高中数学 22《直接证明与间接证明》课件1 新人教A版选修1-2

1、2.22.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法(1)(1).:.,证证明明与与间间接接证证明明直直接接证证明明方方法法我我们们将将学学习习两两类类基基本本的的本本节节加加以以证证明明辑辑推推理理的的方方式式须须通通过过逻逻数数学学结结论论的的正正确确性性必必科科学学的的显显著著特特点点这这正正是是数数学学区区别别于于其其他他是是需需要要证证明明的的确确性性合合情情推推理理所所得得结结论论的的正正我我们们知知道道直接证明直接证明：直接证明包括两种最基本证明方：直接证明包括两种最基本证明方 法法.,用用的的思思维维方方式式也也是是解解决决数数学

2、学问问题题时时常常法法两两种种方方是是直直接接证证明明中中最最基基本本的的综综合合法法和和分分析析法法综合法综合法1.abc4acbcba, 0b, a:,2222求求证证已已知知例例如如结结论论通通过过推推理理推推导导出出所所要要的的义义、公公理理、定定理理等等出出发发某某些些数数学学定定我我们们经经常常从从已已知知条条件件和和在在数数证证明明中中.abc2cba, 0a,bc2cb2222所以因为证明 .abc2acb, 0b,ac2ac2222 所以又.abc4acbcba2222因此.methodlsynthetica,这这种种证证明明方方法法叫叫做做要要证证明明的的结结论论成成立立最

3、最后后推推导导出出所所经经过过一一系系列列的的推推理理论论证证定定理理等等学学定定义义、公公理理、利利用用已已知知条条件件和和某某些些数数一一般般地地综综合合法法.,果法果法又叫顺推证法或由因导又叫顺推证法或由因导综合法综合法:,Q,P表表示示为为则则综综合合法法可可用用框框图图表表示示所所要要证证明明的的结结论论等等定定义义、公公理理、定定理理表表示示已已知知条条件件、已已有有的的用用条件条件结论结论推理论证推理论证条件条件定理定理 公理公理定义定义P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q.ABC,c, b, a,C,B,A, c, b, aC,B,A,ABC1为为等等边边三三角角形形求求证证成

4、成等等比比数数列列成成等等差差数数列列且且对对应应的的边边分分别别为为三三个个内内角角中中在在例例;CAB2,C,B,A转化为符号语言就是转化为符号语言就是成等差数列成等差数列将将分析分析这这是是个个隐隐含含条条的的内内角角为为,ABCC,B,A;CBA,明明确确表表示示出出来来是是件件.acb,c, b, a2转化为符号语言就是转化为符号语言就是成等比数列成等比数列.,.,为工具进行证明可以用余弦定理于是余弦定理正好满足要求状进而判断三角形的形系步寻找角和边之间的关那么就可以进一来如果能把角和边统一起此时.CAB2,C,B,A有成等差数列由证明.CBA,ABCC,B,A所以的内角为因为.3B

5、,得由.acb,c, b, a2有成等比数列由.accaBcosac2cab,22222 可得由余弦定理及, 0ca,acacca,222即得再由.CA. ca从而有因此.ABC.3CBA,是等边三角形所以得由.,.,出出来来表表示示把把其其中中的的隐隐含含条条件件明明显显还还要要通通过过细细致致的的分分析析形形语语言言等等或或把把符符号号语语言言转转换换成成图图转转换换成成符符号号语语言言如如把把文文字字语语言言往往往往先先作作语语言言转转换换解解决决数数学学问问题题时时例例2如图所示，如图所示，ABC在平面在平面外，外，ABP，BCQ，ACR，求证：求证：P、Q、R三点共线三点共线分析：分

6、析：P、Q、R，P、Q、R平面平面ABC则则P、Q、R是两平面的交线是两平面的交线例例3 在在ABC中，设中，设AB=a,CAb求证：求证：222)(| |(|21abbaSABC)(|41)|(1|41)cos1(|41sin|41|cos,sin|212222222222222bababababaCbaCbaSbabaCCbaSABCABC分析：利用向量的代数运算性质：分析：利用向量的代数运算性质：ab=|a|b|cosC 以及三角形面积公式：以及三角形面积公式：S =|a|b|sinC12证明：证明：222)(| |(|21abbaSABCb bc c + + c ca ac ca a

7、+ + a ab ba ab b + + b bc c= =+ + +2 22 22 22 22 22 2 a ab bc c+ +a a b bc c + +a ab b c c= =a a + +b b + +c c. . 法法1 1: : a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 + + += = b bc c + + c ca a + + a ab ba ab bc c证证为为数数例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = =1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b

8、b + +c c + + +. .a ab bc c为为数数证证.1 11 11 1a a + +b b + +c c 5 5，求求 ：a a- -5 5 - -a a- -3 3 a a- -2 2 - -a a. .证证证明证明: :要证要证只需证只需证只需证只需证只需证只需证只需证只需证因为因为 成立成立. .所以所以 成立成立. .a a- -5 5- - a a- -3 3 a a- -2 2- - a a a a- -5 5a a a a- -2 2+ + a a- -3 3a a( (a a- -5 5) ) ( (a a- -2 2) )( (a a- -3 3) )a a(

9、(a a- -5 5) ) ( (a a- -2 2) )( (a a- -3 3) )0 0 6 60 0 6 6a a- -5 5- - a a- -3 3 a a- -2 2- - a aASBCEF3,.SAABC ABBCASBEESCFAFSC例 、已知平面过 作的垂线，垂足为过 作的垂线，垂足为求证：SCEF SBAE ABBC 1.由于分析是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适由于分析是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述因此，于寻找已知条件合适的必要

10、条件，适宜于表述因此，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述后用综合法有条理地表述 2.实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综合孤立起来运用是脱离实的没有分析就没有综合；没有合孤立起来运用是脱离实的没有分析就没有综合；没有综合也没有析问题仅在于，在构建命题的证明路径时，综合也没有析问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它反，是综

11、合法居主导地位，而分析法伴随着它 .,.,新认识新认识你对这两种证明方法的你对这两种证明方法的说说说说回顾以往的数学学习回顾以往的数学学习它们各自的特点它们各自的特点说出说出行比较行比较请对综合法与分析法进请对综合法与分析法进思考思考综合法综合法分析法分析法特点特点由因索果由因索果由果索因由果索因条件条件充分条件充分条件不要条件不要条件格式格式PQ1Q2.QnQQP1P2.PnP关系关系解答个一般方式解答个一般方式解法的探讨解法的探讨实际证题过程，分析与综合是统一运用的实际证题过程，分析与综合是统一运用的PQ1Q2.Qn QPn. P2 P1P例例3.已知已知)tan1 (2tan1tan1t

12、an1sincossin,sin2cossin),(2,22222求证：且zkk分析：证明式中没有分析：证明式中没有，因此我们要将，因此我们要将消掉消掉，如何消掉如何消掉？而且在条件中只有弦，而在证明？而且在条件中只有弦，而在证明结果里面只有切，因此我们要结果里面只有切，因此我们要弦化切弦化切1.综合法：综合法： (sin+cos)2-2sincos1(2sin)2-2sin214sin2-2sin212(cos2sin2)cos2-sin2即：即：2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2)tan1 (2tan1tan1tan12222（二倍角公式）（二倍角公式）2.分析法：分析法：)tan1 ( 2tan1tan1tan122222(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2要证：要证：只要证：只