拉普拉斯变换在自动控制领域中的应用

1、东北农业大学课程论文复变函数的发展史及laplace变换在自控领域中的应用 摘 要 ：复变函数经历了150多年的发展历程，在不断发展和更新的过程中愈来愈完善并不断向各个领域延伸，特别是在自动控制领域的作用愈来愈重要。复变函数中的Laplace变换是近一世纪来迅速发展起来的一种有效的数学方法。借助于Laplace变换可把微积分的运算转化复平面的代数运算 ，因此，可利用它解常微分方程、偏微分方程、积分方程及差分方程，简化了求解过程，是解线性系统的重要工具，。通过在自动控制理论中建立系统的动态数学模型，根据拉普拉斯变换及其反变换的定义式，求解得到系统的动态过程，从而阐明其计算具有快速、简洁和方便的特

2、点，在现代自控理论中得到广泛的应用。关键词：复变函数 拉普拉斯变换 原函数 象函数 传递函数Abstract : Complex function has experienced 150 years of development,and it became be more perfect and constantly to the various fields in the process of developing and updating, especially it palys a more and more important role in the field of automati

3、c control.Laplace transform is nearly a century to rapidly develop an effective mathematical method. Using Laplace transform can turn calculus operations in the plane of the transformation of complex arithmetic, therefore, can use it to solution of differential equation, partial differential equatio

4、ns and integral equations and difference equation, simplified the solving process, is an important tool for solving linear system, in the modern theory of automatic widely applied. These contents in relevant tutorial or monographs, already common occurance. This paper will give out Laplace transform

5、 another new applications, namely using Laplace transform calculating generalized integrals, thus obtains the calculation kind of generalized integrals of new methods.Keywords: Complex function ,Laplace transform, Primary function,image function,Transform function9一. 复变函数的发展史1. 复变函数的简介 复数的概念起源于求方程的根

6、，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位1。 数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和方法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显着的区别。因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移。它广泛地使用着微分几何学、代数几何、李群、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念

7、和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。2复变函数的历史发展过程 复数的概念源于求解方程组的根。早在16世纪中叶，意大利卡尔丹在1545年解三次方程时，首先产生复数开平方的思想。1774年，欧

8、拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题。复变函数论产生于18世纪，由欧拉作出。复变函数论的全面发展在19世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。“达朗贝尔-欧拉方程”在柯西和黎曼研究流体力学时，

9、作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。到了20世纪，复变函数被广泛应用于理论物理，弹性物理，天体力学等方面。同时，复变函数是我国数学工作者从事研究最早也是最有成效的数学分支之一。我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数方面的研究成果，均已达到当时的国际水平。 多复变函数论的研究，早在单复变函数论的(G.F.)B.黎曼和K.(T.W.)外尔斯特拉斯时代就已经零散地开始了。但真正标志着多复变函数论这一学科创立的，是19世纪末和20世纪初(J.-)H.庞加莱、P.库辛、F.M.哈托格斯等人的工作。他们的研究揭示了多复变全纯函数本质上的独特性。在这当中，库辛提出的关于全纯函数整

10、体性质的两个以他命名的问题以及E.E.列维提出的拟凸域和全纯域是否等价的问题，更有着深远的影响，长时间成为多复变函数论发展的一个推动因素。20世纪30年代以前，虽然出现过K.莱因哈特关于解析自同构群、S.伯格曼关于核函数和度量等重要工作，但整个说来，多复变函数论处于相对沉寂的时期。从30年代开始，多复变的研究迎来了初步繁荣。这一时期中陆续出现了H.嘉当关于全纯自同构的惟一性定理、有界域全纯自同构群的李群性质以及全纯域与全纯凸的等价性的嘉当苏伦定理等突出成果。特别是从1936年开始，日本数学家对库辛问题、列维问题、逼近问题等多复变的中心问题进行了长期、系统而富有成效的研究，终于在50年代对上述诸

11、问题给出了解答。他的这一系列工作对以后年代的多复变的发展有着重大的影响。50年代以后，和近代数学的综合化、抽象化的总潮流相一致，在多复变函数论中用拓扑方法和几何方法研究全纯函数的整体性质的趋势变得越来越明显。由J.勒雷引进拓扑学的层及其上同调的概念被迅速而成功地用于多复变。这一概念和H.嘉当早先关于全纯函数理想论的研究以及的思想结合，导致了凝聚解析层理论的建立。与此同时，复空间和施泰因流形的概念也应运而生。H.嘉当和J.P.塞尔系统地应用凝聚层理论建立了施泰因流形的基本定理。此后不久，H.格劳尔特解决了复流形的列维问题，他和R.雷默特、施泰因等人还大大发展了复空间的理论。整个50年代无疑是多复

12、变发展的黄金时代。 在19世纪复变函数理论得到了全面发展，柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等为这门学科的发展作了大量奠基工作。复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。，20世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。3复变函数的应用 从柯西算起，复变函数论已有了150年的历史。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科

13、的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中。复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响 物理学中的流体力学，稳定平面长，航空力学等学科的发展，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。复变函数论已经深入到微积分方

14、程，数论等学科，对它们的发展很有影响。现如今，复变函数论中仍有不少尚待研究的课题，它将在更多数学家们的不懈努力下，继续向前发展，并将取得更多应用。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个非常重要组成部分。它推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。在自动控制专业中,对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时-频域理论分析等内容需要应用复变函数中的方法与拉普拉斯变换进行处理

