第2章-2-DH坐标系建立

1、2.8 正逆运动学正逆运动学求解基础知识求解基础知识 坐标变换的最终目的是确定机器人各杆件之间坐标变换的最终目的是确定机器人各杆件之间的相互位置关系，通过关节角的值计算末端操作器的相互位置关系，通过关节角的值计算末端操作器在空间位置（正运动学）或预算出末端操作器在要在空间位置（正运动学）或预算出末端操作器在要求位置的关节角（逆运动学）。求位置的关节角（逆运动学）。 主要包括以下内容：主要包括以下内容： 1) 相对杆件的坐标系的确定；相对杆件的坐标系的确定； 2) 建立各连杆的模型矩阵建立各连杆的模型矩阵A； 3) 正运动学算法；正运动学算法； 4) 逆运动学算法。逆运动学算法。 在机器人中，通

2、常有两类在机器人中，通常有两类关节：转动关节和移动关节。关节：转动关节和移动关节。不同于人类的关节，一般机器不同于人类的关节，一般机器人关节为一个自由度的关节，人关节为一个自由度的关节，其目的是为了简化力学、运动其目的是为了简化力学、运动学和机器人的控制。转动关节学和机器人的控制。转动关节提供了一个转动自由度，移动提供了一个转动自由度，移动关节提供一个移动自由度，各关节提供一个移动自由度，各关节间是以固定杆件相连接的。关节间是以固定杆件相连接的。 旋转关节有两种基本形式：旋转关节有两种基本形式：铰链和两杆的相对转动。铰链和两杆的相对转动。关关 节节杆杆 件件 机器人杆件是连接两个关节的固定物体

3、（机机器人杆件是连接两个关节的固定物体（机械）。机器人杆件的主要目的是用来保持该关节械）。机器人杆件的主要目的是用来保持该关节与各相关末端关节一个固定的关系。机器人末端与各相关末端关节一个固定的关系。机器人末端杆件只有一个关节，位于最接近末端（或机座）杆件只有一个关节，位于最接近末端（或机座）的位置。在最远离机座的末端，通常是附加一个的位置。在最远离机座的末端，通常是附加一个手爪。为了更容易、清楚地解释一个机器人的末手爪。为了更容易、清楚地解释一个机器人的末端和其各关节点的关系，课程中只以有限的杆件端和其各关节点的关系，课程中只以有限的杆件数作为研究讨论对象。实际上，为了使得机器人数作为研究讨

4、论对象。实际上，为了使得机器人更容易制造，类似的限制在机器人制造中也使用。更容易制造，类似的限制在机器人制造中也使用。下面给出了八种类型的常见杆件构形下面给出了八种类型的常见杆件构形： 1) 两个平行的转动关节且在两个平行的转动关节且在两轴间没有扭转；连杆参数两轴间没有扭转；连杆参数ln连杆的长度；如果连杆的中心线连杆的长度；如果连杆的中心线被认作被认作x方向并且从关节方向并且从关节n-1到关到关节节n沿沿xn-1方向有一定距离，整个方向有一定距离，整个杆件可以绕关节杆件可以绕关节n-1转动转动 n角，该角，该角认为是两连杆夹角并且这个角角认为是两连杆夹角并且这个角就是一般转动关节的变量；同时

5、就是一般转动关节的变量；同时关节轴被认为是关节轴被认为是z方向并且绕方向并且绕zn-1转动；转动；y轴由右手定则确定。轴由右手定则确定。 坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线转轴轴线) (2) Xn-1：垂直两连杆公垂线：垂直两连杆公垂线xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定 (1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离；的距离； (2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角；的转角； (3) dn：两

6、连杆间偏置：两连杆间偏置：xn-1 xn沿沿zn-1距离，距离，0； (4) n：两连杆间角度，：两连杆间角度，Xn-1 Xn绕绕zn-1的转角，的转角， 变量。变量。 2) 两个转动关节在空间形成两个转动关节在空间形成两轴间两轴间90的扭转；连杆参数的扭转；连杆参数ln连杆的长度；如果连杆的中连杆的长度；如果连杆的中心线被认作心线被认作x方向并且从关节方向并且从关节n-1到关节到关节n沿沿xn-1方向有一定距离，方向有一定距离，整个杆件可以绕关节整个杆件可以绕关节n-1转动转动 n角，角，该角认为是两连杆夹角，这个角该角认为是两连杆夹角，这个角就是一般转动关节的变量；同时就是一般转动关节的变

7、量；同时关节轴被认为是关节轴被认为是z方向并且方向并且绕绕zn-1转动；转动；y轴由右手定则确定。轴由右手定则确定。 坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线转轴轴线) (2) Xn-1：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离；的距离；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角， 90；(3) dn ：两连杆间偏置：两连杆间偏置：xn-1 xn沿沿zn-

