非齐次问题处理学习教案

1、会计学1非齐次问题处理非齐次问题处理第一页，编辑于星期三：五点 二分。22222000( , ), 0,0;|0;|0,|0.xxlttVVaf x txlttxVVVVt 令( , )( , )( , )U x tV x tWx t 其中22222000, 0,0;|0;|( ),|( ).xxlttWWaxlttxWWWWxxt (1) (2)第1页/共31页第二页，编辑于星期三：五点 二分。 ,sinnnnV x tvtxl 令 为待定函数.( )nv t并将 按特征函数系展为级数 txf,其中 , 2 , 1,sin,20 ndlntfltfln 1( , )sinnnn xf x t

2、ftl (3) (4)22222000( , ), 0,0;|0;|0,|0.xxlttVVaf x txlttxVVVVt (1)第2页/共31页第三页，编辑于星期三：五点 二分。222211( )( ) sin( )sinnnnnnnan xn xvtvtftlll2222( )( )( )nnnnavtvtftl 将(3),(4) 代入方程得两端比较将(3)代入初始条件(0)0, (0)0nnvv第3页/共31页第四页，编辑于星期三：五点 二分。2222( )( )( )(0)0, (0)0nnnnnnavtvtftlvv 0sin,1,2,lnnn a tlvtfdnn al Lapl

3、ace变换所以 01,sinsinlnnn a tlnVx tfdxn all 第4页/共31页第五页，编辑于星期三：五点 二分。例1. 求解具有热源 ，两端绝热，初始温度为零的杆的热传导问题。 0000,0sin002tlxxxxxxtuuutlxtAuau 本征函数为 设 解：第5页/共31页第六页，编辑于星期三：五点 二分。代入方程得 比较系数得： 由初始条件得： 从而 所以 第6页/共31页第七页，编辑于星期三：五点 二分。例在环形区域 内求解下列定解问题22axyb 2222222212,|0,|0 xxyyxyaxybuuxyaxybuun 解考虑极坐标变换:cossinxy 第7

4、页/共31页第八页，编辑于星期三：五点 二分。定解问题可以转化为: 0|, 0|2cos1211222222bauuuuu相应的齐次问题的特征函数系为:,2sin,2cos,sin,cos, 1第8页/共31页第九页，编辑于星期三：五点 二分。于是可以设原问题的解为: 10sincos,nnnnBnAAu代入方程，整理得 20021222111cos1sin12cos2nnnnnnnnnAAAAAnnBBBn 第9页/共31页第十页，编辑于星期三：五点 二分。比较两端 和 的系数可得 ncosnsin 222221412AAA 22102nnnnAAAn 0010AA 2210nnnnBBB第

5、10页/共31页第十一页，编辑于星期三：五点 二分。 0sincos10nnnnaBnaAaA由边界条件，得 所以 0sincos10nnnnbBnbAbA 0bAaAnn 0bBaBnn第11页/共31页第十二页，编辑于星期三：五点 二分。( )nnnnnAcd nnnnnBcd ( )0nA 2n 0nB 由边界条件，可知 nnBnA),2( , 满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为000( )lnAcd第12页/共31页第十三页，编辑于星期三：五点 二分。下面求 . 2A , 222221241 AAA 422212ccA方程的通解为 446612babac由端点的条件， 得 442

6、24422bababac 原问题的解为： 2cos,2Au 220A aAb第13页/共31页第十四页，编辑于星期三：五点 二分。2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 处理非齐次边界条件问题的基本原则基本原则是: 选取一个辅助函数 ,通过函数之间的代换: 使得对新的未知函数 边界条件为齐次的. 第14页/共31页第十五页，编辑于星期三：五点 二分。例1振动问题 （I） 解：取 故要求满足(I)的边界条件即)()()()()(0)(21ttBltAttBtA 解得思路:作代换选取w(x,t)使v(x,t)的边界条件化为齐次第15页/共31页第十六页，编辑于星期三：五点 二分。

