D71常数项级数学习教案

1、会计学1D71常数常数(chngsh)项级数项级数第一页，共72页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 7.1 数项级数数项级数(j sh)7.1.1 无穷无穷(wqing)级数及级数及其收敛性其收敛性7.1.2 收敛级数的性质收敛级数的性质7.1.3 正项级数正项级数7.1.4 交错级数交错级数7.1.5 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛7.1.6 一般项级数一般项级数一般项级数一般项级数第1页/共72页第二页，共72页。引例引例1. 用圆内接正多边形用圆内接正多边形(zhngdubinxng)面积逼近圆面积面积逼近圆面积.依次(yc)作圆内接正边形, 这个和逼近(bjn)于

2、圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.1.1 无穷级数及其收敛性无穷级数及其收敛性一一 无穷级数及其收敛性的定义无穷级数及其收敛性的定义第2页/共72页第三页，共72页。小球从 1 米高处自由落下(lu xi), 每次跳起的高度减少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明(shumng)道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为( s )设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共72页第四页，共72页。给定一个(y )无穷数列将各项依即称上式为(

3、常数(chngsh)项）无穷级数，其中第 n 项叫做级数的通项。次相加, 简记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 简称(常数项）级数，级数，第4页/共72页第五页，共72页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 级数(j sh)前 n 项和称为级数的第第n部分和.如果数列收敛于并称 S 为级数的和和,并记如果 nS没有极限，则称级数发散级数发散。第5页/共72页第六页，共72页。当级数(j sh)为级数(j sh)的余项.显然(xinrn)机动 目录 上页 下页 返回 结束 称差值收敛时和为S即1nna注：注：判断级数是否收敛？以及收敛的级数如何求和？是级数重要的课题。第6页/共7

4、2页第七页，共72页。 (又称几何级数(j h j sh)敛散性. 解解: 1) 若从而(cng r)因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共72页第八页，共72页。2). 若因此(ync)级数发散 ;因此(ync)n 为奇数(j sh)n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共72页第九页，共72页。解解: (1) 所以(suy)级数 (1) 发散 ;技巧技巧(jqio):利用 “拆项相消拆项相消” 求和机动 目录 上

5、页 下页 返回 结束 第9页/共72页第十页，共72页。(2) 所以(suy)级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧技巧(jqio):利用(lyng) “拆项相消” 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用定义考察级数敛散性是一个重要的方法，其关键就是要求出部分和，“拆项相消拆项相消” 求和这里有一些技巧如 第10页/共72页第十一页，共72页。判别(pnbi)级数的敛散性 .解解:故原级数(j sh)收敛 , 其和为机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第11页/共72页第十二页，共72页。收敛(shulin)的充要条件是:定理定理(dngl).7.1.1有证证: 设所给级数

6、部分和数列为因为所以, 利用数列 的Cauchy判则判则即得本定理的结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 级数当时,对第12页/共72页第十三页，共72页。证明证明(zhngmng) 证明(zhngmng)级数 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 对故对取当0nn时，12nnnpaaapN 对有故级数收敛。收敛。第13页/共72页第十四页，共72页。12nnnpaaa证明证明(zhngmng) 证明(zhngmng)调和级数 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 令发散。这对都成立，故调和级数11nn发散。第14页/共72页第十五页，共72页。若级数(j sh)1nna

7、则证证机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 定理定理7.1.2收敛，设注意到例例级数、均发散。因为不存在，注注只是级数1nna收敛的必要而非充分条件。例调和级数发散，但第15页/共72页第十六页，共72页。若级数(j sh)1nna则证证机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理(dngl)7.1.5收敛，设1.nnas注意到故limnnrlim()nnSS0SS第16页/共72页第十七页，共72页。若级数(j sh)1nna和证证机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 定理定理(dngl)7.1.3都收敛，为常数，则也收敛，并有1nnnab第17页/共72页第十八页，

