常微分方程--第二章 一阶微分方程的初等解法习题课 (2)ppt课件

1、 目录 上页 下页 返回 结束一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶规范类型方程求解 关键关键: 区分方程类型区分方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2. 一阶非规范类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量代换因变量代换某组合式(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程四个规范类型: 可分别变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 目录 上页 下页 返回 结束例例1. 求以下方程的通解求以下方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故为分别变量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyx

2、yxxyxeyeyxydd32Ceexy331 目录 上页 下页 返回 结束方程两边同除以 x 即为齐次方程 , ,0时xyyxyx22)2(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化为分离变量方程.互换自变量与因变量的位置 ,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解 .化为 目录 上页 下页 返回 结束32232336)4(yyxyxxy方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分方式化为微分方式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程 .xyu 令xQyxyP6 目录 上页 下

3、页 返回 结束例例2. 求以下方程的通解求以下方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令 u = x y , 得(2) 将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulndd)(ln)(yxyyx(贝努里方程) 2 yz令(分别变量方程)原方程化为xyyxxxy2ln21dd3 目录 上页 下页 返回 结束令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22xyyxxy(齐次方程)ytytty23dd22令 t = x 1 , 那么tyxttyxy

4、dddddddd可分别变量方程求解化方程为 目录 上页 下页 返回 结束0d)31(d)3()4(22yyxxyxy变方程为yxxydd2两边乘积分因子2 y0)dd(3dd2yxxyyyxx用凑微分法得通解:Cyxyx321120)dd(32yxxyy 目录 上页 下页 返回 结束例例3.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf 目录 上页 下页 返回 结束(2) 由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d