7、代入(I)得 的定解问题(II) 令第16页/共31页第十七页，编辑于星期三：五点 二分。如果仍取 的线性函数作为 ，则有 此时除非 ，否则这两式互相矛盾。当x0和x= =l 满足第二类边界条件注意：应取第17页/共31页第十八页，编辑于星期三：五点 二分。例 定解问题22222000, 0,0;|0,|;|0,|0 xx lttuuaAxlttxuuBuut 其中A, B为常数. ,u x tv x tw x 解:令第18页/共31页第十九页，编辑于星期三：五点 二分。2( )ttxxva vwxA 代入方程，得 选 满足 xw 200|0,|xx la wxAwwB 它的解为 22222A

8、AlBw xxxaal 第19页/共31页第二十页，编辑于星期三：五点 二分。于是 满足的方程为： txv, 22222000, 0,0;|0,|0;|,|0 xx lttvvaxlttxvvvvw xt 第20页/共31页第二十一页，编辑于星期三：五点 二分。利用分离变量法，求解得 1,(cossin)sinnnnnananv x tCtDtxlllnBnaAlnnaAlCncos2222223322其中从而，原定解问题的解为 2221,cossin22nnAAlBnanu x txxCtxaalll 0.nD 第21页/共31页第二十二页，编辑于星期三：五点 二分。一. 选择适当的坐标系.

9、 原则:边界条件的表达式最简单.二. 若边界条件是非齐次的, 引进辅助函数把边界条件化为齐次的。三. 对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个, 其 一是方程齐次, 并具有原定解条件的定解问题 (分离变量法)； 其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法).一般的定解问题的解法一般的定解问题的解法第22页/共31页第二十三页，编辑于星期三：五点 二分。22222000sin, 0,0;|0,|;|0,|0 xxxx ltt tuuaAtxlttxuuBuu例例 求下列定解问题的解求下列定解问题的解其中其中 为常数。为常数。, ,A B解解 1 1）边界条件齐次化

10、，令）边界条件齐次化，令 ,u x tU x tG x t2,2BG x txl第23页/共31页第二十四页，编辑于星期三：五点 二分。于是, 满足如下定解问题(, )Ux t2222220200sin, 0,0;|0,|0;|,|02xxxx ltt tUUa BaAtxlttxlUUBUxUl 2）将问题分解为两个定解问题。设,U x tV x tW x t第24页/共31页第二十五页，编辑于星期三：五点 二分。022222002sin, 0,0;( )|0,|0|0;|0,xxxx ltt tVVa BaAtxlttxlIIVVVV222022002, 0,0;( )|0,|0;|,|0

11、2xxxx ltt txltIWWWWaBWxWtxl第25页/共31页第二十六页，编辑于星期三：五点 二分。3）求解问题）求解问题 (I), (II) 。首先，利用分离变量法求解问题首先，利用分离变量法求解问题 (I) 。222lnn ,cos,nnnXxAxl特征值及相应的特征函数特征值及相应的特征函数0, 1, 2,n tlanDtlanCtTnnnsincos第26页/共31页第二十七页，编辑于星期三：五点 二分。则则01,(cossin)cos2nnnCanannW x tCtDtxlll利用初始条件确定系数利用初始条件确定系数10222,( 1),0,(1,2,)3nnnBlBlC

12、CDnn 20|2tBWxl 0|0ttW计算可得计算可得第27页/共31页第二十八页，编辑于星期三：五点 二分。其次，利用特征函数法求解问题其次，利用特征函数法求解问题 (II) 将将 按问题（按问题（I）的特征函数系进行傅立叶展开）的特征函数系进行傅立叶展开( , )V x t 01,( )cosnnnV x tv tvtxl代入问题（代入问题（II）的方程及初始条件，得）的方程及初始条件，得 2201cossinnnnnana Bvtvtv txAtlll(0)0, (0)0,(0,1,2,)nnvvn第28页/共31页第二十九页，编辑于星期三：五点 二分。 220000;sin;00, 0000, 00nnnnnaa BvtvtvtAtllvvvv问题转化为求解下列常微分方程的初值问题问题转化为求解下列常微分方程的初值问题解得解得220sin( )(),2( )0,(1,2,)nAta Bv tttlv tn所以，所以，0( ,