8、共72页。注注(2) 若两级数(j sh)中一个收敛一个发散 , 则必发散(fsn) . 但若二级数都发散(fsn) ,不一定发散.例例(1) 定理 表明两个收敛级数可逐项相加或减 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 故（3）若则1nna与同敛散。第18页/共72页第十九页，共72页。在级数(j sh)1nna证证机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 定理定理(dngl)7.1.4中改变有限项的值，不影响设1nnb是改变1nna中改变有限后得到的级数。由于这两个级数只有有限项不同，故当时记则当0nn时常数故同敛散，定理成立。注注特别地，在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数的

9、敛散性。敛散性。第19页/共72页第二十页，共72页。收敛(shulin)级数加括弧后所成的级数仍收敛(shulin)于原级数的和.证证 设收敛设收敛(shulin)级数级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,注注 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例例例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共72页第二十一页，共72页。解解: 考虑加括号考虑加括号(kuho)后的级数后的级数发散(fsn) ,从而原级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.第21页/共72页第二十二页

10、，共72页。解解: (1) 令则故从而(cng r)这说明级数(j sh)(1) 发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共72页第二十三页，共72页。因进行进行(jnxng)拆拆项相消项相消这说明原级数(j sh)收敛 ,其和为(2) 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第23页/共72页第二十四页，共72页。211212nn1212nn这说明(shumng)原级数收敛, 其和为 3 .(3) 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共72页第二十五页，共72页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 若则称为正项(zhn xin)级数 .显

11、然正项级数的部分和数列是单调增加的，一一 正项级数正项级数 的定义及基本判定定理的定义及基本判定定理1 定义定义由单调数列数列当且仅当其有界得2 定理定理7.1.6正项级数1nna收敛充分必要条件是它的部分和数列 ns有界。第25页/共72页第二十六页，共72页。证明证明(zhngmng) 证明(zhngmng)级数 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 这时一个正项级数，收敛故其部分和数列有界即可。注意到故级数 01!nn收敛。第26页/共72页第二十七页，共72页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 二二 正项级数正项级数(j sh)比较判别法比较判别法定理定理(dn

12、gl) 7.1.7设是两个正项级数, 从某项开始有（强级数）（1）收敛，则（弱级数）收敛；1nnb（弱级数）（2）发散，则（强级数）1nna发散；注注若正项级数11,nnnnab从某项开始有其中是常数。结论仍然成立！第27页/共72页第二十八页，共72页。证明证明(zhngmng) 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 因为改变(gibin)有限项的值不改变(gibin)级数的敛散性，故可以假定nnab对所有的都成立。于是对都有1nnb（1）收敛，则有界，因而有界，所以1nkka收敛。1nnb（2）发散，则1nkkb无界，因而1nkka无界，所以1nkka发散。第28页/共72页第二十九

13、页，共72页。解解 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 称为(chn wi)弱级数(j sh) 11nn发散，故强级数级数，讨论它的敛散性。当时有11pnn发散。当时，令由Larange中值定理得又强级数收敛，故1p 当时，弱级数11pnn收敛。第29页/共72页第三十页，共72页。若存在(cnzi)对一切(yqi)机动 目录 上页 下页 返回 结束 则发散；1nna则收敛；当然还有等比级数等比级数。第30页/共72页第三十一页，共72页。判断(pndun)级数敛散性解解(1)机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 (2)发散(fsn)所以(3)所以发散所以发散第31页/共

14、72页第三十二页，共72页。判断(pndun)级数敛散性例例当时，故当当1a 时，是公比(n b)小于1的几何级数故收敛，1a 时，收敛(shulin)当时，解:故当1a 时，111nna发散。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共72页第三十三页，共72页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理(dngl) 7.1.8设11,nnnnab是两个(lin )正项级数, 有(1)若则1nna1nnb与同敛散；(2)若则当1nnb收敛时，1nna也收敛。(3)若则当1nnb发散时，1nna也发散。第33页/共72页第三十四页，共72页。证明证明(zhngmng) 机动

15、目录(ml) 上页 下页 返回 结束 (1)由limnnaAb可得，对0,nN0nn当时,有即若1nnb收敛(shulin)，则由右半不等式可知1nna也收敛。若1nnb发散，则由左半不等式可知1nna也发散。第34页/共72页第三十五页，共72页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 (2)若0,nN0nn当时,有即故当1nnb收敛(shulin)，1nna也收敛(shulin)。(3)若0,nN0nn当时,有即故当1nnb发散，1nna也发散。特别得取可得如下结论 :对正项级数注注nana收敛；发散。第35页/共72页第三十六页，共72页。解解: (1)根据(gnj)比较审敛法的

