CH10第十章波动

1、 第十章第十章 波动波动 Chapter 10 Wave 振动在空间的传播振动在空间的传播波动波动本章重点：本章重点： 波的基本概念波的基本概念平面简谐波平面简谐波定义、波函数、特征定义、波函数、特征波的能量波的能量波的叠加波的叠加10-1 机械波的基本概念机械波的基本概念 一、机械波形成的条件一、机械波形成的条件 波源（激发波动的振动系统）波源（激发波动的振动系统） 连续的弹性媒质连续的弹性媒质注意：注意：1 1、波的传播过程是振动状态的传播过程、波的传播过程是振动状态的传播过程（质点本身不随波运动）（质点本身不随波运动）是位相的传播，能量的传播。是位相的传播，能量的传播。2 2、波是指媒质

2、整体表现的运动状态，其特点是：相邻质点的、波是指媒质整体表现的运动状态，其特点是：相邻质点的振动位相依次落后振动位相依次落后3 3、机械波的种类、机械波的种类横波横波Transverse Wave：振动方向垂直于传播方向（固体内）：振动方向垂直于传播方向（固体内）纵波纵波Longitudinal Wave：振动方向平行于传播方向：振动方向平行于传播方向行波行波 Travelling Wave：振动状态单向传播振动状态单向传播的波的波驻波驻波 Standing Wave：两列相互逆向传播的行波干涉形成的波：两列相互逆向传播的行波干涉形成的波二、波的几何描述二、波的几何描述1 1、波阵面（波面）波

3、阵面（波面）Wave Surface：振动位相相同的点组成的面振动位相相同的点组成的面 波阵面波阵面球面：球面波球面：球面波平面：平面波平面：平面波点波源产生球面波点波源产生球面波球面波在远处可看成平面波球面波在远处可看成平面波在同一时刻，距波源越远的在同一时刻，距波源越远的波面，其相位值越小波面，其相位值越小平面波平面波波波前前波线波线波波面面波波面面波线波线波前波前2 2、波前波前Wave Front： 某时刻相位值最小的波面某时刻相位值最小的波面3 3、波线波线Wave Line：发自波源，与波面垂直指向波的发自波源，与波面垂直指向波的传播方向的射线传播方向的射线三、描述波动的物理量三、

4、描述波动的物理量：4、频率：频率： 单位时间内，波推进的距离中包含的完整的波长的数单位时间内，波推进的距离中包含的完整的波长的数目目注意注意 ：1TTu振波振波 , TT振vu 1、波速波速Velocity of Wave：u 振动状态（位相）传波的速度振动状态（位相）传波的速度（大小由媒质的性质决定（大小由媒质的性质决定) )2、波长波长Wavelength： 同一波线上，两相邻的位相差为同一波线上，两相邻的位相差为2 2 的质点的质点间的距离间的距离 （一个完整的波的长度（一个完整的波的长度 ）3、周期：周期：T 波传播一个波长所用的时间波传播一个波长所用的时间6、位相：位相：描述波的描述

5、波的振动状态的物理量振动状态的物理量5、波数波数Wave Number：n 波线上波线上2 长度内包含波长的个数长度内包含波长的个数 n=2 / 10-2 10-2 平面简谐波平面简谐波 Plane Simple Harmonic Wave 波源与各媒质质点都作简谐振动，产生的波是简谐波，波源与各媒质质点都作简谐振动，产生的波是简谐波，一、平面简谐波波函数一、平面简谐波波函数 （以横波为例以横波为例，y 方向振动方向振动， x 方向传播，波源在坐标原点方向传播，波源在坐标原点） 平面简谐波的动力学方程：平面简谐波的动力学方程：2、波函数波函数Wave Function（波的（波的运动学方程、运

6、动学方程、波形方程）波形方程）222221tyuxyA：振幅振幅w： 角频率角频率j：波源初相位波源初相位)(jwuxt波的相位波的相位1 1、波动方程、波动方程Wave Equation在无限大均匀无吸收媒质中，在无限大均匀无吸收媒质中，)(cosjwuxtAyx 处的质点相对处的质点相对其平衡点的位移其平衡点的位移u：波速波速3、波函数的意义波函数的意义： )(cosjwuxtAy),(txfy （1）将波函数中将波函数中x坐标坐标锁定在锁定在x=x0 得该处振动方程得该处振动方程 （描述该处质点在不同时刻的（描述该处质点在不同时刻的态态）（2）将波将波函数中时间变量函数中时间变量t 锁定

7、在锁定在t = t0 ， )(cos0jwuxtAy（表示表示t0时刻，波线上各点的时刻，波线上各点的态态）（3）当当 t、x 均为变量时均为变量时, ,波函数表示任意时刻、任意质点的波函数表示任意时刻、任意质点的态态。总之，波函数是波线上各个质点的振动方程！总之，波函数是波线上各个质点的振动方程！)(tfy )(xfy 4、波函数的运动学推导方法波函数的运动学推导方法例例1 1：已知坐标原点的振动方程，导出：已知坐标原点的振动方程，导出波函数波函数tAywcos0 xyou解：只需写出任意一点解：只需写出任意一点 p(x) 的振动方程即可！的振动方程即可！* 波向右传播波向右传播，p点处的振

