DSP第2章_0901

1、第2章时域离散信号和系统的频域分析第第2章时域离散信号和系统的频域分析章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言引言 2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质 2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号 傅里叶变换之间的关系 2.5序列的Z变换 2.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性 习题与上机题第2章时域离散信号和系统的频域分析法国数学家及物理学家法国数学家及物理学家让让巴普蒂斯巴普蒂斯约瑟夫约瑟夫傅立叶傅立叶（法文：Jean Baptiste Joseph Fourier,1768年3月21日1830年5月16日），也译作傅里叶，法国数学家

2、、物理学家。履历履历1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡， 被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁（1785）回乡教数学，1794到巴 黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。第2章时域离散信号和系统的频域分析主要贡献主要贡献数学方面数学方面 主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交热的传播

3、论文，推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。 傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。 第2章时域离散信号和系统的频域分析2.12.1引言引言信号和系统的分析方法有两种:时域分析方法和频域分析方法。 在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，用信号的傅里叶变换或Z变换表示。第2章时域离散信号和系统的频域分析2.22.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质2.2.12.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义时域离

4、散信号傅里叶变换的定义序列x(n)的傅里叶变换定义为（2.2.1） nnnxnxXjje )()(FT)e (第2章时域离散信号和系统的频域分析FTx(n)存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件。（2.2.2） X(ej)的傅里叶反变换为（2.2.3） | ( )|nx n d )e (21)e (IFT)(jjXXnx第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解解 （2.2.4） )2/sin()2/sin(e )ee (e)ee (ee1e1 1ee )()e (2)1( j2/j2/j2/j2/j2/j2/jjjj3j

5、2j10jjjNeeenRxNNNNNnNnnnNqqaaqqaSnqaannnnn11)1 (1111项和前，等比级数通项公式第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线 当N=4时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图2.2.1所示。 在=0和=2M 附近的频谱分布应是相同的;在=0，2, 4, 点上表示x(n)信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率愈高，是以2为周期的，最高频率应是=;第2章时域离散信号和系统的频域分析在=0和=2M 附近的频谱分布应是相同的;在=0，2, 4, 点上表示x(n)信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率愈高，是以2为周期的，最高频率应

6、是=;第2章时域离散信号和系统的频域分析2.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号傅里叶变换的性质1 1 周期性周期性序列x(n)的傅里叶变换 是数字频率的周期函数，周期是2)e (jX第2章时域离散信号和系统的频域分析2 2 线性线性设X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n), 那么(2.2.6) 式中, a，b是常数。 jj1212FT( )( )(e )(e )ax nbx naXbX第2章时域离散信号和系统的频域分析3 3时移与频移时移与频移设X(ej)=FTx(n), 那么(2.2.7) (2.2.8) 0jj0FT ()e(e )mx nnX 00jj(

7、)FTe( )(e)nx nX第2章时域离散信号和系统的频域分析4 4 对称性对称性先介绍共轭对称与共轭反对称，以及它的性质。设序列xe(n)满足下式：（2.2.9） 则称xe(n)为共轭对称序列。*ee( )()x nxn第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.2.22.2.2】试分析x(n)=ejm的对称性。解解因为x*(n)=ejm=x(n)满足(2.2.9)式，所以x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，则得到： x(n)=cosn+j sinn上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。第2章时域离散信号和系统的频域分析一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，

8、即 （2.2.15） （2.2.16） eo( )( )( )x nx nx n*eo()( )( )xnx nx n第2章时域离散信号和系统的频域分析利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2.2.17） （2.2.18） *e1( ) ( )()2xnx nxn*o1( ) ( )()2xnx nxn第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.2.32.2.3】x(n)=anu(n), 0a1。求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。解解x(n)=xe(n)+xo(n)按（2.2.26）式，得到：e(0)01( )( )021() 02xnx nx nnxnn02102101na

9、nannn第2章时域离散信号和系统的频域分析按（2.2.27）式，得到： x(n) 、xe(n)和xo(n)波形如图2.2.3所示。 o001( )( )021() 02nx nx nnxnn001021 02nnnanan第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.2.3例2.2.3图第2章时域离散信号和系统的频域分析 5 5 时域卷积定理时域卷积定理设 y(n)=x(n)*h(n)则 Y(ej)=X(ej)H（ej） （2.2.31）第2章时域离散信号和系统的频域分析6 6 频域卷积定理频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n) 则jjjjj()11(e)(e)(e)(e )(e)d22YXHX

