D125幂级数的应用学习教案

1、会计学1D125幂级数的应用幂级数的应用(yngyng)第一页，共21页。的近似值 ,使准确(zhnqu)到解解: 已知故令得于是(ysh)有用此式求 ln2 计算量大第1页/共21页第二页，共21页。在上述(shngsh)展开式中取前四项, 第2页/共21页第三页，共21页。中,令得具此递推公式(gngsh)可求出任意正整数的对数 . 如 ( n为自然数) , 第3页/共21页第四页，共21页。求误差(wch). 解解: 先把角度先把角度(jiod)化为弧度化为弧度(弧度)的近似值 , 并估计第4页/共21页第五页，共21页。( 取 的近似值, 精确(jngqu)到解解:第5页/共21页第六

2、页，共21页。则 n 应满足(mnz)则所求积分(jfn)近似值为欲使截断误差第6页/共21页第七页，共21页。的近似值, 精确(jngqu)到.104解解: 由于由于(yuy)故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间上连续, 且有幂级数展开式 :第7页/共21页第八页，共21页。代入原方程, 比较(bjio)同次幂系数可定常数 由此确定(qudng)的级数即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求解为幂级数解法本质上就是待定系数法 1. 一阶微分方程的情形一阶微分方程的情形第8页/共21页第九页，共21页。解解: 根据根据(gnj)初始条件初始条件,

3、设所求特解为设所求特解为代入原方程(fngchng), 得比较(bjio)同次幂系数, 得故所求解的幂级数前几项为 第9页/共21页第十页，共21页。定理定理(dngl):则在R x 4 时,第11页/共21页第十二页，共21页。因此(ync)注意(zh y)到:此题的上述(shngsh)特解即为第12页/共21页第十三页，共21页。则称 收敛(shulin) , 且其和为绝对(judu)收敛收敛 .若收敛,若对复数项级数绝对收敛则称 绝对收敛绝对收敛. 由于, 故知 欧拉 第13页/共21页第十四页，共21页。的指数函数(zh sh hn sh)为易证它在整个复平面(pngmin)上绝对收敛

4、 .当 y = 0 时, 它与实指数函数当 x = 0 时,的幂级数展式一致.第14页/共21页第十五页，共21页。（欧拉公式(gngsh)）（也称欧拉公式(gngsh)）利用欧拉公式可得复数的指数(zhsh)形式xxyyOyxzi则欧拉 第15页/共21页第十六页，共21页。据此可得(德莫弗公式(gngsh)利用幂级数的乘法(chngf), 不难验证特别(tbi)有rxxyyOyxzi第六节 yxzisinicos rier作业作业 P291 1 (2); 3(1),(3); 4(1)第七节 第16页/共21页第十七页，共21页。(1) 验证(ynzhng)函数满足(mnz)微分方程(2)

5、利用(1)的结果求幂级数的和. (2002考研) 解解: (1)! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn第17页/共21页第十八页，共21页。所以(suy)(2) 由(1)的结果可知所给级数(j sh)的和函数满足其特征方程:特征(tzhng)根:齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为第18页/共21页第十九页，共21页。代入初始条件可得故所求级数(j sh)的和! )3(30nxnn第19页/共21页第二十页，共21页。瑞士(ru sh)数学家. 他写了大量(dling)数学经典著作(zhzu), 如无穷小分析引论 , 微 还写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和