第十二章无穷级数

1、2007级信息与计算科学专业课件第十二章第十二章 无穷级数无穷级数2007级信息与计算科学专业课件常数项级数的概念常数项级数的概念由实例（分割馒头问题与工资合同问题）引出由实例（分割馒头问题与工资合同问题）引出一般情况，由一个数列一般情况，由一个数列构成的表达式构成的表达式叫做（常数项）无穷级数，简称叫做（常数项）无穷级数，简称级数级数。记为。记为即：即：其中第其中第n项产项产un，叫做级数的，叫做级数的一般项一般项（通项）。（通项）。 ,321nuuuu nuuuu321 nnnuuuuu32111nnu2007级信息与计算科学专业课件部分和部分和（前（前n项和）：项和）：定义定义：如果级数

2、的部分和数列有极限：如果级数的部分和数列有极限s，即，即则称无穷级数收敛，这时极限则称无穷级数收敛，这时极限s叫做这级数的叫做这级数的和和，并写，并写成成如果没有极限，则称无穷极数发散。如果没有极限，则称无穷极数发散。余项余项：当级数收敛时，其部分和：当级数收敛时，其部分和sn是级数的和是级数的和s的近似值，其的近似值，其差差叫做级数的余项，而叫做级数的余项，而|rn|叫误差。叫误差。 niinnuuuus1211nnunsssnnlim1nnu nuuus211nnuns 21nnnnuussr2007级信息与计算科学专业课件例题例题、无穷级数、无穷级数叫做等比级数（几何级数），其中叫做等比

3、级数（几何级数），其中a0，q叫做级数的公比。叫做级数的公比。讨论其收敛性。讨论其收敛性。、证明级数是发散的。、证明级数是发散的。、判定无穷级数、判定无穷级数的敛散性。的敛散性。 nnnaqaqaqaaq20 n321 ) 1(1431321211nn2007级信息与计算科学专业课件收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质性质性质、如果级数收敛于和、如果级数收敛于和s，则级数也收，则级数也收敛，且其和为敛，且其和为ks.性质性质、如果级数分别收敛于、如果级数分别收敛于s、，则级，则级数也收敛，且和为数也收敛，且和为s。此性质的的逆向不成立。此性质的的逆向不成立。性质性质、在级数中去掉、加上或改变有

4、限项，不会改变级、在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。数的收敛性。性质性质、如果级数收敛，则对这级数的项任意加、如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号所成的级数括号所成的级数仍收敛，且和不变。仍收敛，且和不变。1nnu1nnku11nnnnv，u)(1nnnvu 1nnu )()()(1111211kknnnnnuuuuuu2007级信息与计算科学专业课件性质中的逆向不一定成立，如性质中的逆向不一定成立，如但如果加括号后级数是发散的，原级数则一定是发散的。但如果加括号后级数是发散的，原级数则一定是发散的。性质性质、（级数收敛的必要性）如果级数收敛，、（级数收敛的必要性）如果级

5、数收敛，则它的一般项则它的一般项un趋于趋于0,即：即：是必要条件，但不充分。但如果一般项不趋于，级数肯是必要条件，但不充分。但如果一般项不趋于，级数肯定发散。定发散。1nnu0limnnu11) 1(nn2007级信息与计算科学专业课件例题与作业例题与作业研究下列级数的敛散性：研究下列级数的敛散性：1) 1() 1 (11nnnn11:)2(nn调和级数作业作业：P254习题习题12-1 3、4、（、（1）（）（3）（）（5）2007级信息与计算科学专业课件常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法常数项级数中的每一项都是正数或零的级数称为常数项级数中的每一项都

6、是正数或零的级数称为正项级数正项级数。定理定理1、正项级数、正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分收敛的充分必要条件是：它的部分和数列和数列 有界。有界。定理定理2、（比较审敛法）设、（比较审敛法）设 都是正项级数，且都是正项级数，且 ，若级数，若级数 收敛，则级数收敛，则级数 收敛，反之，若级数收敛，反之，若级数 发散，则级数发散，则级数 发发散。散。1nnuns11nnnnvu 和), 2 , 1( nvunn1nnu1nnv1nnu1nnv2007级信息与计算科学专业课件推论推论：设：设 和和 都是正项级数，如果级数都是正项级数，如果级数 收收敛，且存在正数敛，且存在正数N，使当，使当