10、H 第2章时域离散信号和系统的频域分析7 7 帕斯维尔（帕斯维尔（ParsevalParseval）定理）定理（2.2.35） 22j1( )(e) d2nx nx帕斯维尔定理表明了信号时域的能量与频域的能量关系。第2章时域离散信号和系统的频域分析2.32.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列不满足绝对可和的条件，因此它的FT并不存在。但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数。第2章时域离散信号和系统的频域分析( )x n2.3.1周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，可以展成离散傅里叶级数。如下:(

11、2.3.1)为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和，即21j0( )eNknNkkx na2jemnN第2章时域离散信号和系统的频域分析式中(2.3.2) 222211111jjjj()00000( )eeeeNNNNNmnknmnk m nNNNNkknnkknx naa 21j()0 e0 Nk m nNnNkmkm第2章时域离散信号和系统的频域分析因此(2.3.3)式中，k和n均取整数。因为，l取整数,即是周期为N的周期函数，所以，系数ak也是周期序列，满足ak=ak+lN。21j01( )e0NkmNknax nkN 22j()jeek lN nknNN2jeknN第2

12、章时域离散信号和系统的频域分析( )kX kNa令 , 并将(2.3.3)式代入， 得到: (2.3.4)式中， 也是以N为周期的周期序列, 称为 的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。21j0( )( )eNknNnX kx nk ( )X k( )X k第2章时域离散信号和系统的频域分析用 (2.3.5) 将（2.3.4）式和（2.3.5）式重写如下： (2.3.6) (2.3.7) 21j01( )( )eNknNkx nX kN21j0( )DFS ( )( )eNknNnX kx nx n21j01( )IDFS( )( )eNknNk

13、x nX kX kN)(1kXN代替(2.3.1)式中的ak,得到第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.3.1】设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求DFS。解解按照（2.3.6）式, 有( )x n( )x n第2章时域离散信号和系统的频域分析其幅度特性如图2.3.1(b)所示。 273jj8400( )( )eeknknnnX kx nj44j41 e1 ekkjj22jj88j (ee)j2jj(ee)481 ee1 eekkkkkkk3j 8sin2esin8kkk( )X k第2章时域离散信号和系统的频

14、域分析图2.3.1例2.3.1图 N),(XN)(周期傅里叶级数系数序列，周期序列，周期knx第2章时域离散信号和系统的频域分析表2.3.2基本序列的傅里叶变换 第2章时域离散信号和系统的频域分析 对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示（用带箭头的竖线表示）。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。【例例2.3.3】令为有理数，求其FT。解解将用欧拉公式展开：按照（2.3.9）式，其FT推导如下：00( )cos,2/x nn( )x n00jj1( )ee2nnx n第2章时域离散信号和系统的频域

15、分析 （2.3.13） (2.3.13)式表明，cos0n的FT是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，如图2.3.4所示。 j0(e)FTcosXn0012 (2 )(2 )2rrr 00 (2 )(2 )rrr 第2章时域离散信号和系统的频域分析 图2.3.4cos0n的FT 第2章时域离散信号和系统的频域分析讨论题：傅里叶变换的几种可能形式1、傅里叶变换。连续时间非周期信号)(txdejXtxdtetxjXtjtj)(21)()()(第2章时域离散信号和系统的频域分析通过连续付里叶变换通过连续付里叶变换( (FT)FT)得到非周期连续频谱密度函数得到非周期连续频谱密度函数

16、。第2章时域离散信号和系统的频域分析讨论题：傅里叶变换的几种可能形式2、傅里叶级数。连续时间周期信号)(txtjkkTTtjkejkXtxdtetxTjkX0000)()()(1)(02/2/00第2章时域离散信号和系统的频域分析周期连续时间信号周期连续时间信号非周期离散频谱函数。非周期离散频谱函数。FS在时域，对信号进行截断，在时域，对信号进行截断，再进行重复再进行重复周期延拓。周期延拓。希望频域离散？第2章时域离散信号和系统的频域分析信号的截断信号的截断为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。第2章时域离散信号

