量的一个特征值。是描述应力偏张量的一个特征值。 -

16、。max 1. 应力空间应力空间一点的应力张量有九个应力分量，以它们为九个坐标轴一点的应力张量有九个应力分量，以它们为九个坐标轴就得到假想的九维应力空间。就得到假想的九维应力空间。考虑到九个应力分量中只有六个是独立的，所以又可构考虑到九个应力分量中只有六个是独立的，所以又可构成一个六维应力空间来描述应力状态。成一个六维应力空间来描述应力状态。2.主主 应力空间应力空间321、321、2.主主 应力空间的性质应力空间的性质直线L平面 其方程为其方程为 显然，显然，L直直线上的点代表物体中承受静水应线上的点代表物体中承受静水应力的点的状态，这样的应力状态力的点的状态，这样的应力状态将不产生塑性变形

17、。将不产生塑性变形。.321其方程为其方程为 由于由于 平面上任一点的平平面上任一点的平均正应力为零，所以均正应力为零，所以 平面上的点对应于只有应力平面上的点对应于只有应力偏张量、不引起体积变形的应力状态偏张量、不引起体积变形的应力状态. 0321直线L平面 P PPOP)283(OPOPOPn物体内一点的应力状态用应力张量描述，它又可分解为应力物体内一点的应力状态用应力张量描述，它又可分解为应力 球张量和应力偏张量两个部分。球张量和应力偏张量两个部分。n塑性变形只与应力偏张量有关。塑性变形只与应力偏张量有关。n三向三向Mohr应力圆和主应力空间为应力张量的分解提供了几何应力圆和主应力空间为

18、应力张量的分解提供了几何 形象和数学工具。形象和数学工具。 3.2 3.2 应变分析应变分析1. Cauchy公式公式).(),(),(,212121zuxwzxywzvyzxvyuxyzwzyvyxuxx,212121zxzxyzyzxyxyzxyzxy、ijzxyzxy、ixixzyx,iuwvu,).()(,1 , 22, 121122121121 , 11111uuxuxuuxuxyxxjijixuu,Cauchy公式的张量形式：公式的张量形式：).(,21ijjiijuu（3-293-29）（3-293-29）式是在小变形条件建立的。）式是在小变形条件建立的。,ijijmije（3-313-31）它与弹性的体积改变部分有关；它与弹性的体积改变部分有关；kkm31)(31332211ijm memmij332313232212131211只