第3章刚体力学

1、主要内容主要内容:1.基本概念基本概念:刚体刚体,角速度角速度,角加速度角加速度,转动转动惯量惯量,力矩力矩,转动动能转动动能,角动量。角动量。2.基本定律基本定律:转动定律转动定律,定轴转动动能定定轴转动动能定理理,角动量定理角动量定理,角动量守恒定律角动量守恒定律.教学要求教学要求:1.掌握转动定律掌握转动定律,理解转动惯量的概念理解转动惯量的概念;2.理解角动量理解角动量,角动量守恒定律及适用条角动量守恒定律及适用条件件,能运用角动量守恒定律分析计算简能运用角动量守恒定律分析计算简单的力学问题单的力学问题;3.了解刚体的平面运动了解刚体的平面运动5-1 5-1 刚体刚体 刚体运动学刚体运

2、动学一一. .刚体模型刚体模型 说明说明:1):1)理想模型理想模型; ; 2) 2)在外力的作用下在外力的作用下, ,任意两任意两点均不发生相对位移点均不发生相对位移; ; 3) 3)内力无穷大的特殊质点系内力无穷大的特殊质点系 刚体力学是牛顿力学的应用和发展刚体力学是牛顿力学的应用和发展, ,所所有研究质点、质点系的方法均可挪用。有研究质点、质点系的方法均可挪用。学习方法学习方法: :类比法类比法在任何外力作用下在任何外力作用下, ,形状形状大小均不发生改变的物体大小均不发生改变的物体. .二二. .刚体运动学刚体运动学1.1.刚体的平动刚体的平动刚体上所有点的运动轨迹都相同刚体上所有点的

3、运动轨迹都相同, ,可当作质点来处理可当作质点来处理. .刚体上各点都绕同一转轴作刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的园周运动不同半径的园周运动, ,且在相且在相同时间内转过相同的角度同时间内转过相同的角度. .2.2.刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.3.刚体的一般运动刚体的一般运动可视为平动与转动的合成可视为平动与转动的合成. .三三. .描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量1.1.参考平面参考平面2.2.角坐标、角位移角坐标、角位移)(t d 是标量是标量, ,规定径矢规定径矢从从OXOX轴沿逆时针方向转动轴沿逆时针方向转动时时, ,角坐标为正。角坐标为正。)(t dP(t+dt

4、P(t+dt) ) P(tP(t) )XOz z3.3.角速度：角速度：dtd 对于定轴转动对于定轴转动,可用正负号表示其方向可用正负号表示其方向.22dtddtd rv vrdtd ra 2 ran FrM sinFrFdM FrM (2)(2)几个力同时作用几个力同时作用, ,合力矩为合力矩为333222111sinsinsin FrFrFrMr1r1F1F1r2r2F2F2r3r3F3F3132合力矩的大小等合力矩的大小等于各力矩的代数和于各力矩的代数和. .思考思考: :力力F F不在参考不在参考平面内平面内,M=?,M=?刚体内各刚体内各质点间的内力力矩质点间的内力力矩? ?讨论讨论

5、：FrM 21MMM(3)(3)内力对转轴的力矩内力对转轴的力矩考察任意两个质点考察任意两个质点1 1、2 2 2112ff 22121121sinsin frfr drr 2211sinsin 02112 dfdfM讨论讨论：2112MMM FrM 1r2r12f21f12d二二. .刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体上任意质元：刚体上任意质元： ,iirm) 1 (iiiiamfF 自然坐标系中分量形式：自然坐标系中分量形式：）运运动动（力力质质点点amF ？外外力力矩矩刚刚体体 M)2(coscos:iniiiiiamfFn )3(sinsin: iiiiiiamfFi i iFifi

6、rzim在在 和和 的作用下作的作用下作圆周运动圆周运动, ,由牛顿定律由牛顿定律: :iiFfim法向分力产生的力矩为零法向分力产生的力矩为零. .:)3(ir 2sinsiniiiiiiiiiiirmramfrFr 对组成刚体的质点系来说：对组成刚体的质点系来说：)4(2 iiiinrara)3(sinsin: iiiiiiamfF)sinsin(iiiiiifrFr 2iirm内力力矩为零内力力矩为零,故总力矩：故总力矩： iiimrM2i i iFifirzim总力矩总力矩： iiimrM2令令 iiimrJ2刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 JMJM讨论讨论： , JM(1) (1)