17、和系统的频域分析讨论题：傅里叶变换的几种可能形式3、序列的傅里叶变换。离散时间（序列）信号，非周期序列)(nxdeeXnxenxeXnjjnnjj)(21)()()(第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.3.1例2.3.1图 图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线 第2章时域离散信号和系统的频域分析时域的离散时域的离散造成频域的造成频域的周期延拓周期延拓，而，而时域的非周时域的非周期期对应于对应于频域的连续频域的连续。第2章时域离散信号和系统的频域分析讨论题：傅里叶变换的几种可能形式4、周期序列的傅里叶变换。离散傅里叶变换21j0( )DFS ( )( )eNknNnX kx nx n21j

18、01( )IDFS( )( )eNknNkx nX kX kN第2章时域离散信号和系统的频域分析 结论：结论：只有离散傅里叶变换适用在计算机上只有离散傅里叶变换适用在计算机上运算，因为数字计算要求被处理的对象在运算，因为数字计算要求被处理的对象在时时域域及及频域频域都是离散的。都是离散的。第2章时域离散信号和系统的频域分析 傅里叶变换：建立以时间时间t t为自变量的“信号”与以频率频率f f为自变量的“频率函数”(频谱)之间的某种变换关系。 “时间”或“频率”取连续还是离散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换对。总结第2章时域离散信号和系统的频域分析四种不同傅里叶变换对1、傅里叶级数傅里叶级数(

19、FS)(FS)：连续时间连续时间, ,离散频率的离散频率的傅里叶变换。傅里叶变换。2 2、傅里叶变换傅里叶变换(FT)(FT)：连续时间连续时间, ,连续频率的连续频率的傅里叶变换。傅里叶变换。3 3、序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换(DTFT):(DTFT):离散时间离散时间, ,连续连续频率的傅里叶变换。频率的傅里叶变换。4 4、离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT):(DFT):离散时间离散时间, ,离散频离散频率的傅里叶变换。率的傅里叶变换。第2章时域离散信号和系统的频域分析2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系傅里叶变换之间的关

20、系时域离散信号与模拟信号是两种不同的信号。 时域离散信号是由对模拟信号采样得来。采样得到的时域离散信号：x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT) aa ( )() ()nx tx nTtnT第2章时域离散信号和系统的频域分析信号抽样模型信号抽样模型 传统模型 新模型第2章时域离散信号和系统的频域分析离散序列离散序列xk频谱与抽样间隔频谱与抽样间隔T之间的之间的关系关系)j (Xmm10T1)j (X)( j samX)( j samX)(jeXmsamsammsam /20.msam2第2章时域离散信号和系统的频域分析频谱分布规律波形波形，时域波形,)(X)(knx如果原始信号是模拟信号，

21、如何得到周期序列？周期序列的周期长度N对频域序列有什么影响？周期长度N应如何取？要考虑哪些因素？你能找出时域采样间隔与频域序列样值间隔关系吗？第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.3.1例2.3.1图 N),(XN)(周期傅里叶级数系数序列，周期序列，周期knx第2章时域离散信号和系统的频域分析 由时域离散信号的傅里叶变换和模拟信号傅里叶变换之间的关系得出两点结论：一、时域离散信号的频谱也是模拟信号的频谱周期性延拓，周期为。采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的2倍以上。ss22FT第2章时域离散信号和系统的频域分析二、计算模拟信号的FT可以用计算相应的时域离散信号的FT得到。注意关系式=T

22、。第2章时域离散信号和系统的频域分析2.52.5序列的序列的Z Z变换变换用Z变换进行复频域分析。Z变换在数字信号处理中起着很重要的作用。第2章时域离散信号和系统的频域分析2.5.12.5.1Z Z变换的定义变换的定义序列x(n)的Z变换定义为 （2.5.1）式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。 （2.5.2）( )( )nnX zx n zdef0( )( )nnX zx n zdef第2章时域离散信号和系统的频域分析（2.5.1）式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即 （2.5.3）使（2.5.3）式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域为环状域，即( )

23、nnx n z |xxRzR第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.5.1变换的收敛域第2章时域离散信号和系统的频域分析傅里叶变换和Z变换（ZT）之间的关系，用下式表示：jje(e )( )|zXX z式中, z=ej表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。（2.5.4）式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，就可用（2.5.4）式很方便地求出序列的傅里叶变换，条件是收敛域中包含单位圆。第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.5.1】x(n)=u(n), 求其Z变换。解解0( )( )nnnnX zu n zz第2章时域离散信号和系统的频域分析X(z)存在的条件

