CFD数值模拟原理-5

1、5-3 迭代法收敛性及收敛速度的讨论1、收敛性 Jacobi与GS迭代法收敛的一个充分必要条件：系数矩阵不可约，而且按行或按列对角占优 对各方程成立，且其中至少有一行是不等号成立。 不可约：线性无关。物理意义，可约就意味着可以把流动物理区域分成两个互不影响互不影响的区域这是不可能的。采用本书推荐各种离散方法，弱对角占优的条件一定满足ppNSNSEWWEaaaa TTTTTba1pnbaa()()()dTddTddTckkSdtdxdxdydy证明：如源项() ()()()()()()()nettswtnpppttnetswttnetswPWEPewewNPPSnsnsdTcdxdydtdtcT

2、Tx yddTKdxdydtdxdxddTKdxdydtdydyTTTTKKy txxTTTTKKx txx 采用控制容积法:(全隐格)扩散PwnesNESWyxxwxeynys()cppsdxdydtSS Tx y z 源项：00, , () /() /() /0()/), 0, 0, |ppNNSSEEWWNSENNSSEEWWWpNSEWppPpcpppnba Ta Ta Ta Ta TbxxyaaayKyKxKyaxKaaaaaaSx ycx yabSx ytSx ySaa 均大于显然只要: 由由S分解为两项分解为两项由此可见，采用上述方法的离散方程，迭代必收敛。2、收敛速度收敛速度：

3、其中，使初始误差缩小成为倍，n为达到倍所需的步数。不同的迭代方法，收敛速度如表3、影响因素R受扫描方向影响与不同的边界条件对区域内的影响程度有关。第一类边界条件，规定了边点上值，具有最强烈的影响。（最强）第二类边界条件，（最弱）迭代方式点迭代线迭代Jacobih2/2h2G-Sh22h2SOR2hlog ()Rn近似2 2hh线ADI适当地选择扫描的起始边界条件，最好是第一类边界条件5、加快收敛方法亚松弛迭代：使相邻两层次间未知量的变化不太大在稳态问题中的离散方程中加入拟非稳态项加大了系统系数矩阵的对角优势，有利于收敛例：正方形中的传热问题，达到同样的结果Jacobi：17步GS：11步线迭代

4、：7步0(1)( )0nnbnbppnpnbPpa Tba TTaSVa分母中加入拟非稳态项0(1)nppa T54 加速迭代解法收敛速度的块修正技术基本思想：采用质量守恒或能量守恒进行物理参数的中间修正。如能量守恒，点守恒，块也要守恒，如图：*, i jT在迭代过程的 不一定完全满足能量守恒关系（对各个控制体而言）而引入修正，如对i=I的整块（红斜影部分）要求 在整个块中能量守恒关系得到满足（积分守恒）iT*, i jTiT计算区域中共有(L1-2)个修正值 i=2,3,L1-2 (L1-1)个块(L1-2)个 修正值，组成了一维问题，可用TDMA求解解出iTi=1 2 i=I L2 L1j

5、=1*, i jTM1 M2iT*,()ADIi jiTT修正后再用法线迭代求解反复使之在块内完全满足能量方程iT利用列平均值或行平均值来促进代数方程迭代收敛速度的方法称为块修正法。注意：1.块修正技术不是一个独立的代数方程解出，应与其他迭代方法结合使用。2.当离散方程求解的变量有十分明确的取值范围，不适宜。加 后实际是使解产生整体平移，有可能无物理意义，如组分（01），加上后会使组分超出0,1的范围，无定义。iT55 TDMA算法的扩展一、双三对角阵算法（DTDMA） 解两个相互耦合问题的方法时，为提高收敛性而采用的方法。例如速度与温度耦合（平面）其中，当行定后(i=const)pwqwbw

6、cwarapqbcgwi,ji,ji,ji+1,ji,ji-1,ji,ji,j+1i,ji,ji,j i ,ji,ji,j i,ji,j i+1,ji,j i-1,ji,j i,j+1i,j i,j-1i, ji,jaw jb wc waeabcg wfjjij+1jj-1j jjj jj j+1j j-1jja w(A) jerpwqwfpqji,ji,ji+1,ji,ji-1,ji,j i+1,ji,j i-1,j其中: wj,j组成了相互耦合的一维三对角方程，具体求解方法=(边界条件处理后)综合处理,消元法（消去 j）此步的目的是使方程中仅有j与j+1Pj,Rj,Qj,Uj,：由下面的方

7、法获得对j-1j-111j-1w jjjjjjjjQwp wRQpT wUUjj j+1jj+1j的项合到中的项合到中(B)1111jjjjjjwpwRQpTwUj-1j-1 jj-1jj-1将此代入(A)方程111jjjjjjb wc pwRQaeabc pTwUg wfjjij+1jj jjj jj j+1jj-1 jj-1jj-1jja w(B)11jj jjj jjja cPcTg w11jjjjjbfc U = jjW11,jjW ， /jjjjPb a/jjjjRb11/jjjjjjjjjjQec Qfc U/jjjjTb11/jjjjjjjjjjUec Qdfc U 由此 的表达

8、式 比较上述式与B方程：其中 采用迭代递推。 利用（B）方程，可以逐一回代，求下一步各j点上的，同一列上采用TDMA方法双三对角算法。 循环三对角阵算法（CTDMA） 周期问题 圆柱现问题1112jjjjjjjjjjjjjjjjacPdcRgcTa n双块修正技术 采用块修正时，由于块较大，有可能造成块向个别控制体（网格）上守恒关系得到破坏，反而不利于收敛，甚至发散。可以分成更小的块区，平衡修正双块（多块）修正的思想（对列或行而言） 57 多重网格方法 CFX中一套网格的求解时，初始收敛快，后期收敛慢，为什么？以下面方程为例 采用 G-S 迭代法 设n次迭代后， 与真解 的差为 ， 220TK

9、S xx2112iiiiTTTx f 差分方程 12112nnniiiiTTTx f niTiTi 11111111,nnnniiiiiinniiiTTTTTT 代入差分方程 G-S（n）次方程 采用Von，Neumamm方法分析前后两次迭代之间的误差矢量的变动情况 波数 波数波长2 与步长有关 高频短波误差 低频长波误差代入 11120nnniii 误差传递方程 ixinnnI KxIiee 令 xK xKx 12iinnIIee 12iinIInere注意：以i点为中心，在i点上： 0 x以典型的 之值计算rxKxcossin112224 152cossin22II ， rcossin13

10、2cossinII ， rcossin0.95100.3090110100.914101.093620.95100.30902cossin1010IIII ， r可见， 为较大的量，连续3次迭代， 衰减快 而 小的分量,仅下降到： 0.764 倍，衰减慢。 可见，如果求解中， 不变 采用 不变的迭代，高频（短波）衰减快，低频（长波）衰减慢。 321:0.08931下降到0.037倍， :下降到 25xKxxxxKxKx大，高频分量短波分量小，低频分量长波分量x30.914n多重网格思路：（1）在较细的网格上进行迭代解，将短波误差分量衰减掉；（2）在较粗一点的网格上进行迭代，将次短波误差分量衰减掉；（3）以此逐步使网格变得越来越粗； （a） (b) (c)（4）到最后一层网格，节点数少，可直接解；（5）然后再由粗网格返到细网格；（6）反复进行。注意：