高等数学第二章导数与微分

1、微积分学的创始人微积分学的创始人: 德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家 Ferma 在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出.英国数学家英国数学家 Newton一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

2、返回返回 结束结束 导数的概念 第二章第二章 1. 求曲线上一点处切线的斜率求曲线上一点处切线的斜率 在初等数学中我们已经在初等数学中我们已经知道，曲线知道，曲线y=f (x)上的两点上的两点M0(x0，y0)和和M(x，y)的连线的连线M0 M是该曲线的一条割线。是该曲线的一条割线。当点当点M沿曲线无限趋近于点沿曲线无限趋近于点M0时，割线绕点时，割线绕点M0转动，其转动，其极限位置极限位置M0T就是曲线在点就是曲线在点M0处的切线，如图处的切线，如图2.2所示。所示。图2.2o y x y=f (x)MM0Ty0 yy0 x0 x0 xy2.1导数的概念导数的概念2.1.1 导数的概念导数

3、的概念 曲线上的点由曲线上的点由M0(x0，y0)变到变到M0(x0 x，y0 y),当当 t很很小时可用割线小时可用割线M0 M的斜率近似代替切线的斜率近似代替切线M0T的斜率。割线的斜率即的斜率。割线的斜率即为增量比为增量比 (3) 求极限求极限xxfxxfxy)()(00 当当 时，点时，点M沿曲线无限趋近于点沿曲线无限趋近于点M0，割线，割线M0 M的极限的极限为切线为切线M0T，因而割线斜率的极限就是切线的斜率，即，因而割线斜率的极限就是切线的斜率，即0 x0000()()tanlimlimxtf xxf xyxx 我们分三步来解决。我们分三步来解决。 (1) 求增量求增量 给给x0

4、一个增量一个增量 x，自变量由，自变量由x0变到变到x0 x，曲线上点的纵，曲线上点的纵坐标有相应的增量坐标有相应的增量 y= f (x0 x) f (x0) . (2) 求增量比，即求割线求增量比，即求割线M0 M的斜率的斜率其中其中 是切线是切线M0T与与x轴正向的夹角。轴正向的夹角。)2( 用用s表示质点运动的路程，以表示质点运动的路程，以O为原点，沿质点运动的方向建为原点，沿质点运动的方向建立数轴立数轴s轴，如图轴，如图2.1，显然路程，显然路程s是时间是时间t的函数，记作的函数，记作 s=f (t), t0,T，现求，现求t0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度v0=v(t0). 分三步来解

5、决这一问题。分三步来解决这一问题。 (1) 求增量求增量 给给t0一个增量一个增量 t，时间，时间t0从变到从变到t1 t0 t ，质点，质点M从从M0运运动到动到M1 ，路程的增量为，路程的增量为 s= f (t1) f (t0) = f (t0 t) f (t0) (2) 求增量比，即求求增量比，即求 t内的平均速度内的平均速度 当当 t 很小时，可把质点在很小时，可把质点在 t间隔内的运动近似看成匀速运动间隔内的运动近似看成匀速运动（以不变代变），则（以不变代变），则 t内的平均速度内的平均速度 图图2.1OMM0M1Ps s2 求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度 (3)

6、求极限求极限ttfttftsv)()(00 当当 t 越来越小时，平均速度便越来越接近于越来越小时，平均速度便越来越接近于t0时刻的瞬时速时刻的瞬时速度度v0 ，于是当，于是当 时，平均速度的极限就是瞬时速度时，平均速度的极限就是瞬时速度v0 ，即，即0tttfttftsvvttt)()(limlimlim000000so0t)(0tf)(tft瞬时速度瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有类似

7、问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题变化率问题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义1 . 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在存在,)(xf并称此极限为并称此极限为)(xfy 记作记作:;0 xxy; )

8、(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 在点在点0 x处可导处可导, 在点在点0 x的导数的导数. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyo)(xfy CT0 xM曲线曲线)(xfy 在点在点),(00yx的切线斜率为的切线斜率为)(tan0 xf xyo0 x),(00yx曲线在点曲线在点处的处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xx

9、xfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在点在点0 x的某个右的某个右 邻域内邻域内)(xfy 若极限若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为则称此极限值为)(xf在在 处的右处的右 导数导数,0 x记作记作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x定义定义2 . 设函数设函数有定义有定义,存在存在,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在点在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且且)(0