24、是|z1|1, 因此11( )| 11X zzz第2章时域离散信号和系统的频域分析2.5.2序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响1 有限长序列有限长序列如序列x(n)满足下式：其Z变换为12( )( )0 x nnnnx n其它第2章时域离散信号和系统的频域分析有限长序列的收敛域表示如下：n10, n20时，0|z|n10时，0|z|0时，0|z|21( )()nnnnXzx n z第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.5.2】求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解解 X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的傅里叶变换，可将z=ej代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中

25、的结果（2.2.5）式是相同的。1101( )( )1NNnnNnnzX zRn zzz第2章时域离散信号和系统的频域分析2 右序列右序列 右序列的Z变换表示为 如果是因果序列，收敛域为Rx|z|。 110( )( )( )nnnn nn nnXx n zx n zx n z1( z) =第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.5.3】求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。解解 在收敛域中必须满足|az1|a|。101( )( )1nnnnnnX za u n za zaz第2章时域离散信号和系统的频域分析3 左序列左序列左序列的Z变换表示为如果n20, z=0点收敛，z=点不收敛，

26、其收敛域是在某一圆（半径为Rx+）的圆内，收敛域为0|z|Rx+。如果n20，则收敛域为0|z|Rx，则其收敛域为Rx|z|Rx+，是一个环状域；如果Rx+Rx，两个收敛域没有交集，X(z)则没有收敛域，因此X(z)不存在。12( )( )( )( )nnX zx n zXzXz111( )( )0 |nxnXzx n zzR20( )( ) |nxnXzx n zRz 第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.5.5】x(n)=a|n|, a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解解第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|1; 第二部分收敛域为|az1|a|。如果|a|1, 两部分的公共收

27、敛域为|a|z|a|1, 其Z变换如下式:如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a|a1|，对应的x(n)是因果序列；（2） |z|a|，对应的x(n)是左序列；（3） |a|z|a1|:这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，F(z)在c内有两个极点：z=a和z=a1，因此2111( )(1)(1)naF zzazaz211()()naza za za第2章时域离散信号和系统的频域分析最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。 1( )Res ( ), Res ( ),x nF z aF z a12211(1)(1)()()()(1)()()nnz

28、 az aazazzazazaaza za zannaa第2章时域离散信号和系统的频域分析（2） 收敛域为|z|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况。实际上，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和。n0时, 1( )Res ( ), Res ( ),x nF z aF z a 122111(1)(1)()()()()()()nnz az aazazzazaa za zaa za za ()nnnnaaaa 第2章时域离散信号和系统的频域分析最后将x(n)表示成封闭式：x(n)=(anan)u(n1)（3）

29、收敛域为|a|z|a1|:这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两种情况分别求x(n)。n0时，c内只有1个极点：z=a, x(n)=ResF(z), a=an第2章时域离散信号和系统的频域分析n0时，c内极点有2个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a1， 因此x(n)=ResF(z), a1=an最后将x(n)表示为即x(n)=a|n|0( )0nnanx nan第2章时域离散信号和系统的频域分析2 部分分式展开法部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常也用部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N

30、阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表（参考表2.5.1）求得各部分的逆变换，再相加便得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式:（2.5.11） （2.5.12） 01( )NmmmA zX zAzz01( )NmmmAAX zzzzz第2章时域离散信号和系统的频域分析观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在极点z=zm的留数就是系数Am。（2.5.13） （2.5.14）求出Am系数(m=0, 1, 2, , N)后，查表2.5.1可求得x(n)序列。0( )Res,0X zAz( )Res,mmX zAzz第2章时域离散

31、信号和系统的频域分析1125( ),2|316zX zzzz【例例2.5.8】已知, 2|z|3，求逆Z变换。解解 212122( )555166(2)(3)23AAX zzzzzzzzzzz12( )( )Res,2(2)1zX zX zAzzz23( )( )Res, 3(3)1zX zX zAzzz ( )1123X zzzz1111( )123X zzzz第2章时域离散信号和系统的频域分析因为收敛域为2|z|2。第二部分极点是z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1，得到：x(n)=2nu(n)+(3)nu(n1)注意:在进行部分分式展开时，也用到求留数问题；求各部分分式对应的原序