7、nN时有时有unkvn(k0)成立，则成立，则级数级数 收敛，如果级数收敛，如果级数 发散，且当发散，且当nN时有时有 un kvn(k0)成立，则级数成立，则级数 发散。发散。例题例题1、讨论、讨论p级数级数的敛散性，其中常数的敛散性，其中常数p0 .2、证明级数、证明级数 是发散的。是发散的。1nnu1nnv1nnv1nnu1nnv1nnu pppnpnn131211111) 1(1nnn2007级信息与计算科学专业课件定理与例题定理与例题定理定理3、（比较审敛法的极限形式）设、（比较审敛法的极限形式）设 和和 都是正都是正项极数，项极数，（1）如果）如果 ，且级数，且级数 收敛，收敛，则

8、级数则级数 收敛；收敛；（2）如果）如果 或或 ，且级数，且级数 发散，则级数发散，则级数 发散。发散。例题例题：判定级数：判定级数 的敛散性。的敛散性。1nnu1nnv1nnv1nnu)0(limllvunnn0limlvunnnnnnvulim1nnv1nnu11sinnn2007级信息与计算科学专业课件定理与例题定理与例题定理定理4（比值审敛法，达朗贝尔（比值审敛法，达朗贝尔（dAlembert)判别法）判别法）设设 为正项级数，如果为正项级数，如果 则当则当p1（或（或 ）时级数发散；）时级数发散；P=1时级数可能收时级数可能收敛可能发散。敛可能发散。例题例题：判别下列级数的敛散性。：

9、判别下列级数的敛散性。1nnunnnuu1limnnnuu1lim )!1!1(1) 1 (1nnn nnnnn10!10321102110110!)2(3212007级信息与计算科学专业课件定理定理定理定理5（根值审敛法，柯西判别法）设（根值审敛法，柯西判别法）设 为正项级数，为正项级数，如果如果 ，则当，则当P1（或（或 ）时级数发散，）时级数发散，p=1时级数可能收敛时级数可能收敛也可能发散。也可能发散。定理定理6（极限审敛法）设（极限审敛法）设 为正项级数，为正项级数，（1）如果）如果 （或（或 ），则级数），则级数 发散；发散；（2）如果）如果p1，而，而

10、，则级数，则级数 收敛。收敛。1nnunnnulimnnnulim1nnu0limlnunnnnnulim)0(limllunnpn2007级信息与计算科学专业课件例题例题判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性：.,)() 1 (1均为正数其中abaaaabnnnnn)cos1 (1)2(1nnn2007级信息与计算科学专业课件交错级数及审敛法交错级数及审敛法级数的各项是正负交错的级数称为级数的各项是正负交错的级数称为交错级数交错级数，如：，如：其中其中 都有是正数。都有是正数。定理定理7（莱布尼茨定理）如果交错级数（莱布尼茨定理）如果交错级数 满足条件：满足条件：则级数收敛，且其和则级数

11、收敛，且其和suu1 1, ,其余项其余项r rn n的绝对值的绝对值 1() 1(nnnnnnuuuuuuuuuu ,21uu11) 1(nnnu0lim)2(), 3 , 2 , 1() 1 (1 nnnnunuu. 1|nnur2007级信息与计算科学专业课件例题例题1、研究级数、研究级数的敛散性。的敛散性。2、（、（2005研）设研）设 若若 发散，发散， 收敛，则下列结论正确的是（收敛，则下列结论正确的是（ ）。）。（A） 收敛，收敛， 发散；发散；（B） 收敛，收敛， 发散；发散；（C） 收敛；（收敛；（D） 收敛。收敛。11) 1(nnna112nna)

12、, 2 , 1(0 nan112nna12nna12nna)(1212nnnaa)(1212nnnaa nnnnn1) 1(41312111) 1(1111nna2007级信息与计算科学专业课件绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛对于级数对于级数它的各项为任意实数，如果级数它的各项为任意实数，如果级数 各项的绝对值所构各项的绝对值所构成的级数成的级数 收敛，则称级数收敛，则称级数 绝对收敛绝对收敛，如果，如果级数级数 收敛，而级数收敛，而级数 发散，则称级数发散，则称级数 条件收敛条件收敛。如如 是绝对收敛，而是绝对收敛，而 是条件收敛。是条件收敛。 nuuu211nnu1nnu1nnu1nn

