第九章无穷级数

1、第9章 无穷级数（数一、三）9.1 常数项级数的概念与性质9.1.1 常数项级数的概念 设是给定的数列，则表达式称为常数项无穷级数，简称级数，记为。其中称为级数的通项。（1） 部分和数列：称为级数的前项和，称 为级数的部分和数列。（2） 级数收敛的充要条件是它的部分和数列收敛。备注：若的部分和数列存在极限，且，则收敛于和。“和”相对于级数收敛而言的，发散的级数没有和而言。称为级数的余项，且当收敛时有。9.1.2 常数项级数的性质（1） 设级数、分别收敛于常数，对于任意常数，则级数也收敛，且。备注：两收则和差均收，两发则和差不定，一收一发和差必发。（2） 任意改变、增加、去掉级数前面有限项不会改

2、变级数的敛散性。（3） 在一个收敛级数中任意添加括号得到的新级数仍收敛于原级数的和。备注：若任意添加括号得到的新级数发散，则原级数必发散。若任意添加括号得到的新级数收敛，则原级数不一定收敛。（4） 若级数收敛，则。（级数收敛的必要条件）备注：若，则级数发散。若，则级数的敛散性无法判断。（5） 几种特殊级数的敛散性 几何级数： 调和级数：发散 级数：例1：已知级数发散，则（）（A） 一定收敛 （B）一定发散（C）不一定收敛 （D）例2：若级数与均发散，则（）（A） 发散 （B）发散 （C）发散 （D）发散例3：设有以下命题：若收敛，则收敛；若，则发散；若收敛，则与均发散。则以上命题正确的个数是（

3、）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3例4：判断下列级数的敛散性，若收敛求出其和。（1） 级数：（2） 级数：（3） 级数：（4） 级数：例5：求下列级数的和（1）（2）例6：求极限（）9.2 正项级数判别法9.2.1 正项级数的概念 设，则级数为正项级数。（1） 正项级数的部分和数列是单调递增的。（2） 正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。9.2.2 正项级数的判别法9.2.2.1 比较判别法（1）设与均为正项级数，且，则 若收敛，则收敛；若发散，则发散。（2） 比较判别法的极限形式 设与均为正项级数，且，则 当时，则与具有相同的敛散性。 当时，若收敛，则收敛。 当时，若发散，则发散。

4、（3） 推论： 设级数为正项级数，则 若，（或）时，则发散。 若，且存在，则收敛。备注：比较判别法的关键是找到一个已知级数与之进行比较，然后利用已知级数的敛散性来判断其敛散性。正项级数中等价级数具有相同的敛散性，常常利用等价级数来判断级数的敛散性。9.2.2.2 比值判别法设为正项级数，且，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数的敛散性无法判断。备注：比值判别法适用于与含有公因子，且存在或为。9.2.2.3 根值判别法设为正项级数，且，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数的敛散性无法判断。备注：根值判别法适用于含有表达式的次幂，且存在或为。9.2.2.4 柯西审敛判别法 设为正的

5、单减函数，若收敛，则级数收敛，且收敛于。例7：判断下列级数的敛散性（1） （2）（3）（4） （5）（6）（7） （8）（9）（10）（11） （12）（13）（14）例8：若及收敛，证明下列级数也收敛（1） （2） （3）9.3 一般常数项级数9.3.1 交错级数（1） 定义：若，则级数为交错级数。（2） 莱布尼茨定理：若交错级数满足：；，则收敛，且收敛于和。备注：莱布尼茨定理只适用于交错级数的判定。若交错级数满足莱布尼茨定理的条件，用级数的前项部分和作为级数和的近似值，其误差的绝对值不超过。9.3.2 绝对收敛和条件收敛（1） 绝对值级数：级数称为的绝对值级数。（2） 绝对收敛：若收敛，则