8、动比点处的振动比o点处落后点处落后落后的时间是落后的时间是)cos(ttAypww* 所以，所以，p 处（即任意处）的振动方程处（即任意处）的振动方程是是 :)(cosuxtAyw这就是波函数这就是波函数！p t=x/u落后的位相是落后的位相是w t已知某点振动方程导出波函数已知某点振动方程导出波函数* 显而易见显而易见，若原点的振动方程是一般式，若原点的振动方程是一般式)cos(jwtAyoupXYOx波函数是波函数是upOxY图图2注意：注意：波函数的表达式与坐标轴、坐标原点的选择有关波函数的表达式与坐标轴、坐标原点的选择有关 图图2 2等效于等效于 XYuO)(cosj w w uxtA

9、y Xxu)(cosj w tAy图图1例例2 2、已知、已知p点的振动方程点的振动方程)cos(jwtAypupXYO试写以试写以o为原点的为原点的波函数波函数解：选择解：选择 p点为参考点，任选一点点为参考点，任选一点xLuLx ) (cosjwtAyx例例3 3、若是左图情况，波函数如、若是左图情况，波函数如何？何？波由参考点传到波由参考点传到x 点，需时间点，需时间 ：波函数波函数为为：uLx) (cosjwtAyuLx注意：注意：1 1、波函数还有其它形式波函数还有其它形式根据根据Tw2uT)(cosjwuxtAy有以下形式有以下形式：)(2cosjxTtAy)(2cosjxtAy)

10、(2cosjxutAy)(2cosjutxAy2、球面波球面波：)(cosurtrAyw二、波动媒质质点振动的速度和加速度二、波动媒质质点振动的速度和加速度 )(cosuxtAy w w )(sinuxtAtyvww2)(coswwuxtA)(cos222uxtAtyaww)(cos2wwuxtA看出：看出：1、 v 是质点的振动速度，与波速是质点的振动速度，与波速 u 是不同的是不同的 220max av 反之亦然反之亦然 3、v 与与 a 的位相差为的位相差为 2、v 与与y 的位相差为的位相差为10-3 波的能量波的能量 Wave EnergyxXo设一平面余弦波在密度为设一平面余弦波在

11、密度为 的理想媒质中沿的理想媒质中沿x方向传播方向传播 V的速度为的速度为)(sinuxtAvww2)(21vmWk)(sin)(21222uxtAVwwpW)(sin)(21222uxtAVWkwwpkWWWV)(sin222uxtVAww注意：体积元内的总能量是时间和位置的函数！注意：体积元内的总能量是时间和位置的函数！V一、波动媒质中某体积元内的波动能量一、波动媒质中某体积元内的波动能量二、二、能量密度能量密度VWw)(sin222uxtAww也是时间和位置的函数也是时间和位置的函数三、三、平均能量密度平均能量密度TTw01dtuxtA)(sin222ww2221wA是常数是常数注意注意

12、：谐振子谐振子波波minmaxpkEEmaxmaxpkWW能量守恒能量守恒能量不守恒能量不守恒！四、四、能流：能流：单位时间通过垂直于波传播方向某面积的能量单位时间通过垂直于波传播方向某面积的能量PuswusuxtA)(sin222ww（瓦）（瓦）平均能流平均能流usAP2221w五、五、能流密度：能流密度： 单位时间通过垂直于波传播方向单位面积的能量单位时间通过垂直于波传播方向单位面积的能量SPI uuxtA)(sin222ww平均能流密度平均能流密度 IuA2221w波的强度波的强度uus注意注意：在无吸收的理想媒质中在无吸收的理想媒质中1 1、对平面波：对平面波：u21AA 2 2、对球

13、面波：一周期内穿过波面对球面波：一周期内穿过波面S1 1, ,S2 2的总能量相等的总能量相等1S2S1S2SusAP2221w212221211SSAAPP 222122212122212144rrAASSAAPP 1 1221rrAA 21AA 1r2r一、一、惠更斯原理惠更斯原理 Huygens Principle 波是振动状态的传播，振动状态传到的各点都可以看成新的波是振动状态的传播，振动状态传到的各点都可以看成新的子波波源，发出新的子波来，这些子波的包迹就是下个时刻新的子波波源，发出新的子波来，这些子波的包迹就是下个时刻新的波前。波前。 球面波球面波平面波平面波10-4 波的传播规律