10、xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf简写为简写为可导的充分必要条件可导的充分必要条件是是运动质点的位置函数运动质点的位置函数)(tfs so0t)(0tf)(tft在在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线曲线)(:xfyC在在 M 点处的切线斜率点处的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在

11、若上述极限不存在 ,在点在点 不可导不可导. 0 x若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数此时导数值构成的新函数称为导函数.记作记作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就说函数就称函数在就称函数在 I 内可导内可导. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 处可导在点xxf)(定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设设)(xfy 在点在点 x 处可导处可导,)(lim0 xfxyx存在存在 , 因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故故

12、xxxfy)(0 x0所以函数所以函数)(xfy 在点在点 x 连续连续 .注意注意: 函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在在 x = 0 处连续处连续 , 但不可导但不可导.即即, 1limlimlim000 xxxxxyxxx而而 , 1limlimlim000 xxxxxyxxx因左右极限不等，故极限因左右极限不等，故极限 不存在，不存在，即函数在点即函数在点 x0没有导数。没有导数。 xyx0limxy 在在 x = 0 处连续处连续 , 但不可导但不可导.Cxf)(C 为常数为常数) 的导数的导数. 解解:yxCCx0lim0即即0)(C例例

13、2. 求函数求函数)N()(nxxfn.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对一般幂函数对一般幂函数xy ( 为常数为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）（以后将证明）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 hxhxhsin)sin(lim0 xxfsin)(的导数的导数. 解解:,xh令则

14、则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxcos)(sin类似可证得类似可证得xxsin)(cosh机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设 y = loga x ( a 0, a 1)，则，则log ()loglog1aaaxyxxxx 于是于是)1 (log1xxxxya1log (1)axxxxxxxaxxx)1 (log1所以所以,log1)1 (log1lim0exxxxyaxxax即即.ln1)(log)(logaxxdxdxaa 特别当特别当 a = e 时，我

15、们有时，我们有.1)(ln)(lnxxdxdx例例4. 对数函数的导数对数函数的导数)1(lnxhxxfln)(的导数的导数. 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh1lim0或或机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例例5. 设)(0 xf 存在, 求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0l

16、imhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf1. 导数的实质导数的实质:3. 导数的几何意义导数的几何意义:4. 可导必连续可导必连续, 但连续不一定可导但连续不一定可导;5. 已学求导公式已学求导公式 :6. 判断可导性判断可导性不连续不连续, 一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的

17、极限增量比的极限;切线的斜率切线的斜率;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1. 函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别区别:)(xf 是函数是函数 ,)(0 xf 是数值是数值;联系联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数与导函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(0 xf 存在存在 , 则则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知已知,)0(,0)0(0kff则则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k0,0,

18、sin)(xxaxxxf, 问问 a 取何值时取何值时,)(xf 在在),(都存在都存在 , 并求出并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故故1a时时,1)0( f此时此时)(xf 在在),(都存在都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在显然该函数在 x = 0 连续连续 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文学家和自然科学家. 他在数学上的卓越贡献是创立了微积分. 1665年他提出正流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成流数术与无穷

19、级数一书 (1736年出版). 他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .德国数学家, 哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人 , 他在学艺杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .解解: 因为1. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f机动 目录 上页 下

20、页 返回 结束 )(xf在 0 x处连续, 且xxfx)(lim0存在， 证明:)(xf在0 x处可导.证证：因为xxfx)(lim0存在， 则有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.xfxfx)0()(lim0)0(f 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的运算法则 第二章 xxfxxfxfx)()(lim)(0

21、( 构造性定义构造性定义 )求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x证明中利用了证明中利用了两个重要极限两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容本节内容机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、的和、 差、差、 积、积、 商商 (除分母除分母为为 0的点外的点外) 都在点都在点 x 可导可导, 且且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()(

22、)()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 此法则可推广到任意有限项的情形此法则可推广到任意有限项的情形.vuvu )() 1 (wvuwvu)( ,例如机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如,vuvuvu )(推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( C为常数为常数 )解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( x

23、x)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 h2vvuvuvu推论推论:2vvCvC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( C为常数为常数 )定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、的和、 差、差、 积、积、 商商 (除分母除分母为为 0的点外的点外) 都在点都在点 x 可导可导, 且且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()(

24、)()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和并同时给出相应的推论和例题例题 .)0)(xv机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 此法则可推广到任意有限项的情形此法则可推广到任意有限项的情形.设设, 则则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立故结论成立.wvuwvu)( ,例如机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

