数字信号处理第六章

1、第六章第六章 IIR数字滤波器的数字滤波器的设计方法设计方法第六章学习目标第六章学习目标理解数字滤波器的基本概念掌握冲激响应不变法掌握双线性变换法数字滤波器：是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能优点：一、数字滤波器的基本概念滤波器的功能 1、数字滤波器的分类 经典滤波器：现代滤波器：选频滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器按实现的网络结构或单位抽样响应分：01( )1MkkkNkkkb zH za z10(

2、 )( )NnnH zh n zFIR滤波器（N-1阶）IIR滤波器（N阶）2、数字滤波器的设计过程用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法3、数字滤波器的技术要求选频滤波器的频率响应：()()()jjjjH eH ee 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后 各频率成分的衰减情况()jH e 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器 后在时间上的延时情况()j：通带截止频率c：阻带截止频率st：通带容限1：阻带容限2st2()jH e阻带

3、：cst过渡带：c11()1jH e通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带最大衰减：1011()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjH eH eH e 阻带最小衰减：2022()20lg20lg()20lg()ststjjjH eH eH e 其中：0()1jH e当 时，()2/20.707cjH e称 为3dB通带截止频率13dBc 滤波器的性能指标带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为滤波器的带宽（3dB带宽）通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通带与阻带之间为过渡带。滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡带的衰减和衰减速度称为

4、滚降与滚降率。阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度4、表征滤波器频率响应的特征参量幅度平方响应2*()()()jjjH eH eHe1( )()()()jz ejjHHezHHez 的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的1( )()H z H zRe zIm jz01aa*a*1/aH(z)的极点：单位圆内的极点相位响应()()()Re()Im()jjjjejjH eH eeH ejH e*()()()jjjjeHeH ee*()1()ln2()jjjH ejHee11( )ln2()jz eH zjH z()jH e2()*()()jjjejH eeHeIm

5、()()arctanRe()jjjH eeH e相位响应：()()jjdeed ( )1Re( )jz edH zzdzH z 群延迟响应相位对角频率的导数的负值()je若滤波器通带内 = 常数，则为线性相位滤波器5、IIR数字滤波器的设计方法先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器01( )1MkkkNkkkb zH za z用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：, kkab即为求滤波器的各系数：计算机辅助设计法 s平面逼近：模拟滤波器z平面逼近：数字滤波器二、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计思想： s 平面 z 平面模拟系统 数字系统( )( )aHsH zH(z) 的频率响应要

6、能模仿 Ha(s) 的频率响应，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| 1设计方法：- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法三、冲激响应不变法( )( )at nTh nh t数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应( )h n( )ah t1、变换原理T抽样周期)(tya)(tha)()(nTxnxa)()(nTynya)()(nThnha( )ax t12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs( )( )at nTh nh t

7、( )Hz( )aHs从频率响应来看：从频率响应来看：1212()()()jaakkkH eHjjkHjTTTT 数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为的周期延拓，周期为2 /T只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带限于折叠频率以内时，即限于折叠频率以内时，即()0,2saHjT 数字滤波器的频响在折叠频率以内重现模拟滤波数字滤波器的频响在折叠频率以内重现模拟滤波器的频响而不产生器的频响而不产生混迭失真混迭失真1()jaH eHjTT2、混迭失真,sfTTT T ccTT 2ssfTT混迭 实

8、际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小/2s 当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象c折叠频率范围和 同倍数扩大c3、模拟滤波器的数字化方法1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT1( )kNns TkkA eu n)()nnh n zH z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez 系数相同：kA1( )Nkak

9、kAHsss11 ( )1kNks TkAH zez极点：s 平面 z 平面kssks Tze稳定性不变：s 平面 z 平面Re0ks1ks Te1()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正( )()ah nTh nT令：2()jakkH eHjT则：aHjT总结：利用冲激响应不变法由 得到1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez( )aHs( )H z2211( )4313aHsssss试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：131(

10、 )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz设T = 1s，则1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 4、冲激响应不变法优缺点优点：缺点：T 保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器 频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器 h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽

11、样响应时域逼近良好( )ah t阶跃响应不变法变换原理( )( )()at nTag ng tg nT( )g n( )ag t数字滤波器的阶跃响应 模仿模拟滤波器的阶跃响应T 抽样周期( )( )h nH z( )1u nzz ( )( )* ( )( )( )1zG zg nu nnzzhH( )( )aah tHs( )1u ts( )( )*(1( )( )aaaagtu th tG sHss1( )( )aag tLG s( )( )G zZT g n1( )()(aaaGssHsHs( )()ag ngnT1( )( ) zzzHGz1( )( )aaG sHss( )( )1zG

