平行四边形经典证明题例题讲解

1、 经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案）1如图，是平行四边形对角线上两点，求证：【答案】证明：平行四边形中， 又，2如图6，四边形ABCD中，ABCD，B=D，求四边形ABCD的周长【答案】20、解法一: 又 即得是平行四边形 四边形的周长 解法二: 连接 又 四边形的周长 解法三: 连接又 即是平行四边形四边形的周长3.（在四边形ABCD中，D=60，B比A大20，C是A的2倍，求A，B，C的大小【关键词】多边形的内角和【答案】设（度），则，根据四边形内角和定理得， 解得， 4（如图，是四边形的对角线上两点，求证：（1）（2）四边形是平行四边形【关键词】平行四边形的性质,判定【

2、答案】证明：（1），又，（2）由（1）知，四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5）25如图13-1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.（1）求的值；（2）延长交正方形外角平分线（如图13-2），试判断的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）四边形ABCD为正方形四边形是平行四边形解法：在边上存在一点，使四边形是平行四边形证明：在边上取一点，使，连接、四边形为平行四边形6（2009年广州市）如图9，在ABC中，D、E、F分别为边

3、AB、BC、CA的中点。证明：四边形DECF是平行四边形。【关键词】平行四边形的判定【答案】D.E、F分别为AB.BC.CA的中点，DFBC，DEAC，四边形DECF是平行四边形.7（2009年包头）已知二次函数（）的图象经过点，直线（）与轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线解：（1）根据题意，得解得 （2）当

4、时，得或，当时，得，点在第四象限，当时，得，点在第四象限，（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为，点在抛物线的图象上，（舍去），当点的坐标为时，点的坐标为，点在抛物线的图象上，（舍去），注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分8（2009年莆田）已知：如图在中，过对角线的中点作直线分别交的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F。（1）观察图形并找出一对全等三角形：_，请加以证明；（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？【关键词】四边形、全等三角形、变换（1）；证明：四边

5、形是平行四边形 又证明：四边形是平行四边形 又；证明：四边形是平行四边形 又（2）绕点旋转后得到或以点为中心作对称变换得到8分9(2009年温州)在所给的99方格中，每个小正方形的边长都是1按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数(注：图甲、图乙在答题纸上)【关键词】平行四边形的性质，判定【答案】解：（1）（2）10（2009年中山）在中，以为直径作，（1）求圆心到的距离（用含的代数式来表示）；（2）当取何值时，与相切【关键词】利用平行四边形证明线段相等【答案】（1）分别

6、过两点作，垂足分别为点，点，就是圆心到的距离四边形是平行四边形，在中，圆心到CD的距离PF为（2），为的直径，且，当时，与相切于点，即，当时，与相切11(2009年宁德市)（本题满分8分）如图：点A.D.B.E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，ACDF，请从图中找出一个与E相等的角，并加以证明（不再添加其他的字母与线段）【关键词】平行四边形的判定【答案】解法1：图中CBAE 证明：ADBEADDBBEDB即ABDE ACDF AFDE 又ACDFABCDEF CBAE 解法2：图中FCBE 证明：ACDF，ACDF四边形ADFC是平行四边形 CFAD，CFAD ADBE CFBE，CFBE

7、 四边形BEFC是平行四边形 FCBE 12（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE若设运动时间为（s）（）解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由（4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算【答案】解：（1）而，当（2）平行且等于，四边形是平行四边形，过B

8、作，交于，过作，交于，又，（3）若，则有，解得（4）在和中， 在运动过程中，五边形的面积不变13 (2009年达州)如图10，O的弦ADBC,过点D的切线交BC的延长线于点E，ACDE交BD于点H，DO及延长线分别交AC.BC于点G、F.(1)求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FCCE；（3）若弦AD5，AC8，求O的半径. 【关键词】圆,平行四边形,勾股定理【答案】（1）DE是O的切线，且DF过圆心ODFDE又ACDEDFACDF垂直平分AC （2）由（1）知：AG=GC又ADBCDAG=FCG又AGD=CGFAGDCGF（ASA）AD=FCADBC且ACDE四边形ACED是平行四边形AD

9、=CEFC=CE5分（3）连结AO； AG=GC，AC=8cm，AG=4cm在RtAGD中，由勾股定理得 GD=AD2-AG2=52-42=3cm 设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3在RtAOG中，由勾股定理得 AO2=OG2+AG2有：r2=(r-3)2+42解得 r=256 O的半径为256cm.经典例题（附带答案2）例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数解 设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得， 这个平行四边形的四个内角的度数分别为4

10、5，135，45，135例2 已知：如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长分析 由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长解 四边形为平行四边形， ， ， 答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差例 3 已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、

11、OF是否相等，说明理由分析 观察图形，从而可说明 证明 在中，交于O， ， 例4 已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。求证： 分析 观察图形，与都是直角三角形，且锐角，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE，则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明 四边形ABCD是矩形， ，又，。 例5 O是ABCD对角线的交点，的周长为59，则_，若与的周长之差为15，则_，ABCD的周长=_. 解答：ABCD中，. 的周长 . 在ABCD中，. 的周长的周长 ABCD的周长 说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差. 例6

12、已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且，. 求这个平行四边形的面积. 解答：设. 四边形ABCD为平行四边形， . 又四边形ABCD的周长为36， ， 解由，组成的方程组，得. . 说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题. 经典例题（附带详细答案3）例1 （2006年河北）如图1，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别是（ ）。A、2和3B、3和2C、4和1D、1和4解析：因四边形ABCD是平行四边形，故AD/BC，AD=BC。所以DAE=BEA。又AE平

13、分BAD，故BAE=DAE=BEA。所以AB=BE=3，CE=53=2。故选B。例2 （2006年枣庄市）如图2，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ）A、10m12B、2m22C、1m11D、5m6解析：因四边形ABCD是平行四边形，故AO=CO，DO=BO，又AC=12，BD=10，则AO=6，BO=5。故65m6+5，即1m11。故选C。例3 （2006年北京市海淀区）如图3，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC和AD上的点，并且BE=DF。求证：。证明：因四边形ABCD是平行四边形，故AB=CD，B=D。又BE

14、=DF，所以ABECDF（SAS）。点评：平行四边形具有以下性质：两组对边分别平行；两组对边分别相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。二、考查平行四边形的判定例4 （2006年攀枝花市）如图4，AD=BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充的一个条件是_。解析：可选择AD/BC，AB=CD，A+B=80，C+D=180等条件中的一个。此题是答案不唯一的开放题，所添的条件灵活多样，主要考查平行四边形的判定方法。例5 如图5，四边形ABCD中，AB/DC、E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、BF。四边形ABFC是什么四边形？说明你的理由。解析：因AB/DC，故CFA=B

15、AF。又E是BC的中点，故CE=BE。又CEF=BEA，则CEFBEA。则EF=EA。故四边形ABFC是平行四边形。点评：平行四边形的判定方法有很多：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。证明四边形是平行四边形，要根据题目所给的条件及图形的特点，选择适当的判定方法。三、考查性质与判定的综合应用例6 如图6，在平行四边形ABCD中，点E、F在BD上，且BF=DE。（1）写出图中所有你认为全等的三角形；（2）延长AE交BC的延长线于点G，延长CF交DA的延长线于点H（请补全图形），并证明四边形AGCH是平行四边形。解析：（1）图中全等的三角形有ABECDF，AEDCFB，ABDCDB。（2）补全后的图形如图7所示。因四边形ABCD