15、。因此复变函数对自动控制领域的应用非常广泛。二. 拉普拉斯变换(Laplace)及其反变换1. 拉普拉斯变换简称为拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的一个重要数学工具,它可以把时域中的微分方程变换成复域中的代数方程，从而使微分方程的求解大为简化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。拉普拉斯变换(Laplace)及其反变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的结论它在应用数学中占有很重要的地位.拉普拉斯变换和傅里叶(Fourier)变换都是积分变换，函数f(t)的拉普拉斯变换，就是对于函数的傅里叶变换，没有本质上的不同.它们都是解微分方程和积分方程的有力工具，但拉普拉

16、斯变换比傅里叶变换有着更为广泛的应用。一个定义在区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 （1）式中为复数，F(s)称为f(t)的原函数f(t)。这种由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，其定义为 （2）式中c为正的有限常数.2. 拉普拉斯变换的存在定理若函数f(t)满足下列条件：在t0的任一区间上分段连续。在t充分大后满足不等式|f(t)|Mect，其中M、c都是实常数。则f(t)的拉氏变换在平面上Re(s)c一定存在，此时右端的积分绝对而且一定收敛，并且在这半平面内F(s)为解析函数。3. 拉普拉斯变换的基本性质（1）线性定理 若 ， 则 （2）导数定理（3）积分定理（

17、4）相似性定理（5）位移定理（6）延迟定理 （7）卷积定理 若， 则 其中，称为与的卷积。4. 拉氏反变换的定义如下一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。首先将F(s)分解成一些简单的有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。5. 用拉氏变换求解微分用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分方程的步骤如下：（1）微分方程两端进行拉氏变换，将微分方程变为以象函数为变量的代数方程，方程中初始条件是t=0-时的值。（2）解代数方程，求出象函数的表达式。（3）用部分分式法进行反变换，求得微分方程的解2。三 . 拉普拉斯变换(Laplace)及其反变换在自动控制

18、原理中的应用在自动控制理论中，首先建立系统的动态数学模型一一微分方程，然后求解方程便可得到系统的动态过程，其常用的求解方法就是拉普拉斯变换3。传递函数是在应用拉普拉斯变换求解线性常系数微分方程中构造出来的，是一个派生的概念，但对控制理论而言是极为重要的概念。 传递函数定义为:零初始条件下线性定常系统输出量拉普拉斯变换与输入量拉普拉斯变换之比. 设线性定常系统的微分方程为, (3)式中：c(t)为输出量，r(t)为输入量，均为由系统结构参数决定的常系数。设初始值均为零，对式(3)两端进行拉普拉斯变换，得系统方程则系统传递函数为 (4)式中:分子为象方程的输入端算了多项式，分母为输出端算子多项式亦

19、即微分方程的特征式。传递函数是系统的s域动态数学模型，而且是更具有实际意义的模型。在不需要求解微分方程的情况下，直接利用传递函数便可对系统的动态过程进行分析和研究。应该指出，传递函数是由于拉普拉斯变换导出的，而拉普拉斯变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统4。传递函数取决于系统内部的结构参数，它仅表明一个特定的输入、输出关系.同一系统，取不同变量作输出，以给定值或不同位置的干扰为输入，传递函数将各不相同.传递函数是在零初始条件下进行的，因此它只是系统的零状态模型，而不能完全反映零输入响应的动态特征。动态数学模型，是对控制系统进行理论研究的前提.模型一旦建立，便可运用适当

20、的方法对系统的控制性能作全面的分析和计算.对线性定常系统，用的方法有时域分析法、根轨迹法和频率法，现在我们仅讨论时域分析法。时域分析法根据系统微分方程，用拉普拉斯变换直接解出动态过程，并依据过程曲线及表达式，分析系统的性能，方便、快捷、准确。设单位反馈系统的开环传递函数为: （5）从中可以求该系统对单位环跃输入信号的响应，也可以求该系统的性能指标上升时间和最大超调量。由于这单的闭环传递函数为非标准形式(带有零点)，故求时域响应不能套用己有的公式，求性能指标也不能套用己有的公式，只能按定义求出。 由于是单位反馈系统，则根据开环传递函数可得传递函数闭环为: （6）根据闭环特征方程可知，特征根为共轭

21、复根，故可按振荡形式将C(s)展成如下部分分式： （7）则 （t0）. （8）由于该系统的闭环传递函数不是标准形式(带零点)，故不能用一阶系统欠阻尼的求指标公式，只能根据性能指标的定义，由输出响应表达式来推导6。 （9）于是其中 故 （10） 为了求最大超调量，首先要求出峰值时间.为此令对时间的一阶导数为零，可得出 （11）其中由此可得出 （12）四. 拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用拉普拉斯变换有许多非常好的性质,如线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质、初值定理和终值定理、卷积定理等。这些性质在解题时非常重要。在利用拉普拉斯变换求解导热问题时,关键的一步是把变换后的函数从复变量s区域变回到时间变量t区域的逆变换。而许多逆变换都可直接或利用性质转化之后通过查拉普拉斯变换表得到,这使得该方法在工程技术中有广泛应用。利用拉普拉斯变换求解非稳态导热问题的一般步骤7: (1)根据问题建立偏微分方程模型；(2)将温度看做时间t的函数,对方程及定解条件关于t取拉普拉斯变换,把偏微分方程和定解条件化为象函数的常微分方程的定解问题；(3)解常微分方程,求出象函数U(x, s)； (4)取拉