6、绝对收敛。（3） 条件收敛：若发散，而收敛，则条件收敛。备注：判断常数项级数的敛散性，如果级数收敛则要具体说明是绝对收敛还是条件收敛，因而级数的敛散性有三种情况：绝对收敛；条件收敛；发散。9.3.3 一般常数项级数判别的步骤：判断通项的极限是否为零发散。 YES判断是否为正项级数 NO判断是否为交错级数莱布尼茨定理 NO判断是否收敛绝对收敛 NO判断是否收敛条件收敛 NO 发散例9：判别级数的敛散性。例10：判断下列级数是绝对收敛，条件收敛还是发散。（1） （2）例11：级数是绝对收敛，条件收敛还是发散。9.4 幂级数9.4.1 函数项级数的一般概念（1） 定义：设是定义在上的函数列，则表达式

7、是定义在上的函数项级数，记为=，其中称为通项。（2） 部分和：为的前项部分和。（3） 收敛域：若，收敛，即存在，则是的收敛点，收敛点的全体称为收敛域。（4） 发散域：若，发散，即不存在，则是的发散点，发散点的全体称为发散域。（5） 和函数：设函数项级数的收敛域为，对于上的任意一点都有，则称是在上的和函数。备注：和函数是相对于收敛域而言的。几何级数9.4.2 幂级数（1） 定义：形如的式子称为幂级数，其中称为幂级数的系数。备注：幂级数的收敛域总是非空的，是的收敛点。对于形如的级数可以通过变量代换转化为幂级数（2） 阿贝尔定理：如果收敛，对于的一切，则绝对收敛；如果发散，对于的一切，则发散。（3）

8、 定理1：如果幂级数既不是在原点一点处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必确定一个正数，当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当时，幂级数有可能收敛也有可能发散。则为幂级数的收敛半径，称为收敛区间。备注：若收敛半径，则仅在原点处收敛；若收敛半径，则在整个数轴上都收敛。幂级数只有在收敛半径端点处才可能条件收敛。设幂级数的收敛域为，则。（4） 收敛半径的求解方法不缺项：设幂级数的所有系数均不为零，且，则收敛半径缺项：形如与的级数求收敛半径，需要将通项作为整体用比值法或根值法进行求解，即或者（5） 幂级数的运算设幂级数与的收敛半径分别为，则，收敛半径备注：当时，其和的级数的收敛区间可能扩大。，收敛

9、半径（待定），收敛半径 （6） 幂级数的性质设幂级数的收敛半径为，收敛域为，则幂级数的和函数在其收敛域上连续；幂级数的和函数在其收敛域内可逐项积分，即 幂级数的和函数在其收敛区间内可逐项求导，即 备注：幂级数逐项积分或逐项求导之后，收敛半径不会发生变化，但是在收敛半径端点处的敛散性可能发生改变。幂级数在收敛域上具有任意阶导数。求幂级数和函数的两种思路：a逐项求导；b逐项积分，最终的目的是得到几何级数，直接写出和函数。例12：求幂级数的收敛半径。例13：求下列级数的收敛区间（1） （2）（3）例14：求下列幂级数的和函数（1） （2）（3）例15：设收敛，则级数（）（A） 条件收敛（B）绝对收敛

10、（C）发散（D）敛散性不定例16：设幂级数在收敛，在发散，则该幂级数收敛域为例17：求幂级数在区间内的和函数。例18：求幂级数的收敛域及和函数。例19：设为曲线与轴所围成区域的面积，记，求与的值。例20：验证函数满足微分方程，利用上面结果求幂级数的和函数。例21：求级数的和例22：已知级数在处条件收敛，则收敛半径为9.5 函数展开成幂级数（1） 泰勒级数的定义： 若函数在点的某领域内具有任意阶导数，则称幂级数为在处的泰勒级数。当时，称为的麦克劳林公式级数。（2） 函数展开成泰勒级数的充要条件 设函数在上具有任意阶导数，泰勒级数的收敛区间为，则=成立的充要条件是：在区间上，。（3） 常见函数的麦克劳林级数 备注：函数展开成幂级数是幂级数求和函数的逆运算。没有任意阶导数的函数是不能展开成幂级数的。将函数展开成幂级数后一定要注明其收敛区间。（4） 函数