湖南大学研究生工程数学历年试卷及答案【新】

1、湖南大学研究生工程数学历年试卷及答案湖南大学研究生 课程考试命题专用纸 考试科目： 工程数学 专业年级：2022级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120分钟 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。 一 填空题（每小题5分，共30分）1. 用作为圆周率的近似值时，有 位有效数字。 2. 要使迭代法局部收敛到 则的取值范围是 . 3. 若 则谱条件数 . 4. 设为个互异的插值节点，为拉格朗日插值基函数，则 . 5. 已知实验数据 0 1 2 3 1 2 4 5 则拟合这组数据的直线为 . 6. 要使求积公式具有2次代数精度，则 ， 二 ( 11

2、分) 给定方程 (1) 证明该方程在区间内存在唯一实根 (2) 用牛顿迭代法求出的近似值，取初值 要求 三( 10分) 用高斯列主元素消去法解线性方程组 四(10分) 给定线性方程组 写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析p 雅可比迭代法的收敛性。 五(13分) 试根据数表 0 2 10 14 16 1 1 构造Hermite (埃尔米特)插值多项式 六(10分) 求常数使积分 取最小值。 七(16分) 用龙贝格方法求积分 的近似值，要求误差不超过 工程数学试题参考答案 一 (1) 7 ; (2) ; (3) 3 ; (4) ; (5) ; (6) 二 解. (1) 因为 所以由零点定理和单

3、调性知原方程在内存在唯一实根 (4分) (2) 牛顿迭代格式为 (7分) 取初值 计算结果如下： 0 1 2 3 4 1.5 1.238095 1.196815 1.195824 1.195823 (11分) 三解. (2分) (4分) (5分) (7分) 等价的上三角形方程组为 回代得 (10分) 四. 解. 雅可比迭代格式为 雅可比迭代矩阵 (5分) 其特征方程 的特征值 (8分) 因为谱半径 所以雅可比迭代法收敛。 (10分) 五列表计算差商 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 1 10 1 10 1 0 14 4 3 2 16 1 1 2 16 1 1 0 (10分) (13分)

4、六解. 取 定义内积 则 (5分) 正规方程组为 (8分) 解得 (10分) 七. 解. 计算结果见下表 0 1.3333333 1 1.1666667 1.1111112 2 1.1166667 1.1000000 1.0992593 3 1.1032107 1.0987254 1.0986404 1.0986306 (14分) 因为 所以 (16分) 湖南大学研究生 课程考试命题专用纸 考试科目： 工程数学(A卷) 专业年级：20XX级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120分钟 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。 三 填空题（每小题4

5、分，共20分）1. 设 则导数值有 位有效数字。 2. 若 则 ，条件数 . 3. 设，则差商 ， . 4. 拟合三点的直线是 . 5. 参数 时，求积公式的代数精 度达到最高，此时代数精度为 . 四 (12分) 给定方程 (3) 证明该方程在区间内存在唯一实根 (4) 写出牛顿迭代法求的迭代格式； (5) 若取初值 牛顿迭代法是否收敛？若收敛，指出收敛阶数。 三 ( 12分) 用三角分解法解线性方程组 四( 16分) 分别给出用雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法解线性方程组 时，对任意初始向量都收敛的充要条件. 五(16分) 用插值法求一个二次多项式 使得曲线在处与曲线 相切，在处与相交，并证明

6、 六(12分) 求在上的一次最佳平方逼近多项式。 七 (12分) 已知函数表 0 0.125 0.250 0.375 0.500 1 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 0.625 0.750 0.875 1 0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709 请分别用的复化梯形公式和的复化辛浦生公式计算积分的 近似值.（取7位浮点数）工程数学试题(A卷)参考答案 一 (1) 3 ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 二 解. (1) 因为在上连续，并且 所以由零点定理和单调性知原方程在内存在唯一实根 (4分

7、) (2) 牛顿迭代格式为 (8分) 因为 所以牛顿迭代法收敛， 且收敛阶为2. (12分) 三. 解. 用杜里特尔分解法求解。按紧凑格式计算得 于是得 ( 9分) 回代求解上三角形线性方程组 得原方程组的解为 即 ( 12分) 四 解. 雅可比迭代矩阵 其特征方程为 ( 4分) 的谱半径 所以J法收敛的充要条件是. (8分) 赛德尔迭代矩阵 其特征方程为 (12分) 的谱半径 所以G-S法收敛的充要条件是.(16分) 五 解. 由条件得 (3分) ( 6分) 作差商表 一阶差商 二阶差商 0 1 0 1 0 0 ( 9分) ( 12分) 记 令 得 所以 故 ( 16分) 六 解. (1)