8、1距离，距离， 0；(4) n：两连杆间角度，：两连杆间角度，Xn-1 Xn绕绕Zn-1的转的转角，变量。角，变量。 3) 两个转动关节相互交两个转动关节相互交叉垂直轴；两个关节转动轴叉垂直轴；两个关节转动轴相交，连杆参数相交，连杆参数ln=0；关节；关节轴被认为是轴被认为是z方向；方向；x方向由方向由两个两个z轴确定，轴确定，y方向由右手方向由右手定则确定；定则确定；dn为偏移值为偏移值。 坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线、柱轴方向线转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1：xn -1=zn-1 zn (3

9、) Yn-1 ：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离，两轴相交为的距离，两轴相交为0；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角，-90 ；(3) dn ：两连杆间偏置：两连杆间偏置：xn-1 xn沿沿zn-1距离，距离，dn；(4) n：连杆绕：连杆绕zn-1的转角，变量。的转角，变量。 4) 两个转动关节相互垂两个转动关节相互垂直并且重合；连杆参数直并且重合；连杆参数ln=0；关节轴被认为是关节轴被认为是z方向；方向；x方方向由两个向由两个z轴确定，轴确定， y方向由方向

10、由右手定则；右手定则；dn为偏移值。原为偏移值。原点 由点 由 n - 1 坐 标 系 决 定坐 标 系 决 定 坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线、柱轴方向线转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离，两轴相交的距离，两轴相交0；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角，90 ；(3) dn ：两连杆间距

11、离：两连杆间距离：xn-1 xn沿沿zn-1移动距离，移动距离，0；(4) n：连杆绕：连杆绕zn-1的转角，变量。的转角，变量。 5) 两个移动柱关节相互两个移动柱关节相互垂直并相交；连杆参数垂直并相交；连杆参数ln=0；关节轴线方向是关节轴线方向是z向；向；x向由向由z轴确定，轴确定， y方向由右手定则方向由右手定则确定；确定；dn 与与dn+1为柱关节变量。为柱关节变量。坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线、柱轴方向线转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1

12、：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离，两轴相交的距离，两轴相交0；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角，-90 ；(3) dn ：移动关节移动变量；：移动关节移动变量；(4) n：移动关节转角为：移动关节转角为0。 6) 一个转动关节和一个一个转动关节和一个移动柱关节相互垂直并相交；移动柱关节相互垂直并相交；连杆参数连杆参数ln=0；转动关节轴；转动关节轴线方向和移动关节移动方向线方向和移动关节移动方向是是z向；向；x方向由方向由z轴确定，轴确定，y方向由右手定则确定

13、；方向由右手定则确定；n为转为转动关节变量、动关节变量、dn+1为移动关节为移动关节变量。变量。坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线、柱轴方向线转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离，两轴相交的距离，两轴相交0；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角，-90 ；(3) dn+1 ：移动关节移动变量，：移

14、动关节移动变量，dn=偏置量；偏置量；(4) n：转动关节变量。：转动关节变量。 7) 一个移动柱关节和一一个移动柱关节和一个转动关节相互平行；连杆个转动关节相互平行；连杆参数参数ln=偏置量；关节轴线方偏置量；关节轴线方向是向是z向；向；x方向由方向由z轴确定，轴确定， y方向由右手定则；转动和方向由右手定则；转动和移动关节变量为移动关节变量为 n和和dn + 1 。坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线、柱轴方向线转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右

15、手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离；的距离；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角，0 ；(3) dn+1 ：移动关节移动变量；：移动关节移动变量；(4) n：转动关节变量。：转动关节变量。 8) 一个移动柱关节和一一个移动柱关节和一个转动关节相互垂直；连杆个转动关节相互垂直；连杆参数参数ln=0；关节轴线方向是；关节轴线方向是z向；向；x向由向由z轴确定，轴确定，y方向方向由右手定则；由右手定则；dn为偏移值。为偏移值。坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、

16、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线、柱轴方向线转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离，两轴相交的距离，两轴相交0；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角，90 ；(3) dn ：移动关节移动变量；：移动关节移动变量；(4) n+1：转动关节变量。：转动关节变量。2.8 D-H表示法表示法学习目标：学习目标：1 理解理解D-H法原理法原理 2 学会用学会用

17、D-H法对机器人建模法对机器人建模学习重点：学习重点：1 给关节指定参考坐标系给关节指定参考坐标系 2 制定制定D-H参数表参数表 3 利用参数表计算转移矩阵利用参数表计算转移矩阵一一 背景简介：背景简介： 1955年，年，Denavit和和Hartenberg提出了这一方提出了这一方法，后成为表示机器人以及对机器人建模的标准方法，后成为表示机器人以及对机器人建模的标准方法，应用广泛。法，应用广泛。 二二 总体思想总体思想 首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个关节到下一个关节进行变化的步骤，这体现在两个关节到下一个关节进行变化的步骤，这体现在两个相邻

