高考数学总复习：第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》[1]

1、u第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理)u主干知识梳理u一、分类加法计数原理u 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有N 种不同方法 mnu二、分步乘法计数原理 u完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法mnu 基础自测自评u1(教材习题改编)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有u()uA50个B45个uC36个 D38个uC利用分类加法计数原理，共有8765432136个u2(教材习题改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙

2、所选的课程中恰有1门相同的选法有u()uA6种B12种uC24种 D30种uC分步完成，u甲、乙两人从4门课程中选1门有4种方法；u甲从剩下的3门中选1门有3种方法；u乙从剩下的2门中选1门有2种方法，u故共有43224.u3有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有u()uA8种 B9种uC10种 D11种uB分四步完成，共有33119种u4由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有_u解析由0，1，2，3可组成的四位数共有343192个，其中无重复的数字的四位数共有3A18个，故有19218174个u答案17

3、4u5(教材习题改编)5名毕业生报考三所中学任教，每人仅报一所学校，则不同的报名方法的种数是_u解析共有3333335243.u答案243u 关键要点点拨u1两个原理的联系与区别：u两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的区别在于：(1)分类加法计数原理是“分类”，分步乘法计数原理是“分步”；(2)分类加法计数原理中每类方法中的每一种方法都能独立完成这件事，分步乘法计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事u2对于较复杂的问题有时要两个原理综合使用，即先分类再分步或先分步再分类u典题导入u (2014江西六校联考)若自然数n使得作竖式加法n(n1)(n2)均不产生进位现象

4、，则称n为“良数”例如：32是“良数”，因为323334不产生进位现象；23不是“良数”，因为232425产生进位现象那么小于1 000的“良数”的个数为u()分类加法计数原理 uA27B36uC39 D48uu 听课记录一位“良数”有0，1，2，共3个；两位数的“良数”十位数可以是1，2，3，两位数的“良数”有10，11，12，20，21，22，30，31，32，共9个；三位数的“良数”有百位为1，2，3，十位数为0的，个位可以是0，1，2，共339个，百位为1，2，3，十位不是零时，十位个位可以是两位“良数”，共有3927个根据分类加法计数原理，共有48个小于1 000的“良数”u答案Du

5、 规律方法u利用分类加法计数原理解题时，应注意：u(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏u(2)分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且不能重复u(3)对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法u跟踪训练u1(2012孝感统考)如图所示，在A、B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通今发现A、B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有u()uA9种 B11种uC13种 D15种uC按照焊接点脱落的个数进行分类u若脱落1个，则有(1)，(4)共2种；u若脱落2个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(

6、4，3)共6种；u若脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)共4种；u若脱落4个，有(1，2，3，4)共1种u综上共有264113种焊接点脱落的情况u典题导入u (1)用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有u()uA6个B9个uC18个 D36个分步乘法计数原理 u 听课记录由题意知，1，2，3中必有某一个数字重复使用2次第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法故共可组成33218

7、个不同的四位数u答案Cu (2)(2014湖南长郡中学、衡阳八中等十二校一联)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1、2、9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有_种.123456789u听课记录把区域分为三部分，第一部分1、5、9，有3种涂法第二部分4、7、8，当5、7同色时，4、8各有2种涂法，共4种涂法；当5、7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共426种涂法第三部分与第二部分一样，共6种涂法由分步计数原理，可得共有366108种涂法u答案108u 规律方法u解决此类

8、问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法多少种，求其积u注意各步之间相互联系，依次完成后，才能做完这件事，即步与步之间的方法相互独立，逐步完成 u跟踪训练u2有0、1、2、8这9个数字u(1)用这9个数字组成四位数，共有多少个不同的四位数？u(2)用这9个数字组成四位密码，共有多少个不同的四位密码？u解析(1)未强调四位数的各位数字不重复，只需首位不为0，依次确定千、百、十、个位，各有8、9、9、9种方法，共能组成8935 832个不同的四位数u(2)每一位上的数字都有9种方法u共能组成946 561个不同的四位密码u典题导入u (2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中

9、红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为u()uA232B252C472D484两个原理的综合应用 u 互动探究u本例条件变为“有5张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数”，问不同的三位数有多少个？u解析分两类：第一类，百位数字是1，有8648个三位数；第二类，百位数字不是1，有886384个三位数，根据分类计数原理共有48384432个三位数u规律方法u用两个原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步u(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每

10、一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和得到总数；分步要做到“步骤完整”u(2)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画圈的方法来帮助分析u 跟踪训练u3已知集合M1，2，3，N4，5，6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是u()uA18 B10uC16 D14uDM中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有22个，在第二象限的点共有12个N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有22个，在第二象限的点共有22个所求不同的点的个数是2212222214(个)u【创新探究

11、】分类讨论思想在计数原理中的应用u (2012四川高考)方程ayb2x2c中的a，b，c 3，2，0，1，2，3，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有u()uA60条B62条uC71条 D80条u【高手支招】分类加法计数原理体现了分类讨论思想在计数原理中的应用解决此类问题的关键是确定分类标准，做到不重复、不遗漏. u 体验高考u1(2013福建高考)满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为u()uA14 B13uC12 D10uB因为a，b1，0，1，2，可分为两类：当a0时，b可能为1或1或0或2，即b有4种不

12、同的选法；当a0时，依题意得44ab0，所以ab1.当a1时，b有4种不同的选法，当a1时，b可能为1或0或1.即b有3种不同的选法，当a2时，b可能为1或0，即b有2种不同的选法根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有443213.u2(2012安徽高考)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为u()uA1或3 B1或4uC2或3 D2或4uD设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示u若任意两位同学之间都进行交换共进行C15(次)交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：u(1)由3人构成的2次交换