D18连续性间断点学习教案

1、会计学1D18连续性间断连续性间断(jindun)点点第一页，共22页。对对 y = f (x) ，x0 x0 xxy x0 x( )yf x oy左图：在点左图：在点 曲线曲线“连着连着”0 x右图：在点右图：在点 曲线曲线“断开断开”0 x。第1页/共22页第二页，共22页。定义定义(dngy)1在在的某邻域的某邻域(ln y)内有定义内有定义 , 设函数设函数(hnsh)则称函数则称函数 在点在点 连续连续，否则称为，否则称为间断间断。( )f x0 x说明说明:1. 连续本质连续本质当自变量当自变量 x 的变化很小时的变化很小时, f (x) 的变的变 化也很小化也很小.2. 连续几何

2、意义连续几何意义 曲线曲线 yf (x) 在在 点连在一起点连在一起。如果如果第2页/共22页第三页，共22页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 (1) 由上述等价定义可知由上述等价定义可知 , ( )f x在点在点0 x连续的条件为连续的条件为:0()f x存在存在(2)0lim( )xxf x存在存在定义定义(dngy)2（连续的等价定义（连续的等价定义(dngy)）:如果如果 ，则称，则称 在点在点 连续连续.00lim( )()xxf xf x ( )f x0 x0000limlim ()()0 xxyf xxf x 连续连续 (3)0lim( )xxf x0()f x与

3、与相等相等。 第3页/共22页第四页，共22页。例例1. 讨论讨论(toln)函数函数。连续：连续：00lim( ) ,()xxf xf x0lim( )xxf x00, lim( ) ,()xxf xf x都存在且相等都存在且相等都存在且相等都存在且相等或：或：在在x=0处的连续性处的连续性解解f (0)=a ,(1)当当f (x)在在x=0处连续处连续(linx).(2)当当f (x)在在x=0处不连续处不连续(linx).第4页/共22页第五页，共22页。例例2求求a、b 的值的值, 使使 在在 x0 连续连续(linx)。连续：连续：00lim( ) ,()xxf xf x0lim(

4、)xxf x00, lim( ) ,()xxf xf x都存在且相等都存在且相等都存在且相等都存在且相等或：或：解解依题意依题意(t y)第5页/共22页第六页，共22页。00lim( )()xxf xf x ，则称，则称 在点在点 左连续左连续( )f x0 x机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 若若 f ( x ) 在在( a , b )内每一点内每一点(y din)都连续都连续 ,则称则称 f ( x )在在该区间上连续该区间上连续(linx)，把，把( a , b )称为称为f ( x ) 的连续的连续(linx)区间区间.连续，在连续，在 xb 处左连续，则称处左连续，则

5、称 f ( x )在闭区间在闭区间定义定义3（左、右连续的定义）（左、右连续的定义）:如果如果 ，则称，则称 在点在点 右连续右连续00lim( )()xxf xf x ( )f x0 x显然：显然：连续连续左连续且右连续左连续且右连续定义定义4定义定义5若若 f ( x ) 在在( a , b )内连续内连续 , 且且f ( x )在在 xa 处右处右 a , b 上连续。上连续。第6页/共22页第七页，共22页。在在内连续内连续(linx). (不记不记)证证: 即即 ，所以，所以(suy)sinyx 在在(,) 内连续。内连续。|sin|xx0000limlim ()()0 xxyf x

6、xf x 连续连续 第7页/共22页第八页，共22页。定理定理2. 连续单调连续单调(dndio)递增递增 函数的反函数函数的反函数定理定理1. 连续函数的有限连续函数的有限(yuxin)次和次和 , 差差 , 积积 ,商商(分母不为分母不为 0)仍是连续函数仍是连续函数 .(递减递减).递增递增(递减递减)也连续单调也连续单调机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在在上连续上连续 单调单调 递增递增,其反函数其反函数在在上也连续单调递增上也连续单调递增.例如例如：在其定义域内连续在其定义域内连续例如例如,第8页/共22页第九页，共22页。机动机动 目录目录 上页上页 下

