理论力学综合打包第章点的运动学

1、1.1 向量描述法第1章第1章位置坐标、矢径P ´r (t +D t) DrP向量端图r(t) r(t) = OPr ¢( t)O'Or¢(t) = O¢Pr = r(t )D r = r ( t + D t ) - r ( t) 运动方程位速移度v = lim D r = d r = r&D t® 0 D tdtDvd vd 2 ra = lim= &r&d t 2度Dt ®0 D tdt1.2 直角坐标描述法1.2 直角坐标描述法向量与列阵第1章第1章第1章z设梯子的两个端点A和B 分别沿着墙和地面

2、滑动，它和地面 夹角 j(t) 是时间的已知函数，求梯子上M点的运动轨迹、速 | 列阵是向量在给定坐标系中的分量形式，p依赖于坐标系的选择。r (t)koAr = ( i ,j ,k )r ir i = ( x , y , z ) Tyja= ( e , e , e )r e r e = ( x , y , z) Ti1 2 3eeexMbjj(t)运动方程 r(t ) = x(t )i +y(t)j +z(t )krye2Brr度和度。v(t ) = v i +v j + vk = ix& + yj& + z&k速度e1x exyzyei度 a(t) = axi +

3、ajy +akz = i&x& + yj&& + &z&kx1点的运动学点的运动学点的运动学点的运动学点的运动学第 章 点的运动学日参考题： 1-15； 1 -作业： 1-14; 1-171.2 直角坐标描述法1.2 直角坐标描述法例题1例题1第1章第1章第1章绳的一端连在小车的A点上另一端跨过B点的小滑车绕在鼓轮C上，滑车离地的高度为h。若小车以匀速度v沿着水平方向向右运动，求当 q = 45o 时B、C之间绳上一点P解： 取坐标为的直角坐标系，则M点的x = a cos fM点的速度为yrAv = x& i + &yjyArr

4、= (- aj& sinj ) + (bj& cosj)y = b sin f消去参数 f ，得M点的轨迹方程为aij的速度和度。Mbj( )taM点的度为MboBxrj( )ta = &x&i + y&&jx 2y 2ox+= 1Brr= - aj( &&sinj +j& 2 cosj )i + b(j& cos j - &j2 sin j) ja 2b 2x ³ 0y ³ 02点的运动学点的运动学点的运动学1.2 直角坐标描述法M点的速度为：1-3 自然坐标描述法1-3 自然坐标描述

5、法例题3速度第1章第1章第1章rdrdr ds如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。v (t ) =dtds dt r = x&i + &yj = R j&(1 - cosj)i + (Rj& sinj ) jvdr = lim D ry其中 j& 可由轮心速度求出：D s ® 0 D s= trds dr ds oRrDstPD rrjM= 1P´u = x&0 = d (Rf) / dt = Rf&AxC v(t) = s&t (s) r¢s

6、= s(t)当M点与地面接触，即f = 2kp 时，M点速度等于零。rs = 0t 沿轨迹的切线方向一般说t 与r互不垂直os = s(t)运动方程:此时M点的度是否为零？为什么？1-3 自然坐标描述法1-3 自然坐标描述法度第1章第1章第1章单摆的运动规律为j =0 s，为常数，速度Dq Dsv ( t) = s&t ( s )P´ t¢P´ t¢ OA = l。求摆锤A的速度v和度a。 v(t) = s&t (s) trrr&bPta(t ) = &s&t + &stDtrr解： 以O 点为原点建立弧坐

7、标s。d rPDtr1t dst& =rt ¢度s = s(t )r ¢n t ¢r ds dtrrrrs& 2 rs = lj = l j0 sin wtdt dsDt s = 0a(t ) = s&&t +n= lim密切面oDs ®0 Dsrr r= lim 1 × 2sin Dqb = t ´ nDs® 0 Ds2= lim DqDs®0 Ds= dq= 1方向？rds3点的运动学点的运动学法向加速度切向加速度点的运动学点的运动学点的运动学点的运动学tr& = s&a

8、mp; rr nt& = s&rdr ds 1-3 自然坐标描述法1-3 自然坐标描述法1-3 自然坐标描述法例题5例题5q = -r ×n例题6l = -r ×t第1章第1章第1章| 圆周运动的自然坐标描述。设点P沿着以固定点O为圆心、半径为R 的圆周运动。设有一点M的轨迹是平面曲线， M点的向径 为r， 速度为v。直线OA垂直于过M点的切线，A的矢径q = r + lt-r × t&= -v - v r × nl& =-v t×并且与切线交于A点。试证A 点的速率为v =rqAvrv/r，其中r为曲线在M点的

9、曲率半径。= -v + vd (r + lt )dtpr= v +l&t + lv nRj ( )tovA =Af(t)为已知函数。则点P的弧坐标形式的运动方程为yrvMyqlt= (qt + ln)vAs = R f (t )度分别为vvrMArq速度和rOnxrrrv = R f& t2rv ra = R&ft+ Rf& nxv =AO1-4 极坐标描述法1-4 极坐标描述法1-4 极坐标描述法例题7第1章第1章第1章| P点的速度为r (t) = r&( t) = r& r已知点的运动方程是 r = e(1-coswt ), j = wt,

10、其中e、 w均为常数，求当t = p / 2w 瞬时点的速度和度。点P沿着平面曲线运动，其位置为：ej rj&r = r&rre r + r j&ervrer + rer = r(t ),P点的向径:j = j (t )ejrP解： v = r&e + rj&e = ewsinwte + rweorjrjr(t) = r(t )e (t) r| P点的度为er = cos jej = - sinjsin jTcosjT对比er 径向t = p / 2向量向量v = ew (er + ej )rr&rra (t ) = v (t ) = ( r&a

11、mp; -r f&2) er +( 2r&f& +r&f& )efe 横向ja = r&& - rj& 2 = (ecosw t - r )w 2a = r& -r f& 2径向横向度rre& = j& e= -j& ee&rja = 2&rf& + rf&& = 1 d (r2f& )jra = 2 r&j& + rj&& = 2ew 2sinw t度fjr dt请注意径向和法向、横向和切向之间的差别！e&am

12、p;r = j& eje&j = -j& era = -ew2 e + 2ew2 erj4点的运动学点的运动学横向速度径向速度点的运动学点的运动学点的运动学点的运动学wcos(p /2 ) = 0; sin(p /2) =1;r = etr& = s& rr n1-4 极坐标描述法1-4 极坐标描述法例题8定理第1章第1章1 d例题8定理=(r 2j& ) = 0解： ajr 2j& = Cr dt行星沿着椭圆轨道绕运动，椭圆方程为p = 1 + e cos j度指向原点r0 £ e <1，离心率；p > 0， 焦点参数。pr = 1 + e cosja r = r&& - rj& 2 = r&& - C 2 / r 3- p r& = -ej& sinjr 2r和j为极坐标在运动过程中，从r 2j& = CCer&