18、参考坐标系之间的变化，将所有变化结合起来，相邻参考坐标系之间的变化，将所有变化结合起来，就确定了末端关节与基座之间的总变化，从而建立就确定了末端关节与基座之间的总变化，从而建立运动学方程，进一步对其求解。运动学方程，进一步对其求解。1. 坐标系的确定坐标系的确定规则规则一一 关节，连杆命关节，连杆命名规则：第一个名规则：第一个关节指定为关节关节指定为关节n,第二个关节为第二个关节为n+1,其余关节以此类其余关节以此类推。连杆命名规推。连杆命名规则与关节相同。则与关节相同。坐标系的确定坐标系的确定坐标系的确定规则坐标系的确定规则2. Z轴确定规则轴确定规则如果关节是旋转的，如果关节是旋转的，Z轴

19、位于按右手规则旋转的轴位于按右手规则旋转的方向，转角方向，转角 为关节变量。如果关节是滑动的，为关节变量。如果关节是滑动的，Z轴为沿直线运动的方向，连杆长度轴为沿直线运动的方向，连杆长度d为关节变量。为关节变量。关节关节n处处Z轴下标为轴下标为n-1。3. X轴确定规则轴确定规则情况情况1 两关节两关节Z轴既不平行也不相交轴既不平行也不相交取两取两Z轴公垂线方向作为轴公垂线方向作为X轴方向，命名规则同轴方向，命名规则同Z轴轴X轴确定规则轴确定规则情况情况2：两关节：两关节Z轴平行轴平行此时，两此时，两Z轴之间有无数条公垂线，可挑选与前轴之间有无数条公垂线，可挑选与前一关节的公垂线共线的一条公垂

20、线一关节的公垂线共线的一条公垂线情况情况3：两关节：两关节Z轴相交轴相交取两条取两条Z轴的叉积方向作为轴的叉积方向作为X轴。轴。Y轴及变量确定规则轴及变量确定规则4. Y轴确定原则轴确定原则取取X轴，轴，Z轴差积方向作为轴差积方向作为Y轴方向。（右手）轴方向。（右手）5. 变量选择原则变量选择原则用用 角表示绕角表示绕Z轴的旋转角，轴的旋转角，d表示在表示在Z轴上两条相轴上两条相邻的公垂线之间的距离，邻的公垂线之间的距离，a表示每一条公垂线的长表示每一条公垂线的长度度(关节偏移关节偏移)，角，角 表示两个相邻表示两个相邻Z轴之间的角度轴之间的角度也叫关节扭转。通常情况下，只有也叫关节扭转。通常

21、情况下，只有 和和d是关节变是关节变量。量。 到达下一坐标系的标准运动到达下一坐标系的标准运动我们可以通过以下几个运动，将一个参考坐标系变我们可以通过以下几个运动，将一个参考坐标系变换到下一个参考坐标系。换到下一个参考坐标系。1 绕绕Zn轴旋转轴旋转 ，它使得它使得Xn+1和和Xn互互相平行相平行1n 到达下一坐标系的标准运动到达下一坐标系的标准运动2 沿沿Zn轴平移轴平移dn+1距离，距离，使得使得Xn和和Xn+1共线共线3 沿沿Xn轴平移轴平移an+1的距离，的距离，使使Xn和和Xn+1的原点重合。的原点重合。 到达下一坐标系的标准运动到达下一坐标系的标准运动4 将将Zn轴绕轴绕Xn+1轴

22、旋转轴旋转 ，使得，使得Zn轴与轴与Zn+1轴对准。轴对准。1n这样就实现了从一个坐标系变换下一个坐标系这样就实现了从一个坐标系变换下一个坐标系列出变换矩阵列出变换矩阵 由于所有的运动都是相对于当前坐标系而言的。由于所有的运动都是相对于当前坐标系而言的。因此，总的变换矩阵因此，总的变换矩阵A等于各变换矩阵右乘。等于各变换矩阵右乘。从而得到的结果如下：从而得到的结果如下：10000),()0 , 0 ,(), 0 , 0(111111111111111111111),(111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnznnndCSSSCCCSCaSSCSCAxRotaTransdTransRot

