第二讲+导数的性质与应用剖析

1、高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I第二讲第二讲导数的性质与应用导数的性质与应用一、导数的优良性质一、导数的优良性质二、导数的应用举例二、导数的应用举例三、有关单调性的二个问题三、有关单调性的二个问题四、导数在经济学中的应用四、导数在经济学中的应用高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I1. 导函数的优良性质导函数的优良性质).(lim)()(,)(lim),(),()( 000000 xfxfxfxfxUxUxfxxxx 且且存存在在，则则存存在在内内可可导导，且且内内连连续续，在在在在某某如如果果函函数数 00( ), ,f xxxx x证明：在或内满足拉格朗日定理的条件，所以).

2、(lim)()(lim)(00000 fxxxfxfxfxxx 性质性质1.高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I ).0(. 0, 1, 0,cos)(. 12fxexxxxxfx求求例例(0)1.f 从而有21 2 cossin ,0,( ),0.xxxxxxf xex 而+00lim( )lim1xxxfxe又-200lim( )lim(12 cossin )1xxfxxxxx0lim( )0(0)xf xf解：由于，高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I21( ),0,2. ( )(0).0,0.xnexf xfx例求21320( )xxf xex解：时，216446( )()

3、xfxexx21( )10( )( ).nxxfxPePx归纳法可证时，这里 是多项式函数2221( )( )001( )lim( )lim( )lim( )lim0(0)nunxuxxuuP ufxPeP u efxe高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I( )( , )( )( , ).f xa bfxa b如果函数在内可导，则在内不可能有第一类间断点00000( )()()limlim( ),xxxf xf xfxfBxx0000( )()()limxxf xf xfxxx0000lim( ), lim( )xxxxfxAfxB而，性质性质2.0000( )()()limxxf xf

4、 xfxxx由于存在，所以0( , )( )xa bfx证明：设是的第一类间断点0lim( )xf,A高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I换一种说法：每一个含有换一种说法：每一个含有第一类间断点第一类间断点的函的函数在含该间断点的区间内都没有原函数数在含该间断点的区间内都没有原函数.0000()lim( )lim( ).( ).xxxxfxfxfxfxx从而有即在处连续高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I?)()(lim00 xfxfxx . 0, 0, 0,1sin)(2xxxxxf112 sincos,0,( )0,0.xxfxxxx0lim( )(0)!xfxf(0)0.f

5、由导数定义可得高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I. 0)(),(, 0)()(,)( fbabfafbaxf，使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在可可导导，且且则则在在若若函函数数, 0)()(lim)(0 axafxfafxx0)()(lim)(0 bxbfxfbfxx，证证明明：不不妨妨设设0)(,0)( bfaf由由. 0)(,)()(),( fbaxfbfaf引引理理知知在在区区间间内内部部，由由费费尔尔马马值值点点上上的的最最小小值值，故故最最小小在在均均不不是是从从而而性质性质3.可知可知11()( ),xaf xf a使由由可知可知22()( ),xbf xf b

6、使高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I.)(),(,)()(),()(),(,),()(21212121cfxxcxfcxfxfxfbaxxbaxf ，使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在的的则则对对于于满满足足且且内内可可导导，在在若若函函数数, 0)(, 0)(21 xFxF则则，证证明明：设设cxxfxF )()(性质性质4.)(, 0)(),(321cfFxx 即即，使使得得内内至至少少存存在在一一点点知知在在由由性性质质高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I2. 导数的应用举例导数的应用举例例例1.)./980:,:(201. 012scmgcmlglT摆摆长长，周周期

7、期公公式式为为了了多多少少？单单摆摆的的厘厘米米，该该钟钟每每天天大大约约快快缩缩短短了了秒秒，冬冬季季摆摆长长的的周周期期为为有有一一架架机机械械挂挂钟钟，钟钟摆摆 ,)()()(llTlTllT 解：解：2)2(,21,01. 0 glglglTl sglTllT0002. 0)01. 0(2)()(2 ss28.173600240002. 00002. 0 ，每每天天快快每每秒秒快快高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I例例2.出出“光光的的折折射射原原理理”由由“光光行行最最速速原原理理”推推,)(,222211kxdPBhxAPxdPBxPA 则则则则解解：设设,0 ,)()(2