14、波的传播规律二、波的衍射二、波的衍射Diffraction of Wave三、波的三、波的反射反射与与折射折射 Reflection & Refraction of Wave10-5 10-5 波的干涉波的干涉 Interference of Wave 当几个波源产生的波在介质中相遇时，可以互不相干地通过当几个波源产生的波在介质中相遇时，可以互不相干地通过介质，保持原有的频率、波长、振动方向等特性，就象没有遇介质，保持原有的频率、波长、振动方向等特性，就象没有遇到其它波一样。在相遇区域内，介质质点的合位移是各波在该到其它波一样。在相遇区域内，介质质点的合位移是各波在该处单独引起的分位移

15、的矢量和。处单独引起的分位移的矢量和。（波动方程是线性的，遵循迭加原理）（波动方程是线性的，遵循迭加原理）二、波的干涉二、波的干涉一、波的迭加原理一、波的迭加原理1 1、干涉现象：满足一定条件的两列波相遇迭加，在迭加区域内，、干涉现象：满足一定条件的两列波相遇迭加，在迭加区域内，有些点的振动始终加强，有些点始终减弱，呈现出有规则的有些点的振动始终加强，有些点始终减弱，呈现出有规则的稳定稳定分布分布的现象。的现象。声波干涉：强的地方总强，弱的地方总弱。声波干涉：强的地方总强，弱的地方总弱。光波干涉：亮的地方总亮，暗的地方总暗。光波干涉：亮的地方总亮，暗的地方总暗。水波干涉：凸的地方总凸，凹的地方

16、总凹。水波干涉：凸的地方总凸，凹的地方总凹。可以产生干涉现象的波叫相干波，产生相干波的波源叫相干波源。可以产生干涉现象的波叫相干波，产生相干波的波源叫相干波源。2 2、相干波源的条件：、相干波源的条件：并非任意波迭加都能产生干涉并非任意波迭加都能产生干涉波源振动方向相同波源振动方向相同频率相同频率相同有恒定的相位差有恒定的相位差3 3、干涉相长、相消条件：、干涉相长、相消条件：（理想媒质、相干波源）（理想媒质、相干波源）S1、S2的振动方程为：的振动方程为：S1S2r1r2PP点的振动方程为点的振动方程为：)( cos1111jwurtAy)( cos2222jwurtAy将将w=2 / T，

17、 u= / T代入代入：)2 cos(1111jwrtAy)2 cos(2222jwrtAy)cos()cos(222111jwjwtAytAyS1S2r1r2Pjjj)(21212rr 合振动为合振动为 y = A c o s(w t+j)jcos2212221AAAAA（若若 相干波源的初位相相干波源的初位相 相同，即相同，即 ： j 1= j 2时时）相长相消的相长相消的“波程差波程差”条件为：条件为：)(212rr) 12(2kkmax12Akrrrmin2) 12(Akrk =0，1， 2.21max 2AAAkj21min ) 12(AAAkjk =0，1， 2.相长相消的相长相消

18、的“位相差位相差”条件为：条件为：)2 cos(1111jwrtAy)2 cos(2222jwrtAy三、驻波三、驻波1. 驻波的形成：两列驻波的形成：两列振幅相等振幅相等的相干波的相干波相向相向而行，在相遇的而行，在相遇的区域迭加区域迭加干涉干涉，形成驻波形成驻波2.驻波的驻波的波函数波函数 ：假定两列相向而行的平面余弦波为：假定两列相向而行的平面余弦波为)2cos(1xtAyw)2cos(2xtAyw迭加、干涉、合成：迭加、干涉、合成：txAyyywcos2cos2213. 驻波的特征驻波的特征* *振幅振幅是是x的函数的函数02minmax驻驻AAA* * A驻驻 = 0 处为波节处为波

19、节, , 波节的位置波节的位置：令：令02cosx2) 12(2kx)2 , 1 , 0(k4)12(kx2 x相邻波节间距：相邻波节间距：* * A驻驻 =2A 处为波腹，处为波腹，波腹的位置波腹的位置：令：令12cosxkx22 kx)2 , 1 , 0(k相邻波腹间距：相邻波腹间距：2 x * *驻波的驻波的位相位相关系关系* *波形不动，分段振动（故而波形不动，分段振动（故而驻驻波）波）* *驻波中没有净能量传递，能流密度驻波中没有净能量传递，能流密度0 反反入入III* *半波损失：半波损失：波由波由波疏波疏媒质传媒质传到波密到波密媒质，在分界面上发生媒质，在分界面上发生 反射时，反射点一定是波节反射时，反射点一定是波节20minjrA24 例例3 3、同一媒质中的两个相干波源，分别位于、同一媒质中的两个相干波源，分别位于 x1 = -1.5m 和和 x2 =4.5m 处，其振幅均为处，其振幅均为 A，频率都是频率都是100 Hz ，波速波速 u=400m.S-1，媒质无吸收媒质无吸收，当当 x1 处的质元振动位于正最大位移时处的质元振动位于正最大位移时， x2 处质元恰经过自己的平衡位置朝负方向运动。处质元恰经过自己的平衡位置朝负方向运动。 1x2xo)(mXx1r2rP51 54 （1）求求 OX 轴上两波源间因干涉保持静止的