32、列时，还要确定它的收敛域在哪里，因此一般情况下不如直接用留数法求方便。一些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。 第2章时域离散信号和系统的频域分析表2.5.1常见序列的Z变换 第2章时域离散信号和系统的频域分析2.5.4Z变换的性质和定理变换的性质和定理下面介绍Z变换重要的性质和定理。1 线性性质线性性质设m(n)=ax(n)+by(n)a, b为常数 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Ry|z|Ry+则 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z)Rm|z|RxRy+Ry时，则M(z)不存在。第2章时域离散信号和系统的频域分析2 序列的移位性质序列的移位性质设X

33、(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则 （2.5.16）00ZT ()( ),|nxxx nnzX zRz R第2章时域离散信号和系统的频域分析3 序列乘以指数序列的性质序列乘以指数序列的性质设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ y(n)=anx(n)a为常数则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a1z)|a|Rx|z|a|Rx+ 因为Rx|a1z|Rx+，得到|a|Rx|z|a|Rx+。11( )( )( )()()nnnnnY za x n zx n a zX a z证明证明（2.5.17）第2章时域离散信号和系统的频域分析4 序列乘以序列乘以n的的ZT设 X(z)=ZTx(n)Rx|

34、z|Rx+则 （2.5.18）证明证明d( )ZT( )|dxxX znx nzRzRz 第2章时域离散信号和系统的频域分析因此 d ( )dd( )( )dddnnnnX zx n zx nzzzz11( )( )nnnnnx n zznx n z 1ZT( )znx n d ( )ZT( )X znx nzz 第2章时域离散信号和系统的频域分析5 复共轭序列的复共轭序列的ZT性质性质设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+ （2.5.19）证明证明*ZT( )( ) ( )()nnx nx n zx n zn*( )()()nnx n zXz

35、第2章时域离散信号和系统的频域分析6 初值定理初值定理设x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)， 则（2.5.20）证明证明 因此(0)lim( )zxX z120( )( )(0)(1)(2)nnX zx n zxxzxzlim( )(0)zX zx第2章时域离散信号和系统的频域分析7 终值定理终值定理若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则（2.5.21）证明证明因为x(n)是因果序列，x(n)=0, n0, 所以1lim ( )lim(1)( )nzx nzX z(1)( ) (1)( )nnzX zx nx n z第2章时域离散

36、信号和系统的频域分析因为(z1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限：10(1)( )lim(1)( )nnmmnmmzX zx mzx m z110lim(1)( )lim(1)( )nnznmmzX zx mx mlim (0)(1)(1)nxxx n(0)(1)(2)( )xxxx nlim (1)lim ( )nnx nx n第2章时域离散信号和系统的频域分析终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示，因为因此 x()=ResX(z), 1（2.5.22）如果在单位圆上X(z)无极点，则x()=0。1lim(1)( )Res( ),1zzX zX z第2章时域离散信号和系统

37、的频域分析8 时域卷积定理时域卷积定理 设w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Rx|z|Ry+1则W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(z)Rw|z|Rw+（2.5.23）Rw+=minRx+, Ry+Rw=maxRx, Ry第2章时域离散信号和系统的频域分析证明证明W(z) 的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。( ) ( )( )W zZT x ny n()( ) ()( )()( )()( ) ( )nnmnmnmn Mmnx m y nm zx my nm zx m zy nm zX z Y z 第2章时域离散信号和系统的频域分析

38、【例例2.5.9】已知网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n)，|a|1, 网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解解y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用两种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是Z变换法。（1） ( )( ) ()my nh m x nm010( ) ()1,01mmnnmma u m u nmaana第2章时域离散信号和系统的频域分析（2） ( )( )* ( )y nh nx n111( )( ) | |11( ) ( ) | 11nH zZT a u nzaazX zZT u nzz111( )( )( ) 1(1)(1)Y zH zX zzza

39、z11( )d2j(1)()nczy nzzzac第2章时域离散信号和系统的频域分析由收敛域判定 y(n)=0n0n0时，将y(n)表示为11( )Res ( ),1Res ( ), nny nY z zY z za1111111nnaaaaa11( )( )1nay nu na第2章时域离散信号和系统的频域分析9 复卷积定理复卷积定理如果ZTx(n)=X(z)Rx|z|Rx+ ZTy(n)=Y(z)Ry|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)则（2.5.24） W(z)的收敛域为RxRy|z|Rx+Ry+(2.5.25)1d( )( ) ( )2jczW zX v Yc第2章时域离散信号和系统