8、22122dxvkxdvhxxT 时时间间ABA1B1phk.21vBvA中中的的速速度度是是，在在介介质质中中的的速速度度是是设设光光在在介介质质,0 ,)()(222221dxkxdvxdhxvxxT , 0)0( T, 0)( dT, 0)(), 0(00 xTdx使使希腊人公元希腊人公元2世纪发现并研究世纪发现并研究开普勒、斯涅耳、笛卡尔开普勒、斯涅耳、笛卡尔高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I, 0)()()(2222232212 kxdvkhxvhxT.0是是最最小小值值点点是是唯唯一一的的极极小小值值点点，即即x费尔马费尔马1661年年,)(2202022010kxdvxd

9、hxvx ,coscos21vv 即即ABA1B1ph .sinsin2211vv 即即1 2 高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I例例3. 求飞机降落曲线及滑行距离求飞机降落曲线及滑行距离. 一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线。一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线。已知飞机开始降落时高度为已知飞机开始降落时高度为h,飞机的着陆点设为原点，且飞机的着陆点设为原点，且在降落过程中飞机的水平速度始终保持为常数在降落过程中飞机的水平速度始终保持为常数u, 而垂直而垂直加速度的最大绝对值不超过加速度的最大绝对值不超过g/10.2)1(00的的最最小小值值）求求开开始始下下降

10、降点点（落落曲曲线线；处处开开始始下下降降，求求飞飞机机降降若若飞飞机机从从xxx , 0)(, 0)0(0 xyy,.23dcxbxaxy 设设曲曲线线解解,)(, 0)0(0hxyy .32220330 xxhxxhy 得得曲曲线线高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I.60 0ghux .32220330 xxhxxhy 得得曲曲线线dtdxxxhxxhdtdy)2332(20230 )(60220 xxxxhu )12(6020222 xxxhudtyd106|12|6|202020222gxhuxxxhudtyd 高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I.),(,),()( .

11、 1121 nnxgxxgxxxxg，记记迭迭代代方方法法：任任取取的的根根的的求求方方程程根根用用不不动动点点迭迭代代求求方方程程的的收收敛敛？满满足足什什么么条条件件时时，问问当当可可导导函函数数nxxg)(例例4.( ) , , ( )( , )( )( , )1( ).g xa bxa bg xa bg xa brg xr 若(1)在连续，且(2)在可导，且存在正数使则上述迭代法是有效的.( )( ),( )( )0,( )( )0,F xxg xF aag aF bbg b解 ： 设则( )1( )10( )( , )F xg xrF xa b 在有唯一零点( )( , )F xa

12、b所以在至少存在一个零点高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I000( , )().xa bg xx即，存在唯一的使时时，当当1| )(| rxg)()(010 xgxgxxnn )(011xxgn )()()(021xgxggn 0|0110 xxrxxnn0lim,nnxx可得存在，记为00()g xx即有)()(0111xxggn 1211( , )(),(),.nnxa bxg xxg x任取，记高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I求方程求方程016 xx在在)1 , 0(内的根。内的根。 书上习题书上习题1.71.7第第7 7题题变形为变形为661656xxx ， 用迭代格

13、式用迭代格式6616561nnnxxx ，计算若干步即可得，计算若干步即可得 方程的近似根。方程的近似根。 0,1( )(0,1)xg x显然65|65| )(|5 xxg651( )666xg xx高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I例例5.用切线法求方程的根。用切线法求方程的根。. 0)(, 0)(, 0)(, 0)(,)( xfxfbfafbaxf上上有有二二阶阶导导数数，且且在在设设得得做做切切线线在在点点令令,)(,(,000 xfxax )()(000 xxxfxfy ,)()(0001xfxfxxx 轴轴的的交交点点的的横横坐坐标标为为切切线线与与得得做做切切线线再再在在点

14、点,)(,(11 nnxfx,)()(111 nnnnxfxfxx高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I现在证明二个命题：现在证明二个命题：)0)(.)2()1( cfcxxnn收收敛敛到到方方程程的的根根单单调调增增加加有有上上界界；, 0)( xf20000)(2)()()()(xxfxxxfxfxf 0 , 0)(, 0)()1( xfaf因因为为证证00001)()(xxfxfxx 所所以以)()()(01001xxxfxfxf .)(1cxxf 的的单单增增可可知知由由.1cxxnn 同同理理可可知知高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I)()(111 nnnnxfxfxcx