8、取 并设一次最佳平方逼近多项式为 则 (6分) 正规方程组为 ( 8分) 解得 故所求的最佳平方逼近多项式为 ( 12分) 七 解. . ( 6分) = ( 12分) 湖南大学研究生 课程考试命题专用纸 考试科目： 数值分析p （A卷）参考答案 专业年级： 11级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器）考试时间：120分钟 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。 一、简答题(20分) 1、避免误差危害的主要原则有哪些？ 答：（1）两个同号相近的数相减（或异号相近的数相减），会丧失有效数字，扩大相对误差，应该尽量避免。（2分）（2）很小的数做分母（或乘法中的大因子）会严重

9、扩大误差，应该尽量避免。（3分）（3）几个数相加减时，为了减少误差，应该按照绝对值由大到小的顺序进行。（4分）（4）采用稳定的算法。（5分）2求解线性方程组的高斯消元法为什么要选主元？哪些特殊的线性方程组不用选主元？ 答：（1）若出现小主元，将会严重扩大误差，使计算失真，所以高斯消元法选主元。（3分）（2）当系数矩阵是对称正定矩阵时，高斯消元法不用选主元。（4分）（3）当系数矩阵是严格对角占优或不可约对角占优时，高斯消元法不用选主元。（5分）3求解非线性方程的Newton迭代法的收敛性如何？答：（1）Newton迭代法是局部收敛的，即当初值充分靠近根时，迭代是收敛的。（2分）（2）用Newto

10、n迭代法求方程的单根时，其收敛至少是平方收敛，若求重根，则只有线性收敛。（5分）4Newton-Cotes 积分公式的稳定性怎么样？ 答：（1）Newton-Cotes 积分公式当时，Cotes系数都为小于1的正数，因此是稳定的。（3分）（2）当时，出现了绝对值大于1的Cotes系数， 因此是不稳定。（5分）二、(10分) 证明函数关于点的k阶差商可以写成对应函数值的线性组合，即 其中节点。 证明：通过简单计算，可知（2分）。 Newton插值多项式为 ，（5）Lagrange插值多项式为 其中， （8分）由于插值多项式的唯一性，比较两个多项式的系数，他们应该相等，从而 。 （10分）本题也可

11、以用数学归纳法证明。 三、(10分). 求解非线性方程在区间0,1内的根，误差不超过0.001.（简单迭代法和Newton迭代法中选一种方法。）解： 因为，在区间恒成立，所以取初值 若， （3分）则Newton迭代 收敛，取0.8， 具体迭代过程如下： （7分）x=0.8;y=x-(3*x2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x) y = 0.75061432494672 x=y;y=x-(3*x2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x) y = 0.74844662434814 x=y;y=x-(3*x2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x) y = 0.74844244703

12、132 （10分） 注：若是采用简单迭代法：则计分如下： 写出迭代格式（3分），证明格式的收敛性（4分）， 计算过程（3分），共10分。 四、(10分)求函数在区间上的一次最佳平方逼近多项式。 解：设一次最佳平方逼近多项式为y=a+bx, 正规方程组为： (7分) 求解方程组，得到 a=0.87312731383618（4e-10）b=1.69030902924573 (18-6e) （10分）五、(10分) 利用三角分解法求解线性方程组：。 解： 系数矩阵的三角分解A=LU, 其中， A = 3 2 3 2 2 0 3 0 12 L = 1 0 0 2/3 1 0 1 -3 1 U = 3

13、2 3 0 2/3 -2 0 0 3 （6分）求解方程组Ly=b, 则 y= 5 -1/3 1 ; （8分）求解方程组Ux=y, 则 x=1 1/2 1/3 （10分）六、(10分)写出求解线性方程组 Gauss-Seidel迭代格式，并判断收敛性。 解： Gauss-Seidel迭代格式为： （5分）因为系数矩阵是严格对角占优矩阵，所以Gauss-Seidel迭代收敛。（10分）七、（10分）已知函数的数据如下表，求相应的插值多项式（Lagrange 插值多项式与Newton 插值多项式中选一种）。 x 1 2 3 4 y 1 5 14 30 解： Lagrange插值多项式如下： （7分）（10分）注：若是用Newton插值多项式，则差商表（6分），正确写出Newton插值多项式并整理（4分）总计（10）分 八、(10分) 用变步长求积公式计算积分，要求事后误差不超过0.01. 解：1.5 （1