7、 均对同一转轴均对同一转轴, ,具有瞬时性。具有瞬时性。 JM(2)(2)比较比较 aMF 和和对质量连续分布的刚体对质量连续分布的刚体 dmrJ2表明表明: :改变刚体转动状态的是力矩改变刚体转动状态的是力矩M M 刚体的转动惯性刚体的转动惯性 iiimrJ2(3)dxlmdm 22222121mldxlmxdmrJll dxdxdmX XO Odmmldx X XO O202231mldxlmxdmrJl dxdxdm转轴过圆心与环面垂直转轴过圆心与环面垂直R Ro om m解解: :质元质元dldm 22022RmdlRdmRJR Rm 2可见可见: :J J与刚体质量分布与刚体质量分布

8、, ,形状形状, ,大大小小, ,密度密度, ,转轴位置有关。转轴位置有关。dmdm2mdJJc C Cd dZ ZC CZ ZC CcJZcZ(2)(2)正交轴定律：正交轴定律：ZXYyxzJJJ ? J可用于以下情况的计算：可用于以下情况的计算：241mRJ 质量为质量为 的物体的物体A A静止在光滑的水静止在光滑的水平面上平面上, ,它和一轻绳相连接它和一轻绳相连接, ,此绳跨过一半此绳跨过一半径为径为R R、质量为、质量为 的园柱形滑轮的园柱形滑轮C,C,并系在并系在另一质量为另一质量为 的物体的物体B B上上, ,滑轮与轴承间滑轮与轴承间的摩擦力不计的摩擦力不计. .问：问：(1)(

9、1)两物体的线加两物体的线加 速度速度? ? 水平和铅直水平和铅直 两段绳的张力？两段绳的张力？(2)B(2)B由静止下落距离由静止下落距离y y时速率？时速率？(3)(3)若滑轮与轴承间的摩擦力矩为若滑轮与轴承间的摩擦力矩为 , ,再再求线加速度及绳的张力求线加速度及绳的张力. .AmCmBm MABC)1(1amTA )2(:2amTgmBBB 物物体体T1T2PBT2T1)3(:12 JRTRTC物物体体分别根据牛顿第二定律和转动定律列方程：分别根据牛顿第二定律和转动定律列方程： RaRmJC,212A AB BC C解解(1)(2)(3)(1)(2)(3)得：得：CBABmmmgma2

10、1 CBABAmmmgmmT211 CBABCAmmmgmmmT21)21(2 vaym gymmmBABC 2212 JMRTRT 12解解(1)(2)(4),(1)(2)(4),即可得即可得 a,Ta,T)4(21212RamRaRmCC 例例2 2: :一长为一长为l,l,质量为质量为m m的匀质细杆竖直放的匀质细杆竖直放置置, ,其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链o o相连相连, ,并可绕其并可绕其转动转动. .当其受到微小扰动时当其受到微小扰动时, ,细杆将在重力细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链的作用下由静止开始绕铰链o o转动转动. .试计算试计算细杆转到与铅直线呈细杆转到与

11、铅直线呈 角时的角加速度和角时的角加速度和角速度角速度. . P PO O取任一状态取任一状态, ,由转动定律由转动定律 JmglMsin21外外231mlJ sin23lg又又: : sin23lgdtddddtd dgld 32sin:0, 0,0:00得得时时由由初初始始条条件件 t sin23lg)cos1(23 lg 00sin23dlgd1.1.刚体受力分析，确定各力的力刚体受力分析，确定各力的力矩及方向，若为定轴转动则用矩及方向，若为定轴转动则用正负表示之。正负表示之。2.2.求出合外力矩，据转动定律求出合外力矩，据转动定律 列方程。列方程。 JMo o 研究力矩的空间累积效应研

12、究力矩的空间累积效应FMrF ？力力矩矩刚刚体体角角位位移移 WMd MdW力矩功的表达式：力矩功的表达式：由功的定义式由功的定义式: : rdFdsFsdFdW MddWsdFWFsd 功功力力质质点点位位移移r r d1)M1)M恒定时恒定时, , dMW(2)(2)几个力矩同时作用时几个力矩同时作用时, , iMM dMWi(3)(3)内力矩做功为零内力矩做功为零证明证明: :dWfdr121212 ,dWfdr212121 )(:2112122112rdrdfdWdW 求求和和因为因为1,21,2之间没有相对运动之间没有相对运动0)()(21122112 rrdr dr d02112

