第3章微分中值定理与导数的应用单元自测题

1、第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章第三章 小结小结 一、微分中值定理一、微分中值定理 1 1、罗尔定理，拉格朗日中值定理。、罗尔定理，拉格朗日中值定理。 2 2、会用中值定理证明某些结论和不等式。、会用中值定理证明某些结论和不等式。 二、洛必达法则二、洛必达法则 1 1、 型、型、 型未定式。型未定式。00 2 2、 型、型、 型未定式。型未定式。 0 3 3、 型、型、 型、型、 型未定式。型未定式。00 10 第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题三、利用导数讨论函数的性质三、利用导数讨论函数的性质1、利用一阶导

2、数的符号判断函数的单调性。、利用一阶导数的符号判断函数的单调性。4、极值的概念和判定方法。、极值的概念和判定方法。3、利用二阶导数的符号判断函数曲线的凹凸性。、利用二阶导数的符号判断函数曲线的凹凸性。2、利用单调性证明某些不等式、利用单调性证明某些不等式.5、求函数的最值。、求函数的最值。第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题一、填空题一、填空题是是，件件上上是是否否满满足足罗罗尔尔定定理理条条在在、3 , 03)(1xxxf 。若若满满足足，则则2 分析分析上上连连续续，是是初初等等函函数数，显显然然在在3 , 0)(xfxxxxxxf 3236)1(321

3、3)(。内内可可导导，且且在在所所以以0)3()0()3 , 0()( ffxf。由由2036032360)( f第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题是，是，理条件理条件上是否满足拉格朗日定上是否满足拉格朗日定在在、2 , 1 )(24xxf 。若若满满足足，则则3415 分析分析上上连连续续，是是初初等等函函数数，显显然然在在2 , 1)(xf34)(xxf 内内可可导导。在在所所以以)2 , 1()(xf。由由3341515412)1()2()( fff第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题4 482lim232xbax

4、xx, ,则则4, 1ba。分析分析由由82lim232xbaxxx知，知，0)(lim232baxxx即即048ba又又8412123lim2lim22232aaxxxbaxxxx，解得解得4, 1ba。第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题4 4当当ba,为何值时为何值时, ,( (2,52,5) )为曲线为曲线23bxaxy的拐点的拐点. . 解解 ,26,232baxybxaxy 由由点点( (2,52,5) )为曲线的拐点为曲线的拐点知知0)2( y， 即即,0212 ba 又又由由( (2,52,5) )为曲线为曲线23bxaxy上的点上的点知知,

5、 , 548 ba 解得解得165a, ,815b. . 第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题二、选择题二、选择题),(,1baba上上连连续续，在在：在在、罗罗尔尔定定理理的的三三个个条条件件内内至至少少存存在在一一点点在在是是内内可可导导，),()()()(baxfbfaf 。的的使使)(0)(Bf 充充分分条条件件；必必要要条条件件；)()(BA。既既非非充充分分也也非非必必要要条条件件充充分分必必要要条条件件；)D()(C分析分析，使得上，存在在如)2 , 1(02 , 1)(2xxf件。所以是充分而非必要条但),2() 1(, 0)(fff第三章微

6、分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题)(lim2Aeeeexxxxx 、不不存存在在。；)D(0)C(1-)B(1 )(A11111lim11limlim22 xxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeee分分析析第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题)C(), 6(11232内内在在区区间间、 xxy凹凹减减。凹凹增增；凸凸减减；凸凸增增；)D()C()B()(A60,122 xyxy由由分分析析上上单单调调增增加加。函函数数在在内内，在在), 6, 0), 6( y02 y上上的的图图形形是是凹凹的的。所所以以函函数数在在),

7、6( 第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题)A(1443的的拐拐点点是是、曲曲线线 xy。；)5 , 0)(D()2 , 9)(C()3 , 2)(B()4 , 1)(A353532)1(192)1(92,)1(31 xxyxy分分析析, 0)1 ,(1 yyx内内，不不存存在在。在在时时，当当是是曲曲线线拐拐点点。所所以以点点内内，在在)4 , 1(, 0), 1( y第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题)(5B、下下面面结结论论正正确确的的是是驻驻点点一一定定是是极极值值点点；)(A极极值值点点；函函数数的的不不可可导