13、u1nnu1nnu2111) 1(nnnnnn1) 1(112007级信息与计算科学专业课件定理与例题和作业定理与例题和作业定理定理8 如果级数如果级数 绝对收敛，则级数绝对收敛，则级数 必定收必定收敛。敛。例题例题：判定下列级数的敛散性：判定下列级数的敛散性1nnu1nnu12sin) 1 (nnn2)11 (21) 1()2(1nnnnn作业作业：P268习题习题12-2 1、（、（2）（）（4） 2、（、（1）（）（3） 3、（、（2） 4、（、（2）（）（4） 5、（、（2）（）（4）2007级信息与计算科学专业课件幂级数幂级数函数项级数的概念函数项级数的概念如果在区间如果在区间I上定

14、义了函数列：上定义了函数列：则函数表达式：则函数表达式：称为定义称为定义 在区间在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。级数。对于每一个对于每一个 的值，函数项级数（的值，函数项级数（1）为常数项级数）为常数项级数如果（如果（2）收敛，则称）收敛，则称x0是（是（1）的一个）的一个收敛点收敛点，如果（，如果（2）发）发散，称散，称x0为（为（1）的一个）的一个发散点发散点。所有收敛点的全体称为收敛。所有收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域。域，发散点的全体称为发散域。 ),(,),(),(),(321xuxuxuxun) 1 ()()

15、()()(321 xuxuxuxun)2()()()()(0030201 xuxuxuxunIx 02007级信息与计算科学专业课件如果对于收敛域内任一点如果对于收敛域内任一点x，函数项级数成为一收敛的常数项，函数项级数成为一收敛的常数项级数，有一确定的和级数，有一确定的和s唯一对应，这样在收敛上函数项级数的唯一对应，这样在收敛上函数项级数的和是和是x的函数的函数s(x)，此函数，此函数s(x)称为函数项级数的称为函数项级数的和函数和函数。写成：。写成：即：即：记记 为函数项级数的为函数项级数的余项余项。并有（当。并有（当x在收在收敛域上时）：敛域上时）： )()()()()(321xuxux

16、uxuxsn)()(limxsxsnn0)(limxrnn)()()(xsxsxrnn2007级信息与计算科学专业课件幂级数及其性质幂级数及其性质当函数项级数中的各项都是幂函数组成，如：当函数项级数中的各项都是幂函数组成，如：时和为时和为幂级数幂级数，其中，其中 叫做幂级数的系数。叫做幂级数的系数。如：如：幂级数的一般形式为：幂级数的一般形式为：我们只须作我们只须作t=x-x0代换即可成为（代换即可成为（3）形式。故只讨论（）形式。故只讨论（3）。）。)3(3322100 nnnnnxaxaxaxaaxa ,210naaaa nnxnxxxxx!1! 211122 nnnnnxxaxxaxxa

17、axxa)()()()(0202010002007级信息与计算科学专业课件例例：研究级数：研究级数 的敛散性。的敛散性。定理定理1（阿贝尔（阿贝尔（Abel)定理）定理）如果级数如果级数 当当x=x0（x00)时收敛，则满足时收敛，则满足|x|x0|的一切的一切x使这幂级数发散。使这幂级数发散。例题与定理例题与定理 nxxx21nnnxa0nnnxa02007级信息与计算科学专业课件结论结论1、对于幂级数、对于幂级数 ，x=0肯定是收敛点，也可能收敛域肯定是收敛点，也可能收敛域是整个数轴。是整个数轴。2、如果收敛点不止数轴原点，也不是整个数轴，则存在一个、如果收敛点不止数轴原点，也不是整个数轴

