CH3幂级数展开PPT课件

1、11第三章第三章 幂级数展开幂级数展开 第一节第一节 复数项级数复数项级数 第二节第二节 幂级数幂级数 第三节第三节 TaylorTaylor级数表示级数表示 第四节第四节 解析延拓解析延拓 第五节第五节 LaurentLaurent级数表示级数表示 第六节第六节 孤立奇点的分类孤立奇点的分类第1页/共60页22第一节第一节 复数项级数复数项级数 复数项级数概念形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn是复数。收敛与发散若 的前n项和 有极限(n),则称该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称为发散。第2页/共60页33收敛的充分必要条件设 ，则级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其

2、中un和 vn皆为实数。绝对收敛与条件收敛称级数 是绝对收敛的，如果 是收敛的称级数 是条件收敛的，如果 是发散，而 是收敛的第3页/共60页44举例考察级数 的敛散性考察级数 的敛散性考察级数 的敛散性第4页/共60页55 复函数项级数概念收敛与发散形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn(z)是复变函数。点收敛：域收敛：收敛称之收敛，zB，称之第5页/共60页6收敛的充分必要条件级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中柯西收敛判据对于 ，如果 0，存在 N，当nN 时，有 其中p为任意正数第6页/共60页77性质连续性级数 在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续可积性级数

3、 在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则)(1zwnn11)()(nCnCnndzzwdzzw解析性级数 在B内一致收敛于f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且第7页/共60页88第二节第二节 幂级数幂级数概念收敛半径与收敛圆形如 的级数被称为以z0为中心的幂级数，其中an是复常数。若存在正数R，使得当|z-z0|R时，级数 发散，则称R为级数 的收敛半径收敛半径，其中|z-z0|R被称为收敛圆收敛圆。第8页/共60页99收敛半径的求法DAlembert公式Cauchy (根式) 公式第9页/共60页1010举例求级数 的敛散半径及收敛圆第10页/共60页1111求级数

4、 的敛散半径收敛圆第11页/共60页1212内闭一致收敛幂级数的性质在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性幂级数在收敛圆内内闭一致收敛第12页/共60页1313可积性第13页/共60页1414第三节 Taylor级数展开第14页/共60页1515 Taylor定理设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)可写成z0zCRCRRR第15页/共60页162：收敛半径：收敛半径：R=LL：展开中心到被展函数离展开中心到被展函数离z0最近的奇点的距离最近的奇点的距离【例例】X X展开的三要素：展开中心，收敛半径，展开系数展开的三要素：展开中心，收敛半径，展开系数

5、1 ：展开中心：题目中给定。展开中心：题目中给定。3：展开系数由不同的展开方法求出展开系数由不同的展开方法求出。收敛半径收敛半径R1（0到到1的距离）的距离）第16页/共60页173：展开方法泰勒展开的唯一性定理：泰勒展开的唯一性定理：对于给定的一个圆内解析的函数，它的泰勒展开对于给定的一个圆内解析的函数，它的泰勒展开是唯一的。即若：是唯一的。即若：则定有：则定有：有唯一性定理作保障，同一道题目可以使用不同的展开方法。有唯一性定理作保障，同一道题目可以使用不同的展开方法。(证明过程见课本证明过程见课本 P39)第17页/共60页181、直接展开法直接展开法 利用：利用：【例【例1】在在z0=0

6、点邻域，将点邻域，将f(z)=ez展为泰勒级数展为泰勒级数【例【例2】在在z0=0点邻域，将点邻域，将f(z)=sinz展为泰勒级数展为泰勒级数【例【例3】在在z0=1点邻域，将点邻域，将f(z)=lnz展为泰勒级数展为泰勒级数 泰勒级数的展开方法泰勒级数的展开方法第18页/共60页展开泰勒级数。展开泰勒级数。例：在例：在z0=0邻域上将邻域上将解：解：第19页/共60页20展开泰勒级数。展开泰勒级数。例：在例：在z0=0邻域上将邻域上将 f (z)=sinz 在全平面解析在全平面解析 第20页/共60页21级数展开式中，等号左右的奇偶性是一致的。同理可证：第21页/共60页22例：在例：在z

7、0=1邻域上把邻域上把解：解：展开泰勒级数。展开泰勒级数。第22页/共60页23第23页/共60页例：在例：在z0=0邻域上将邻域上将解：解：展开泰勒级数。展开泰勒级数。第24页/共60页25基基 本本 展展 式式第25页/共60页262、间接展开法间接展开法理论依据：泰勒展开的唯一性理论依据：泰勒展开的唯一性 出发点：基本展式出发点：基本展式方法一、变量变换方法一、变量变换【例【例1】在】在z0=0点，将点，将f(z)=1/(2-z)展为泰勒级数展为泰勒级数【例【例2】在】在z0=1点，将点，将f(z)=ez展为泰勒级数展为泰勒级数【例【例3】在】在z0=0点，将点，将f(z)=ln(1+z

8、)展为泰勒级数展为泰勒级数【例【例4】在】在z0=0点，将点，将f(z)=1/(z-1)(z-2)展为泰勒级数展为泰勒级数第26页/共60页27方法一、变量变换方法一、变量变换【例【例1】X X0 解：解： f(z)在在z0=0点及其邻域解析点及其邻域解析 第27页/共60页28令令第28页/共60页29【例【例2】在】在z0=1点邻域，将点邻域，将f(z)=ez展为泰勒级数展为泰勒级数z-1Z解：解： f(z)在在z0=1点及其邻域解析点及其邻域解析 第29页/共60页30【例【例3】在】在z0=0点，将点，将f(z)=ln(1+z)展为泰勒级数展为泰勒级数解：解： f(z)在在z0=0点及