12、 zH zz( )( )()at nTag ng tg nT( )( )sTaz eG zG s12akGsjkTT( )211sTkzaeGsjzH zzkTT212aksjkTTsjkHT阶跃响应不变法同样有频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小。四、双线性变换法1、变换原理使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真:, 1:,T T 12Ttg 11s TzeT 11sin2cos2TT1111s Ts Tee1111zsz 11szs12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee11112

13、222TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee1111zz1s Tzesj 11sj 12s Te为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c12Tc tg 1111zsczcszcs2c tg s平面和z平面单值映射关系双线性变换2、变换常数c的选择12Tc tg 2cT2）某一特定频率严格相对应：cc 122cccTc tgc tg 2cccctg 1 1）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置1 12Tc3、逼近情况2222()()czc01z1111112jjzesccjc tgj

14、ze 1）s平面虚轴z平面单位圆cscjzcscj 2）01z01z左半平面单位圆内s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上4、优缺点优点：2c tg 00 避免了频率响应的混迭现象s 平面与 z 平面为单值变换00 缺点： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性11/T 1112 tgc2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变1）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变预畸变给定数字滤波器的截止频率 ，则1112c tg 按 设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 为截止频率的数字滤波器116、模拟滤波

15、器的数字化方法1111111( )( )1aazs czzH zHsHcz可分解成级联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：12( )( )( )( )maaaaHsHs HsHs12( )( )( )( )mH zH z HzHz12( )( )( )( )maaaaHsHsHsHs12( )( )( )( )mH zH zHzHz1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：例 设有一模拟滤波器抽样周期 ，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数 211aHsss2T H z解：由变换公式1111zs

16、cz及2cT2T ，可得1111zsz 1111zaszH zHs21111111111zzzz21213zz五、常用模拟低通滤波器特性将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器模拟滤波器 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Ellipse 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器1、Butterworth 低通逼近幅度平方函数：221()1aNcHj当2()1/2acHj时称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽c1( 0)20lg3()aacHjdBHjN为滤波器的阶数c为通带截止频率1）幅度函数

17、特点：221()1aNcHj20()1aHj 21()1/23caHjdB 3dB不变性c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 c 过渡带及阻带内快速单调减小 st 当 （阻带截止频率）时，衰减 为阻带最小衰减22）滤波器的系统函数：1( )()NcaNkkHsss1 21221,2,.,kjNkcsekN 1 /crad s 为归一化系统的系统函数( )anHs去归一化，得( )( )ScaansHsHsancsH3）滤波器的设计步骤：120.10.1101101spk根据技术指标求出滤波器阶数N：12ps确定技术指标：sspp令lglgspspkN 则：求出归一化系统函数：11( )()

18、anNkkHsss由N，直接查表得( )anHs( )aancsHsH其中技术指标 给出或由下式求出：c110.12101Ncp 去归一化阻带指标有富裕210.12101Ncs 或通带指标有富裕 例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于 rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率 到 之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。0.20.3/0.2 /ppTrad s /0.3 /ssTrad s 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1、用冲激响应不变法设计1）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选T

19、 = 1 s/1.5spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.8846spspNkN 取110.121010.7032/Ncprad s a）确定参数用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计Butterworth模拟低通滤波器234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsHsHssssssb) 由N = 6，直接查表得c) 去归一化4）将 展成部分分式形式:( )aHs1( )NkakkAHsss11(

20、 )1kNks TkTAH zez1112120.28710.44662.1428 1.145410.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.630410.99720.2570zzz变换成Butterworth数字滤波器：2、用双线性变换法设计20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts选1）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：/1.568spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.3066sp

21、spNkN 取210.121010.7662/Ncsrad s a）确定参数用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计Butterworth模拟低通滤波器234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssssb) 由N = 6，直接查表得c) 去归一化( )aancsHsH112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz( )aHs4）将 变换成Butterworth数字滤波器：3、Chebyshev低通逼近 2()1/ 1caHj 1）幅度函数特点： 通带外：迅速单调下降趋向0c 221()1aNcHjC N为偶数2( 0)1/ 1aHj N为奇数( 0)1aHj 通带内：在1和 间等波纹起伏c 21/ 10 2）滤波器的设计步骤:10.121011