23、ATn以此类推，总的变换矩阵为：以此类推，总的变换矩阵为：nHRAAAAT321D-H参数表参数表通过原理图确定各参数，制定通过原理图确定各参数，制定D-H参数表如下：参数表如下：#da1 23456将各参数带入矩阵方程即可得到运动学方程，进一将各参数带入矩阵方程即可得到运动学方程，进一步求解。步求解。例2.11 如图，已知一两杆机构，两杆长分别为l1、l2，转角变量为 、 ，1)确定零位置；2) 建立连杆坐标系3)确定参数； 4) 确定工作空间12例2.12 如图，已知一两杆机构，一杆偏置为d1、二杆长为l2，转角变量为， ：1) 建立连杆坐标系；2) 确定参数； 3) 确定工作空间12例2

24、.13 如图，已知一两杆机构，一杆偏置为d1、二杆偏置为d2，变量为， d2 ：1) 建立连杆坐标系；2) 确定参数； 3) 确定工作空间1例2.14 如图，已知一两杆机构：1) 建立连杆坐标系；2) 确定参数； 3) 确定工作空间例2.15 如图，已知一两杆机构：1) 建立连杆坐标系；2) 确定参数； 3) 确定工作空间例例 题题 2.19对下图所示简单机器人，根据对下图所示简单机器人，根据D-H法，建立必要坐法，建立必要坐标系及参数表。标系及参数表。第一步：根据第一步：根据D-H法建立坐标系的规则建立坐标系法建立坐标系的规则建立坐标系 第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式第二步：

25、将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写入入D-H参数表参数表#da1009020030040-905009060001234562a3a4a第四步：将参数代入第四步：将参数代入A矩阵，可得到矩阵，可得到10000010000011111CSSCA1000010000222222222aSCSaCSCA1000010000333333333aSCSaCSCA1000001000444444444aSCSaCSCA10000010000055555CSSCA10000100000066666CSSCA第第5步步

26、 求出总变化矩阵求出总变化矩阵1000)()()()()()()()(22323423452346234652346523422323423415152341651623465234165162346523412232342341515234165162346523416516234652341654321aSaSaSSSCCCCSCCSaCaCaCSCCSCSSSCCSCCCSSSCSSCCCSaCaCaCCCSSCCSSSCSCCCCCSSSSCCCCAAAAAATHR思考题思考题2.9 机器人的逆运动学解机器人的逆运动学解654321AAAAAATHR让我们通过下面这道例题来了解一下机器

27、人逆运动学让我们通过下面这道例题来了解一下机器人逆运动学求解的一般步骤。例求解的一般步骤。例2.19最后方程为最后方程为1000zzzzyyyyxxxxHRpaonpaonpaonT求逆运动学方程的解求逆运动学方程的解 根据第根据第3行第行第4列元素对应相等可得到列元素对应相等可得到依次用依次用 左乘上面两个矩阵，得到：左乘上面两个矩阵，得到：11A10000100056565223234234523462346523462346523422323423452346234652346234652341111111111111111CSSCSaSaSaSSSCCCCSSCCCSaCaCaCSCC

28、SCCCSSCCCCPSPCaSaCoSoCnSnpaonSPCPSaCaSoCoSnCnyxyxyxyxzzZzyxyxyxyx180)arctan(111和xypp根据根据1，4元素和元素和2，4元素，可得到：元素，可得到：将上面两个方程两边平方相加，并利用和差将上面两个方程两边平方相加，并利用和差化积公式得到化积公式得到322322242342423411332322322)()(cosaaaaaSpaCSpCpCCCSSzyx于是有：22323423422323423411aSaSaSpaCaCaCSpCpzyx已知已知2331 CS于是可得到：于是可得到：333arctanCS依次类

29、推，分别在方程依次类推，分别在方程2.19两边左乘两边左乘A1A4的的逆，可得到逆，可得到100000001000)()()()(0)()()()(665656556565342342341123423411234234112342341123411111143423423411234234112342341123423411234CSCSSCSSSCCCaSaSpCPSPCSaCaSaCSoCoSoCSnCnSnCSaSaCoSoCnSnCaaCaCpSpSpCCaSaSaCCoSoSoCCnSnSnCCzyxzyxzyxzyxxyxyxyzyxxyxzyxzyx机器人的逆运动学解zyxyx

30、zaaSaaSaCa)CSC180)arctan(1123423423423411234（和这样，这样， 就可以计算出来了，接下来再一次利用式就可以计算出来了，接下来再一次利用式由于由于C12=C1C2-S1S2以及以及S12=S1C2+C1S2，最后得到：，最后得到：3机器人的逆运动学解yxzyxxyzyxzyxyxzaCaSaSaSaCCaSaCCaSaSaaSpaSaCSpCpaaCaCSpCpaSaSpaaC112341123451152341123453223444234334234112334234113342342332)(arctan)CCS)()()()(arctan（，可以得到再根据对应项元素相等进而可