9、其邻域解析点及其邻域解析 令令1+zZX X0 第30页/共60页31【例【例4】在】在z0=0点邻域，将点邻域，将f(z)=1/(z-1)(z-2)展为泰勒级数展为泰勒级数其中：其中：X X0 X X第31页/共60页32【例【例5】 21 zezf在在z=0点及其邻域内解析点及其邻域内解析 22001 11 211 1-221 22 zzzzkkkkkkkf zeeezzk!k!zk! 方法二、算术运算法方法二、算术运算法第32页/共60页33微分法：微分法： dddf zf zzz适用于被展函数的原函数易展开的情况。适用于被展函数的原函数易展开的情况。【例】【例】0 X Xf f( (z

10、 z) )的奇点是的奇点是 z z=1=1 f(z)在在z=0点及其邻域内解析点及其邻域内解析201 11kkk a zzz方法三、分析运算法方法三、分析运算法第33页/共60页3412001d1dd 1d1kkkkzkzzzzz第34页/共60页35积分法：积分法： dddf zf zzCz适用于被展函数的导数易展开的情况。适用于被展函数的导数易展开的情况。 0ln 1 0fzzz【例】【例】f f( (z z) )的奇点是的奇点是 z z=1=1 f(z)在在z=0点及其邻域内解析点及其邻域内解析0 X X第35页/共60页36010dln 1ln 1dd1 d1 d1 1kkkkzzzC

11、zzCzzzCzCk 第36页/共60页3737 解析函数的一个等价命题函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数第37页/共60页3838第四节 解析延拓解析延拓：已给某个区域b上的解析函数f(z),能否找到另一个函数F(z),它在含有区域b的一个较大的区域B上是解析函数，而且在区域b上等同于f(z)。简单地说，解析延拓就是解析函数定义域的扩大！第38页/共60页3939原则上讲，解析延拓都可以利用泰勒级数进行。具体地说，选取区域b的任一内点z0，在z0的领域上把解析函数f(z)展开为泰勒级数，如果这个泰勒级数的收敛圆有一部分超出b之外，解析函数f(z

12、)的定义域就扩大了一步。这样一步又一步，定义域逐步扩大。解析延拓是唯一的！ 第39页/共60页4040第五节第五节 LaurentLaurent级数表示级数表示 问题的提出已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当 f(z)在圆|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛，所以 R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对一致收敛。第42页/共60页4343正幂部分负幂部分R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|R2R1z0收敛环

13、R2|z-z0|R1第43页/共60页4444 双边幂级数的性质R2R1z0B定理设双边幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1，则(1) 在B内连续；(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；(3) 在B内可逐项积分。第44页/共60页4545 Laurent定理设函数 f(z) 在环状域 R2|z-z0|R1 的内部单值解析，则对于环内任一点z， f(z)可展开成zCR1CR2R2R1z0C第45页/共60页4646(3) Laurent级数中的z0点可能是f(z)的奇点，也可能不是f(z)的奇点说明(2) Laurent级数展开的唯一性(1)与泰勒展开系数不同(4) 与泰勒级数定理不一样，

14、我们一般不利用洛朗级数定理计算洛朗级数展开怎么样求解洛朗级数展开呢？第46页/共60页4747例1在z0=0的邻域上把(sin z)/z 展开解：函数 f(z) = (sin z)/z 在z0=0点没有定义， z0=0 为奇点。为避开奇点，从复数平面挖去原点.已知在挖去原点的复平面上用z遍除sin z即得 定义f(z)解析延拓第47页/共60页4848函数 f(z)=1/(1-z2) 分别在1|z| 和 0|z-1|2内的Laurent级数展开11-11|z| 例2 z1中心为z=0，因此是要将f(z)展开成z的幂级数的定义域是（1）1|z|第48页/共60页4921-10|z-1|2210

15、z中心为z=1，因此是要将f(z)展开成(z1)的幂级数?负幂项（2）0|z-1|2第49页/共60页5050在z=0的邻域上把 f(z)=e1/z 展开例3将z全换成1/z即得即已知第50页/共60页5151洛朗级数求解总结洛朗级数求解总结第51页/共60页52第六节第六节 孤立奇点的分类孤立奇点的分类 概念若函数 f(z) 在某点z0不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。举例孤立奇点的例子非孤立奇点的例子第52页/共60页5353 孤立奇点的Laurent级数展开在

16、区域 0|z-z0|R 内的单值解析函数 f(z) 可展开成其中正幂部分是该级数的解析部分是该级数的主要部分负幂部分这里a-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数第53页/共60页5454 孤立奇点的分类主要部分不存在即没有负幂项主要部分有m项即有m项负幂项主要部分有无穷多项即有无穷多项负幂项可去奇点：m阶极点：本性奇点：第54页/共60页5555 孤立奇点的等价命题第55页/共60页56【例】【例】判断三个函数中奇点（判断三个函数中奇点（z=0）性质）性质解：解：z=0是三个函数的孤立奇点，是三个函数的孤立奇点， 将三个函数在将三个函数在z=0点去心邻域作洛朗展开点去心邻域作洛朗展开无负幂项，所以无负幂项，所以z=0点是点是f 1(z)的可去奇点的可去奇点第56页/共60页57Z=0是是 f2(z) 的一阶极点的一阶极点Z=0是是 f3 (z)的本性奇点的本性奇点0010211)1 (1kkkkkkzzzzzzzf1|0 z第57页/共60页58三、 孤立奇点的性质1、可去奇点、可去奇点定理：定理：z0为