40、的频域分析（2.5.24）式中平面上，被积函数的收敛域为（2.5.26）证明证明 |max,| min,xxyyzzRRRR( )( ) ( )nnW zx n y n z11( )d( )2j1d( )( )2j1d( ) ( )2jnncnncncXy n zzXy nzXY ccc第2章时域离散信号和系统的频域分析由X(z)的收敛域和Y(z)的收敛域得到：因此 |xxRRyyzRR|max,| min,xyxyxxyyR RzR RzzRRRR第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|, 0|a|1若w(n)=x(n)y(n)，求W(

41、z)=ZTw(n)。 解解 11( ) 1 |1X zzz 2111( )| | |(1)(1)aY zazaazaz211d( )( )2j111d 2j(1)(1)1cczW zYXaaaacc第2章时域离散信号和系统的频域分析W(z)的收敛域为|a|z|；被积函数平面上的收敛域为max(|a|, 0)|min(|a1|, |z|)，平面上极点：a、a1和z，c内极点：z=a。 令11( )Res ( ), |1W zFaazaz ( )( )nna u n1( )( )zF zX v YvvxyxyRzRvRzR|,min|,max第2章时域离散信号和系统的频域分析10 帕斯维尔（帕斯维

42、尔（Parseval）定理）定理设X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+RxRy1那么（2.5.27） 111( )( )( )d2jcnx n y nXYc第2章时域离散信号和系统的频域分析平面上，c所在的收敛域为利用复卷积定理可以证明上面的重要的帕斯维尔定理。证明证明令w(n)=x(n)y*(n)按照（2.5.24）式得到：11max,| min,xxyyRRRR11( )ZT ( )( )d2jczW znXYc第2章时域离散信号和系统的频域分析按照（2.5.25）式，RxRy|z|Rx+Ry+; 按照假设，z=1在收敛域中，将z=1代入W(z)中，

43、则有111(1)( )d2jcWXY*(1)( )( )( )( )1nnnWx n y n zx n y nzc第2章时域离散信号和系统的频域分析因此 如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令=ej，得到:令x(n)=y(n)，得到：111( )( )( )d2jcnx n ynXY*j*j1( )( )(e )(e )d2nx n y nXYc第2章时域离散信号和系统的频域分析（2.5.28） 上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕斯维尔定理（2.2.34）式是相同的。（2.5.28）式还可以表示成下式：（2.5.29） 注意：上式中X(z)收敛域包含单位圆，当x(

44、n)为实序列时，X(ej)=X*(ej)。 2j21| ( )|(e)| d2nx nX211d| ( )|( )()2jcnzx nX z X zzc第2章时域离散信号和系统的频域分析2.5.52.5.5利用利用Z Z变换解差分方程变换解差分方程在第1章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单设N阶线性常数差分方程为（2.5.30） 00()()NMkkkka y nkb x nk第2章时域离散信号和系统的频域分析1 求稳态解求稳态解如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对（2.5.30）式求Z变换，得到

45、：（2.5.31） 00( )( )NMkkkkkka Y z zb X z z00( )MkkkNkkkb zY za z( )( )( )Y zH z X z第2章时域离散信号和系统的频域分析式中 （2.5.32） 00( )MkkkNkkkb zH za z( )IZT ( )y nY z第2章时域离散信号和系统的频域分析2 求暂态解求暂态解对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0, nmax(|a|, |b|), 因此式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。11121( )1(1)(1)bY zbzazbz1111( )2() 0nnny n

46、babnab第2章时域离散信号和系统的频域分析2.6 2.6 利用利用Z Z变换分析信号和系统的频响特性变换分析信号和系统的频响特性2.6.1频率响应函数与系统函数频率响应函数与系统函数对单位脉冲响应h(n)进行傅里叶变换, 得到：H(ej)为系统的频率响应函数，或称系统的传输函数。jjjj ()(e)( )e|(e)|enHh nH （2.6.1）第2章时域离散信号和系统的频域分析对h(n)进行Z变换，得到H(z)，称H(z)为系统的系统函数。 （2.6.2）如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，则H(ej)与H(z)之间的关系如下：(2.6.3) 00( )( )( )MiiiNiii