16、极限形式知机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 (2)22sinnn11sinnnnlim根据比较审敛法的极限形式知收敛第36页/共72页第三十七页，共72页。1根据(gnj)比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 1(4)(1 cos)nn根据比较(bjio)审敛法的极限形式知收敛收敛2211ln(1)nn2211 cos2nn第37页/共72页第三十八页，共72页。例例 判别判别(pnbi)级数的敛散性级数的敛散性 解:故级数(j sh)发散(1)故级数(j sh)收敛故级数发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页/共72页第三十九页，共72

17、页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 三三 Cauchy 判别判别(pnbi)法法定理定理(dngl) 7.1.9设1nna是正项级数, 从某项起有（1）（2）则1nna收敛；若有无穷多个使得则1nna发散。证明证明（1）不妨设对都有1,nnaq即强级数由收敛，故（2）由有无穷多个使得0,na可知不以零为极限，故1nna发散。1nna收敛；第39页/共72页第四十页，共72页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理(dngl) 7.1.10设1nna是正项(zhn xin)级数, 当（1）（2）1nna收敛；证明证明（1）（2）时，1nna收敛；当时，1nna发散。

18、当01q时，可取使得于是0,nN0nn当时,有故当1q 时，可取0使得于是0,nN0nn当时,有1nna发散。故第40页/共72页第四十一页，共72页。时 , 级数(j sh)可能收敛也可能发散 .例例但级数(j sh)收敛 ;级数(j sh)发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 p 级数当第41页/共72页第四十二页，共72页。解解: 级数(j sh)收敛；级数(j sh)发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 级数发散 。(1)级数发散 ;当时，故当时，当时，第42页/共72页第四十三页，共72页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 四四 Dalembert判

19、别判别(pnbi)法法定理定理(dngl) 7.1.11设1nna是正项级数, 从某项起有（1）（2）则则1nna发散。证明证明（1）不妨设对,nN 都有11,nnaqa故有强级数由1,q 收敛，故1nna收敛；从某项起有从而有1nna收敛；第43页/共72页第四十四页，共72页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 定理定理(dngl) 7.1.11设1nna是正项(zhn xin)级数, 从某项起有（1）（2）则11,nnaqa则1nna发散。证明证明（2）1nna收敛；从某项起有11,nnaa显然必有当时,有及故当0nn时,有 na不以零为极限，故1nna发散。故第44页/共7

20、2页第四十五页，共72页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 定理定理(dngl) 7.1.12设1nna是正项(zhn xin)级数, 当（1）（2）01q时，收敛；当1q 时，1nna发散。1nna注注当时 , 级数可能收敛也可能发散 .例例:11pnnp 级数)(1n1,npan但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .第45页/共72页第四十六页，共72页。的敛散性 .解解根据(gnj)定理4可知:级数(j sh)收敛 ;级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 讨论级数的敛散性 .解解1limnnnaa级数收敛 ;第46页/共72页第四十七页，共72页。机动

21、目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 五五 Cauchy积分积分(jfn)判别法判别法定理定理(dngl) 7.1.13设在 证明证明上有定义，在1,)上非负且单调递减，则与同敛散。由 f x是单调递减可知，当时，有于是从而对,nN 有若 1df xx收敛，则由上式左半边可知从而级数收敛；若广义积分发散，由上式右半边可知有界，无界，从而级数发散；第47页/共72页第四十八页，共72页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.1.13 判别判别(pnbi)级数级数的敛散性解解级数与广义(gungy)积分同敛散。当时，当时，故当时，级数收敛；当时，级数发散。第48页/共72页第

22、四十九页，共72页。以上定理对正项(zhn xin)级数才成立.注注例例收敛(shulin).1nnb1nna由Leibnitz法知道(zh do)收敛其中而且但我们不能说注意到级数11,nnnnab不是正项级数比较法不成立不是正项级数比较法不成立事实上收敛,发散,故发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第49页/共72页第五十页，共72页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 设0,na 称级数(j sh)为交错级数交错级数 .或定理定理 7.1.14（Leibniz)对数列若满足(1) na单调递减(2)则级数111nnna收敛，且第50页/共72页第五十一页，共72页。机动 目