8、导点点一一定定是是)(C分析分析部部能能的的极极值值点点，而而区区间间内内驻驻点点和和不不可可导导点点只只是是可可是是驻驻点点；可可导导函函数数的的极极值值点点一一定定)(B极极小小值值。函函数数的的极极大大值值一一定定大大于于)D(不不正正确确。及及所所以以值值的的极极大大值值可可能能小小于于极极小小DBA,第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题三、计算下列各题三、计算下列各题xxxxx20sinarctanlim1 、求求xxxxx20sinarctanlim 220303111limarctanlimxxxxxxx 31)1(31lim20 xx解：解：

9、第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题2 2求求1)1ln(lim0 xxx。 型型 解解 原式原式200)1ln(lim)1ln()1ln(limxxxxxxxxx 21)1(2lim2111lim00 xxxxxxx。 第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题xxxlntanlim30 、求、求解：解：xxxxxxlnlimlntanlim00 第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题xxx arctan2lim4、求求xxxxxx1arctan2lnlimarctan2lnlim00 2ar

10、ctan11lim22xxxx所以所以 2arctan2limexxx第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题四、应用题四、应用题： 1 1确定函数确定函数xexy22的单调区间的单调区间. . 解解 ),(D， xxxexxexxey)2(2242, , 令令0 y，解得，解得2, 021xx. . x )0 ,( 0 0 （0 0， 2 2） 2 2 ),2( )(xf 0 0 0 0 )(xf 所以，单调增加区间为所以，单调增加区间为,2 ,0 单调减少区间为单调减少区间为 0 ,().,2和和 第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数

11、的应用自测题的拐点及凹凸区间。的拐点及凹凸区间。、求曲线、求曲线xxyln22 ), 0( D,ln2xxxy 3ln2 xy23, 0 exy得得令令时，时，当当23 ex, 0 y为凸的；在曲线, 0(23e时，时，当当23 ex, 0 y.),23为凹的为凹的在在曲线曲线 e.23,323 ee拐点为拐点为第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题3 3求求5123xxy在在0,50,5上的最大值和最小值上的最大值和最小值. . 解解 ,01232xy解得解得2x（舍）（舍）2, x。 70)5(, 5)0(,11)2(fff, , 所以，所以，函数在函数在

12、0,50,5上的最大值为上的最大值为,70M最小值为最小值为11m. . 第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题5.5.解解 由已知得由已知得xy2，且，且72xyh，于是有，于是有236xh ，长方体带盖箱子的表面积长方体带盖箱子的表面积)362362 ( 2)( 2)(222xxxxxyhxhxyxSS)0( ,21642xxx因为因为22168)(xxxS，令，令0)( xS，得唯一驻点，得唯一驻点3x，由问题实际意义知由问题实际意义知，当长当长3xm时时，箱子的用料最省箱子的用料最省，此时宽此时宽my6，高，高mh4. .第三章微分中值定理与导数的应用

13、自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题五、证明题：五、证明题： 1 1设设0 ab，证明：，证明：aababbabln。 证明证明 设设xxfln)(， 则则)(xf在在,ba上上连续， 在连续， 在),(ba内内可导，所以，可导，所以，),(ba，使得，使得 )()()(abfafbf 即即 )(1lnlnabab。 因为因为ba0，所以，所以ab111，从而从而 aababbabln. . 第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题2 2证明：当证明：当0 x时，时，221)1ln(xxx。证明证明 设设221)1ln()(xxxxf， 则则)(xf在在),0上上连续，且在连续，且在),0(内内01111)(2xxxxxf，所以，所以，)(xf在在), 0 上单调增加上单调增加. .因此，当因此，当0 x时，时，)0()(fxf=0. .即即021)1ln(2xxx，从而从而，221)1ln(xxx. .第三章微分中值定理与导数的应用自测题第三章微分中值定理与导数的应用自测题3