25、束结束 例如例如,vuvuvu )(证证: 设设, )()()(xvxuxf则有则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( C为常数为常数 )解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4

26、(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu2vvuvuvu证证: 设设)(xf则有则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvC

27、vC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( C为常数为常数 ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )( xf定理定理2. y 的某邻域内单调可导的某邻域内单调可导, 证证: 在在 x 处给增量处给增量由反函数的单调

28、性知由反函数的单调性知且由反函数的连续性知且由反函数的连续性知 因此因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1解解: 1) 设设,arcsin xy 则则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarc

29、sin2arccos利用利用0cosy, 则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , )1,0(aaayx则则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当特别当ea时时,小结小结:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在点在点 x 可导可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd定理定理3.)(xgu )(ufy 在点在点)(xgu 可导可导

30、复合函数复合函数 fy )(xg且且)()(ddxgufxy在点在点 x 可导可导,证证:)(ufy 在点在点 u 可导可导, 故故)(lim0ufuyuuuufy)(（当（当 时时 )0u0故有故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , )cos(lnxey 求求.ddx

31、y解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若若)(uf 存在存在 , 如何求如何求)cos(lnxef的导数的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同这两个记号含义不同练习练习: 设设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 31xy若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示

32、的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y机动 目录 上页 下页 返回 结束 03275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 191622y

33、x在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 对幂指函数vuy 可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) () ; (2) () ;xxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)0(sinxxyx的

34、导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb机动 目录 上页 下页 返回 结束 )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对对 x 求导求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数两边取对数2ln1lnxx4ln3ln

35、xx11x21x31x41x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若参数方程若参数方程)()(tytx可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数)(, )(tt可导可导, 且且,0 )( )(22tt则则0)( t时时, 有有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时时, 有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数 )关系关系,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(, )(tt二阶可导二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )

36、()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且且,0)( t则由它确定的函数则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数可求二阶导数 .利用新的参数方程利用新的参数方程,可得可得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )()(dd22ttxy,)()(ttxydd?)(tfx, 且且,0)( tf求求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 已知已知解解:)()(tftfty,1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意 :机动机动 目录目录

37、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.2.5 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu(

38、 C为常数为常数 )0( v3. 复合函数求导法则复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证由定义证 ,说明说明: 最基本的公式最基本的公式uyddxudd其它公式其它公式用求导法则推出用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例11.设设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaax

39、ln1axaaaxaln求求.yaaxln机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x

40、21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求导公式及求导法则求导公式及求导法则注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导由外向内逐层求导 .41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗对吗? ?2114341xx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , )()()(xaxxf其中其中)(x在在ax 因因)()()()(xaxxxf故故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(l

41、imxax)(a正确解法正确解法:)(af 时时, 下列做法是否正确下列做法是否正确?在求在求处连续处连续,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或或xabyababxln机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求求解解: 方法方法1 利用导数定义利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式利用求导公式.

42、)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x2 . 设,)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 其中)(xf可导, 求.y求.y机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(tss 速度速度即即sv加速度加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即即)( sa引例：变速直线运动引例：变速直线运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

43、 若函数若函数)(xfy 的导数的导数)(xfy可导可导, ,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy类似地类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数的二阶导数 , 记作记作y )(xf 的导数为的导数为依次类推依次类推 ,分别记作分别记作则称则称机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设,2210nnxaxaxaay求求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayx

44、a3232) 1(nnxann依次类推依次类推 ,nnany!)(233xa思考思考: 设设, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问问可得可得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 nx)1 ( ,3xaeay 求求解解:特别有特别有:解解:! ) 1( n规定规定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例3. 设设, )1(lnxy求求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 y

45、nxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,sin xy 求求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 bxeyxasin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求为常数 , ),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacos

46、sinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa)cos(bxbexa机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(xyy 由方程由方程eyxey确定确定 , , )0(y解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得0yxyyey再求导再求导, 得得2yey yxey)(02 y当当0 x时时, 1y故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

47、束结束 求其反函数的导数 .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式两边同时对 求导y1yxddxeyxddyxddxe111. 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 求01sin232ytettxy.dd0txy解解： txddyetydd0ddtxy方程组两边同时对 t 求导, 得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1 (costyyttete2e0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估

48、计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用一、微分的概念一、微分的概念 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数的微分 第二章第二章 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为设薄片边长为 x , 面积为面积为 A , 则则,2xA 0 xx面积的增量为面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于关于x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小0 x时为时为故故xxA02称为函数在称为函数在 的微分的微分0 x当当 x 在在0 x