15、c单单调调减减少少，且且因因为为证证)(, 0)()2(xfxf )()()(111 nnnxfcfxfxc)()(1)(111 nnxffxc )()(1)()()(1)(22112 nnnxffxffxc )()(1()()(1)()()(1)(022110 xffxffxffxcnnn . 0)()(1)( nafbfac高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I.10,)1 , 0(4 . 19 . 01 . 1)(.323 使使误误差差不不超超过过的的零零点点内内，求求函函数数在在设设例例xxxxf, 0)1(0)0( ff，, 0)(0)( xfxf，, 10 x738. 0)()

16、(0001 xfxfxx674. 0)()(1112 xfxfxx671. 0)()(2223 xfxfxx671. 0)()(3334 xfxfxx, 0)671. 0(, 06700( ff），又又.6705. 0 x故故可可取取高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I不能断定不能断定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf3. 有关单调性的二个问题有关单调性的二个问题高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I )212(1kx当当 时，时，0)212(41)( kxf kx21当

17、当 时，时，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I0100200102()00,(,),( ,)( )()()f xxxxxx xf xf xf x若则存在()000()00,( )(,).()fxf xxx若则存在使函数在区间内单调递增对对错错高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I单单增增？内内单单减减，在在内内使使在在分分小小的的是是极极小小值值，是是否否存存在在充充若若)(),()(),(, 0)()2(00000 xfxxxfxxxf 不一定！不

18、一定！ . 0, 0, 0|,1sin2|)(.xxxxxxf例例.)0(),0()(是是极极小小值值显显然然，ffxf ,1cos11sin2)(,0 xxxxfx 时时但但是是当当, 022)(,21 kxfkx有有取取, 03)(,221 xfkx有有取取 都都不不能能保保持持符符号号不不变变！内内，对对任任何何)(), 0(xf 高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I).(),()()(),(10QLCRLQRQpRQCQCCCpfQ 利利润润函函数数收收益益函函数数，成成本本函函数数需需求求函函数数利利润润收收益益价价格格，成成本本，需需

19、求求量量，函函数数经经济济学学中中常常用用的的变变量量与与-,-LRpCQ).(),()(000QLQRQC 边边际际利利润润，边边际际收收益益边边际际成成本本QdppdQp 需需求求弹弹性性4. 导数在经济学中的应用导数在经济学中的应用高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I边际分析边际分析边际成本边际成本，设设成成本本函函数数)(QCC .)(00时时的的边边际际成成本本为为当当产产量量为为则则称称QQC ？的的经经济济学学意意义义是是什什么么呢呢边边际际成成本本)(0QC )()()1(000QCQCQC .1:)(00件件产产品品的的成成本本生生产产第第的的经经济济学学意意义义是是边

20、边际际成成本本 QQC边际收益边际收益，设设收收益益函函数数)(QRR .)(00时时的的边边际际收收益益为为当当产产量量为为则则称称QQR 高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I，设利润函数设利润函数)(QLL .)(00时时的的边边际际利利润润为为当当产产量量为为则则称称QQL 边际利润边际利润弹性分析弹性分析)( pfQ 设设需需求求函函数数pQdpdQp 0limppQQp 0limpQQpp 0limdpdQQp .为为需需求求弹弹性性称称dpdQQpEp .%1pE需需求求量量减减少少时时，格格上上升升其其经经济济学学意意义义是是：当当价价高等数学方法与应用高等数学方法与应用I

21、 I例例1.其其经经济济意意义义。元元时时的的边边际际收收益益，解解释释）求求定定价价为为（并并解解释释其其经经济济学学意意义义。元元时时需需求求的的弹弹性性求求当当定定价价为为元元）台台，（单单位位：是是价价格格，数数为为设设某某商商品品的的市市场场需需求求函函802,80)1(.,2100 pQppQQdppdQp )1.(解解2100)21(pp ,200pp .67. 0 p ),100(2)2(QQQpR 收收益益（元元）边边际际收收益益40-240-200)60( R.%67. 0%180需需求求量量减减少少，元元时时，若若价价格格增增加加当当价价格格为为.40-61元元个个商商品品时时，收收益益为为销销售售第第高等数学方法与