47、b zY zH zX za zjje(e )( )|zHH z第2章时域离散信号和系统的频域分析由式（2.6.2）可见，H(z)可由其零、极点确定。2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性性第2章时域离散信号和系统的频域分析因果（可实现）系统其单位脉冲响应h(n)一定是因果序列 。系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求 , H(z)的收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，收敛域可表示为r|z|0r1nnh| )(|第2章时域离散信号和系统的频域分析func

48、tion stab(A)%stab: 系统稳定性判定函数，A是 H(z)的分母多项式系数向量disp(系统极点为：)P=roots(A)%求H(z)的极点，并显示disp(系统极点模的最大值为：)M=max(abs(P)%求所有极点模的最大值，并显示if M1 disp(系统稳定), else, disp(系统不稳定), end第2章时域离散信号和系统的频域分析用MATLAB函数判定则很简单。例题：432143213 . 07 . 05 . 11 . 112 . 01 . 03 . 01 . 02 . 0)(zzzzzzzzzH第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.6.1】已知，分析其因

49、果性和稳定性。解解H(z)的极点为z=a, z=a1，如图2.5.5所示。（1） 收敛域为a1|z|: 是因果系统，是不稳定系统。（2） 收敛域为0|z|a: 是非因果且不稳定系统。10 ,)1)(1 (1)(12aazazazH（3） 收敛域为a|z|a1: 是非因果系统，是稳定系统。第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.6.1例2.6.1图示 第2章时域离散信号和系统的频域分析2.6.3利用系统的极零点分布分析系统的利用系统的极零点分布分析系统的频率响应特性频率响应特性可以采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。第2章时域离散信号和系统的频域分析将(2.6.4)式分子、分母同

50、乘以zN+M，得到：（2.6.5） 设系统稳定，将z=ej代入上式，得到频率响应函数（2.6.6） 11()( )()MrN MrNrrzcH zAzzdjjj()1j1(e)(e )e(e)MrN MrNrrcHAd第2章时域离散信号和系统的频域分析（2.6.7） （2.6.8） (2.6.9)jj()jj ()11(e )e|(e )|eNrN MrNrrc BHAHd B j11|(e )| |NrrNrrc BHAd B11( )()NNrrrrNM 第2章时域离散信号和系统的频域分析在z平面上，ejcr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量表示，同样，ejdr用由极点指向ej点B

51、的向量表示，如图2.6.2所示，即和分别称为零点向量和极点向量，将它们用极坐标表示：将和表示式代入(2.6.7)式，得到：BcrBdrBcrBdrjjeerrrrrrc Bc Bd Bd B BcrBdr第2章时域离散信号和系统的频域分析系统的频响特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式确定。当频率从0变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(2.6.8)式和(2.6.9)式，分别估算出系统的幅频特性和相频特性。例如图2.6.2表示了具有一个零点和两个极点的频率特性。第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.6.2频响的几何表示法第2章时域离散信号和系统的频域分析 当频率由当频率

52、由0到到2变化时，变化时， 观察零点矢量长度和极点观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化，矢量长度的变化， 在极点附近会形成峰，极点愈靠进在极点附近会形成峰，极点愈靠进单位圆，单位圆， 峰值愈高；零点附近形成谷，零点愈靠进单峰值愈高；零点附近形成谷，零点愈靠进单位圆，位圆， 谷值愈低，零点在单位圆上则形成幅频特性的谷值愈低，零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。零点。 当然，当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近，峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。 第2章时域离散信号和系统的频域分析总结：极点位置主要影响频响的峰值位置

53、及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.6.2】已知H(z)=z1，分析其频率特性。解解由H(z)=z1，可知极点为z=0，幅频特性|H(ej)|=1, 相频特性()=，频响特性如图 2.6.3所示。用几何方法也容易确定，当=0转到=2时，极点向量的长度始终为1。图2.6.3H(z)=z1的频响特性 第2章时域离散信号和系统的频域分析 【例例2.6.3】设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n1)+x(n) 用几何法分析其幅度特性。解解由系统差分方程得到系统函数为式中，0b1。系统极点z=b，零点z=0，当B点从=0逆时针旋转时，在=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在=点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。极零点分布及幅度特性如图2.6.4所示。11( ) | |1zH zzbbzzb第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.6.4例2.6.3插图第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.6.4】已知H(z)=1zN，试定性画出系统的幅频特性。第2章时域离散信号和系统的频域分析N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图2.6.5所示。当从0变化到2时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度