7、页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 定理定理3. 连续函数连续函数(hnsh)的复合函数的复合函数(hnsh)是连续的。是连续的。例如例如(lr),是由连续函数是由连续函数因此因此1sinyx 在在*Rx 上连续上连续 .复合而成复合而成 ,xyo第9页/共22页第十页，共22页。定理定理(dngl)4例例4. 求求一切初等一切初等(chdng)函数在其定义区间内都是连续的函数在其定义区间内都是连续的解解原极限原极限(jxin)=例例5. 求求解解原式原式第10页/共22页第十一页，共22页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 四、函数连续四、函数连续(linx)区间

8、的求法区间的求法1. 1. 对初等对初等(chdng)(chdng)函数，连续区间就是定义区间函数，连续区间就是定义区间. .2. 2. 对分段函数，分段点是否连续需单独讨论，对分段函数，分段点是否连续需单独讨论，但其它点处一定连续。但其它点处一定连续。例例6. 求求的连续区间的连续区间.解：解：f(x)的连续区间为的连续区间为第11页/共22页第十二页，共22页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 的连续性的连续性 .1. 1. 对初等函数，连续区间就是定义区间对初等函数，连续区间就是定义区间2. 2. 对分段函数，分段点是否连续需单独讨论对

9、分段函数，分段点是否连续需单独讨论解：解：第12页/共22页第十三页，共22页。机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 cos,02( )22,0 xxxf xxxx 的连续性的连续性 .1. 1. 对初等函数，连续区间就是定义区间对初等函数，连续区间就是定义区间2. 2. 对分段函数，分段点是否连续需单独讨论对分段函数，分段点是否连续需单独讨论1(0)2f f(x)在在x=0处不连续处不连续(linx)，从而从而f(x)在在上连续上连续.不存在不存在第13页/共22页第十四页，共22页。0讨论讨论(toln)函数函数的连续性的连续性.1. 1. 对初等函

10、数，连续区间就是定义区间对初等函数，连续区间就是定义区间2. 2. 对分段函数，分段点是否连续需单独讨论对分段函数，分段点是否连续需单独讨论关键关键(gunjin)：先求出极限先求出极限(jxin)。解：解：当当时时当当时时当当时时当当时时0当当时时当当| | 1x 时时第14页/共22页第十五页，共22页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 设设0 x为为f (x)的的间断点间断点 .第一类间断第一类间断(jindun)点点:、均存在均存在 ,若若称称若若称称0 x第二类间断点第二类间断点:、0()f x 中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x若其中有一个振荡若其中有一个

11、振荡 ,称称0 x若其中有一个为若其中有一个为为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点 .为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 。第15页/共22页第十六页，共22页。为为xoy1第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有左右极限至少有 一个不存在一个不存在例例9 判断下列判断下列(xili)间断点的类型间断点的类型 间断间断(jindun)点点 .可去可去第16页/共22页第十七页，共22页。(2) 1,0 ( )0,01,0 xxyf

12、 xxxx xyo11 为其跳跃为其跳跃(tioyu)间断点间断点 .第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有左右极限至少有 一个不存在一个不存在第17页/共22页第十八页，共22页。2 x 为其无穷为其无穷(wqing)间断点间断点 .0 x 为其振荡为其振荡(zhndng)间断点间断点 .tanyx 2 xyoxy1sinyx o机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有左右极限至少有 一个不存在一个不存在第18页/共22页第十九页，共22页。解解: 间断间断(jindun)点点为无穷间断点为无穷间断点; xx1故故为跳跃间断点。为跳跃间断点。左右极限至少一个不存在左右极限至少一个不存在第一类第一类:左右极限都存在左右极限都存在 第二类第二类:第19页/共22页第二十页，