23、录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 定理定理(dngl) 7.1.14（Leibniz)设 na单调(dndio)递减趋于零，则级数111nnna收敛，且和不大于证明证明由 na单调递减趋于零，可知()()()2nS故单调增有界，故2nS收敛，设则有又故注注由定理可知交错级数满足第51页/共72页第五十二页，共72页。收敛(shulin)收敛(shulin)收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛 101 1nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第52页/共72页第五十三页，共72页。若收敛(shulin) ,为条件收敛 .均为绝对(judu)收敛.例例绝对收敛 ；则

24、称级数条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 1nna若1nna收敛,1nna发散,则称1nna注注若绝对收敛 ，1nna必有一一 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定义及关系及关系第53页/共72页第五十四页，共72页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 即绝对收敛的级数(j sh)自身也一定收敛 .如果1nna收敛 ,则1nna也收敛。证明证明法一法一12nnnpaaa显然有由1nna收敛 及Cauchy判则知1nna也收敛。注注由绝对收敛的定义及定理可知绝对收敛是一个“更强”的收敛，它不仅自身收敛，且1nna也收敛。而条件收敛仅自身收敛，而1nna发散。第54页/共72

25、页第五十五页，共72页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 即绝对收敛(shulin)的级数自身也一定收敛(shulin) .如果1nna收敛 ,则1nna也收敛。证明证明法二法二令显然且强级数1nna收敛 ,故也收敛。又故1nna也收敛。第55页/共72页第五十六页，共72页。注注1:对非正项(zhn xin)级数(1) 首先应考察(koch)正项级数敛散性.1nna可以肯定(kndng)级数敛散性考察绝对收敛.若1nna收敛,则称1nna否则(2)1nna考察敛散性若收敛,则称1nna条件收敛.2:若在正项级数1nna是否收敛时法时有是发散的而非条件收敛.1nna用的是比值或根值第

26、56页/共72页第五十七页，共72页。解解 (1)而收敛(shulin) ,收敛(shulin)因此绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第57页/共72页第五十八页，共72页。(2) 令因此(ync)收敛(shulin),绝对(judu)收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第58页/共72页第五十九页，共72页。解解: (1)故不绝对(judu)收敛 ,机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 1( 1)lnnnn是交错级数,单调减,且1( 1)lnnnn故收敛,故级数条件收敛而故发散第59页/共72页第六十页，共72页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 1(

27、2)( 1) tan(1)1nnnn解解故原级数绝对(judu)收敛又级数(j sh)收敛故收敛第60页/共72页第六十一页，共72页。212(3)( 1)!nnnn解解故级数(j sh)发散(fsn)机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第61页/共72页第六十二页，共72页。定理定理(dngl)7.1.16机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 1nna若绝对收敛,则任意改变求和次序后所得的新级数仍收敛，且其和不变。证明证明(1)先假设是正项级数。设是改变求和次序所得的新级数。记由是中的项，则即有界，收敛，且1nna1nna1nna也是1nna改变求和次序所得的新级数。故

28、有则所以第62页/共72页第六十三页，共72页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 (2)任意(rny)级数，1nna是改变求和(qi h)次序所得的新级数。1nna由于1nna收敛，故可以任意交换次序，即有令显然有故比较法知正项级数收敛，且分别是正项级数改变求和次序所得的新级数。故则第63页/共72页第六十四页，共72页。推论推论(tuln) 7.1.11nna绝对(judu)收敛,令,2nnnaab,2nnnaac则正项(zhn xin)级数和都收敛。推论推论 7.1.2条件收敛,1nna令,2nnnaab,2nnnaac则正项级数1nnb1nnc和都发散。证明证明条件收敛知1nna由1nnb1nnc和不能都收敛。又故由1nna收敛性知1nnb1nnc和都发散。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第64页/共72页第六十五页，共72页。定理定理(dngl) 7.1.171nna机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 设级数(j sh)条件收敛，则适当改变求和次序可以使新级数(1)收敛于