49、取取得增量得增量x时时,0 x变到变到,0 xx边长由边长由其其机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的微分的微分,)(xfy 在点在点 的增量可表示为的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数)(xfy 而而 称为称为xA在)(xf0 x点记作记作yd,df或即即xAyd定理定理: 函数函数)(xfy 在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即即xxfy)(d0在点在点0 x可微可微,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

50、束结束 证证: “必要性必要性” 已知已知)(xfy 在点在点 可微可微 ,0 x则则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点在点 的可导的可导,0 x且且)(xfy 在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导,0 x且且, )(0 xfA即即xxfy)(d0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(xfy 在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导,0 x且且, )(0 xfA即即xxfy)(d0“充分性充分性”已知已知

51、)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即即xxfy)(d0在点在点 的可导的可导,0 x)0)(0时 xf则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0)(0 xf时时 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以所以0 x时时yyd很小时很小时, 有近似公式有近似公式xyyd与与是等价无穷小是等价无穷小,当当故当故当机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxfy)(d0 xx0 xyo)(xf

52、y 0 xyydxtan当当 很小时很小时,xyyd时，当xy 则有则有xxfyd)(d从而从而)(ddxfxy导数也叫作微商导数也叫作微商切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作记作xdxyxd记记机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式又如又如,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设 u(x) , v(x) 均可微均可微 , 则则)(d. 1vu )(d. 2uC(C

53、 为常数为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , )1(ln2xey求 .dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0)cos(sinyxxy求求 .dy解解: 利用一阶微分形式不变

54、性利用一阶微分形式不变性 , 有有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意注意 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意注意: 数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性.)(22 44)(22)(4sin2

55、2)sin(k2224注意 目录 上页 下页 返回 结束 )()(0 xoxxfy当当x很小时很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式得近似等式:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xx,00很小时很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x证明证明: 令令)1 ()(xxf得得,

56、 1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1 (机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 180dx29sin的近似值的近似值 .解解: 设设,sin)(xxf取取300 x,629x则则1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(29sin机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4848. 029sin5245的近似值的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3xx1)1 (机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为了提高球面的

57、光洁度为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为已知球体体积为334RV镀铜体积为镀铜体积为 V 在在01. 0, 1RR时体积的增量时体积的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用铜约为因此每只球需用铜约为16. 113. 09 . 8( g )用铜多少克用铜多少克 . )cmg9 . 8:(3铜的密度估计一下估计一下, 每只球需每只球需要镀上一层铜要镀上一层铜 , 厚度定为厚度定为 0.01cm , 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 某量的精确值为某量的精确值为 A , 其近似值为其近似值为 a ,aA称为称为a

58、 的绝对误差的绝对误差aaA称为称为a 的相对误差的相对误差若若AaAA称为测量称为测量 A 的绝对误差限的绝对误差限aA称为测量称为测量 A 的相对误差限的相对误差限机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 已知测量误差限为已知测量误差限为,x按公式按公式)(xfy 计算计算 y 值时的误差值时的误差yydxxf)(xxf)(故故 y 的绝对误差限约为的绝对误差限约为xyxf)(相对误差限约为相对误差限约为xyxfxfy)()(若直接测量某量得若直接测量某量得 x ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 mm,0 .60D测量测量D 的的 绝对误差限绝

59、对误差限,mm05. 0D欲利用公式欲利用公式24DA圆钢截面积圆钢截面积 ,解解: 计算计算 A 的绝对误差限约为的绝对误差限约为DAADD205. 00 .602715. 4 A 的相对误差限约为的相对误差限约为242DDADADD20 .6005. 02%17. 0试估计面积的误差试估计面积的误差 . 计算计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (mm)1. 微分概念微分概念 微分的定义及几何意义微分的定义及几何意义 可导可导可微可微2. 微分运算法则微分运算法则微分形式不变性微分形式不变性 :uufufd)()(d( u 是自变量或中间变量是自变量或中间变量 )

60、3. 微分的应用微分的应用近似计算近似计算估计误差估计误差机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1. 设函数设函数)(xfy 的图形如下的图形如下, 试在图中标出的点试在图中标出的点0 x处的处的yy ,d及及,dyy 并说明其正负并说明其正负 .yd0 xx00 xxyoy00yyd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos21机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xyy 由方程由方程063sin33yxyx确定确定,