D高阶偏导数学习教案

1、会计学1D高阶偏导数高阶偏导数(do sh)第一页，共27页。在点存在(cnzi),的偏导数(do sh)，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意注意:第1页/共27页第二页，共27页。若函数(hnsh) z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为(chn wi)偏导函数,也简称为偏导数偏导数 ,记为或 y 偏导数存在 ,第2页/共27页第三页，共27页。例如例如(lr), 三元函数三元函数 u = f (x , y , z) 在点在点 (x , y , z) 处对处对 x 的的x偏导数(do sh)定义为(请自己写出)第3页/共27页

2、第四页，共27页。是曲线(qxin)在点 M0 处的切线(qixin)对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线yTyxzOxT对 y 轴的第4页/共27页第五页，共27页。函数在某点各偏导数(do sh)都存在,显然(xinrn)例如例如(lr),(lr),0但在该点不一定连续不一定连续.上节例 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!第5页/共27页第六页，共27页。解法解法(ji f)1(ji f)1解法解法(ji f)2(ji f)2在点(1 , 2) 处的偏导数(do sh).先求后代先代后求第6页/共27页第七页，共27页。证证:例例3. 求的偏导数(do

3、 sh) . 解解:求证(qizhng)第7页/共27页第八页，共27页。偏导数(do sh)记号是一个求证(qizhng):证证:说明说明:(R 为常数) , 不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,第8页/共27页第九页，共27页。设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续(linx)的偏导数若这两个(lin )偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:第9页/共27页第十页，共27页。例如例如(lr)，z = f (x , y) 关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为z = f (x , y)

4、关于(guny) x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于(guny) y 的一阶偏导数为第10页/共27页第十一页，共27页。解解 :xzyz注意注意(zh y):(zh y):此处此处但这一结论(jiln)并不总成立.2exy22exy22exy的二阶偏导数(do sh)及 第11页/共27页第十二页，共27页。二者不等第12页/共27页第十三页，共27页。问题问题(wnt)：具备怎样的条件才能具备怎样的条件才能(cinng)使混合偏导数相等？使混合偏导数相等？第13页/共27页第十四页，共27页。例如例如(lr), 对三元函数对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明说明(shu

5、mng):函数在其定义区域(qy)内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等证明 第14页/共27页第十五页，共27页。证证: :令则则又令第15页/共27页第十六页，共27页。),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf),(),(0000yxfyxfxyyx在点连续(linx),得第16页/共27页第十七页，共27页。证毕证毕解解第17页/共27页第十八页，共27页。满足(mnz)拉普拉斯证：证：利用(lyng)对称性 , 有方

6、程0第18页/共27页第十九页，共27页。例如例如, 对三元对三元(sn yun)函数函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明(shumng):函数在其定义(dngy)区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等证明 第19页/共27页第二十页，共27页。证证: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yx

7、fyyxfx则),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则)()(00 xxx又令第20页/共27页第二十一页，共27页。),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfx

8、yyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在点)(00yx ，连续(linx),得0y第21页/共27页第二十二页，共27页。1. 偏导数的概念及有关(yugun)结论 定义(dngy); 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)第22页/共27页第二十三页，共27页。解答(jid)提示:P129 题 50P129 题 5 , 6即 xy0 时,第23页/共27页第二十四页，共27页。(1)(2)第24页/共27