13、dWdW内力矩作功之和为零内力矩作功之和为零d1r2r12f21f1 2 二二. .力矩的功率力矩的功率 MdtdMdtdWN三三. .刚体转动动能刚体转动动能刚体分为刚体分为,21immm对应位置对应位置 ,21irrr动能为动能为,21kikkEEE刚体定轴转动时刚体定轴转动时, ,各质点的动能：各质点的动能：2222121 iiiikirmvmE2222121 JrmEiiik刚体的动能为各质元动能的总和：刚体的动能为各质元动能的总和：由转动定律由转动定律 JM 21MdW研究力矩作功和刚体动能变化关系。研究力矩作功和刚体动能变化关系。 dJMd dJddtdJ2122212121 JJ

14、dJcpmghE CmghJEc 22121EE o om mh hM M. .一质量为一质量为M,M,半径为半径为R R的圆盘绕一无摩的圆盘绕一无摩擦轴转动擦轴转动, ,盘上绕有轻绳盘上绕有轻绳, ,下端挂物体下端挂物体m.m.求求当当m m由静止下落高度由静止下落高度h h时速度时速度v v？N NT TG G解解: :对对m m：2022121 JJTR2022121mvmvThmgh 0000 ，且且v可得可得: :mMmghv22 亦可用机械能守恒解亦可用机械能守恒解比比较较？与与的的大大小小讨讨论论ghv2, RvRh，又又对刚体对刚体: :p pT Tm m回顾质点的动量及动量定

15、理回顾质点的动量及动量定理: :vmP PdvmddtF )()(:vmrddtM 即即)()(vmrddtFr vmrPrL 方向由右手定则确定方向由右手定则确定单位单位: :skgm /2量纲量纲: :12 MTLLrvm OABSmrvL 2sin: : 2mrmrvLO OvvO O0 L? LvmrPrL )(vmrdtd 又又)()(vmdtrddtvmdr dtvmdF)( dtvmdrFr)( 0, vvvdtrddtvmdrvmrdtd)()( )(PrdtdFr dtLdM LddtM 或或 2112ttLLdtM2)2)若若 00LdM则则dtM冲量矩冲量矩 vmrLM0

16、恒矢量恒矢量0 FF例例4 4. .一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑开始下滑. .求小球在求小球在B B点时对环心的角动点时对环心的角动量和角速度量和角速度. .解解: :力矩分析力矩分析用角动量定理：用角动量定理： cosmgRMdtdLM dtmgRdL cos dgRmLdLcos32 0320cos dgRmLdLL sin2:23gmRL得得dtdmRmRL 22又又B BA AR R 2mrLJL iiiirvmL JrmrvmLiiiii2方向均相同方向均相同 JL矢量式：矢量式：刚体对刚体对Z Z轴的角动量为轴的角动量为：imo oirimi

17、v Z ZiL)(2 iiiirmdtddtdLM iiiiiiirmdtdLdtdMM)()(2外外dtdLJdtdM )( 2112ttJJMdt0 内内iMLddtM im当当恒恒矢矢量量时时外外 JLM,0北北南南北北南南角动量守恒使地球自转轴的方向在角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变空间保持不变, ,因而产生了季节变化因而产生了季节变化. .例例5 5. .一长为一长为l,l,质量为质量为M M的杆可绕支点的杆可绕支点O O自自由转动由转动. .一质量为一质量为m m、速率为、速率为v v的子弹射入的子弹射入距支点距支点a a的棒内的棒内, ,若杆的偏转角为若杆的偏转角为 ,

18、 ,子弹子弹的初速率为多少的初速率为多少? ?030碰撞分为两过程碰撞分为两过程: :(1)(1)碰撞瞬间角动量守恒碰撞瞬间角动量守恒)1()31(22 maMlmvaa aL LV Vm mM M(2)(2)子弹入杆后向上摆动子弹入杆后向上摆动, ,系统机械能守恒系统机械能守恒)2()30cos1 (2)30cos1 (00 lMgmga解解(1)2)(1)2)得得: :)3)(2)(32(6122maMlmaMlgmav (2)(2)子弹入杆后向上摆动子弹入杆后向上摆动, ,系统机械能守恒系统机械能守恒222)31(21 maml(1)(1)碰撞瞬间角动量守恒碰撞瞬间角动量守恒) 1 ()31(22 maMlmvaa aL Lo o0300 pE例例6 6. .两个均质园盘两个均质园盘A A、B,B,质量为质量为21,mm分别装在通过其自身轴线的竖直轴上分别