18、，则存在一个正数正数R，使得：，使得：（1）当）当|x|R时，幂级数发散；时，幂级数发散；（3）当）当x=R与与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散。时，幂级数可能收敛也可能发散。这里的这里的R叫做幂级数的叫做幂级数的收敛半径收敛半径，（，（-R，R）叫做）叫做收敛区间收敛区间，再由再由x=R和和x=-R处的收敛性得幂级数的处的收敛性得幂级数的收敛域收敛域，可能是，可能是(-R,R),-R,R),(-R,R,-R,R.特别：当幂级数只在原点收敛时，特别：当幂级数只在原点收敛时，R=0，当在整个数轴上都收敛时，当在整个数轴上都收敛时，R=+。nnnxa02007级信息与计算科学专业课件定理定理定

19、理定理2 如果如果其中其中 是幂级数是幂级数 的相邻两项的系数，则的相邻两项的系数，则这幂级娄的收敛半径这幂级娄的收敛半径nnnxa01,nnaannnaa1lim0001R2007级信息与计算科学专业课件例题例题1、求下列幂级数的收敛域：、求下列幂级数的收敛域：2、求幂级数、求幂级数 的收敛半径。的收敛半径。3、求幂级数、求幂级数 的收敛域。的收敛域。nnxn0!)3( nxxxxnn 132) 1(32) 1 ( ! 21 )2(2nxxxnnnxnn202) !()!2(12) 1(nnnnx2007级信息与计算科学专业课件幂级数的运算幂级数的运算设幂级数设幂级数分别在（分别在（-R1，

20、R1）和（）和（-R2，R2）内收敛）内收敛s1,s2，则，则(1)（和，差）（和，差）在（在（-R，R）内收敛于）内收敛于s1s2,R=minR1,R2.(2)（积，商）（积，商）在（在（-R，R）内收敛于）内收敛于s1s2、s1/s2,(s20),R=minR1,R2.nnnnnnxbxa00,nnnnnnnnnnxbaxbxa000)(nnnnnnnnnnnnxbxa，xbxa0000)()(2007级信息与计算科学专业课件性质性质1、幂级数、幂级数 的和函数的和函数s(x)在其收敛域在其收敛域I上连续。上连续。2、幂级数、幂级数 的和函数的和函数s(x)在其收敛域在其收敛域I上可积，并

21、有逐项上可积，并有逐项积分公式：积分公式：逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。3、幂级数、幂级数 的和函数的和函数s(x)在其收敛区间（在其收敛区间（-R，R）内）内可导，且逐项求导公式：可导，且逐项求导公式：逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。4、幂级数、幂级数 的和函数的和函数s(x)在其收敛区间（在其收敛区间（-R，R）内）内具有任意阶导数。具有任意阶导数。nnnxa0nnnxa0nnnxa0nnnxa010000001)()( nnnnxnnxxnnnxnadxxad

22、xxadxxs1100)()( nnnxnnnxnaxadxxs2007级信息与计算科学专业课件例题作业例题作业1、求幂级数、求幂级数 的和函数。的和函数。01nnnx作业作业：P277习题习题12-3 1、（、（2）（）（4）（）（6）2、（、（1）（）（3）2007级信息与计算科学专业课件函数展开成幂级数函数展开成幂级数函数函数f(x)在什么情况下能展开成幂级数？展开的方法是什么？在什么情况下能展开成幂级数？展开的方法是什么？收敛区域怎样？收敛区域怎样？如果函数如果函数f(x)在在x0的某邻域的某邻域U(x0)内能展开成幂级数：内能展开成幂级数：应应f(x)应具有各阶导数应具有各阶导数f

23、(n) (x)，（，（n=1,2,3,），且），且所以展开式为：所以展开式为： nnxxaxxaxxaaxf)()()()(0202010), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann) 1 ()(!)()(!)()(! 2)( )( )(000)(00)(200000 nnnnnxxnxfxxnxfxxxfxxxfxf2007级信息与计算科学专业课件幂级数（幂级数（1）称为）称为f(x)在点在点x0处的处的泰勒级数泰勒级数（展开式）。（展开式）。定理定理：设函数：设函数f(x)在的某邻域在的某邻域U (x0)内具有各阶导数，则内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充

24、分必要条件是在该邻域内在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内f(x)的泰勒公式中的余项的泰勒公式中的余项Rn(x)当当n时的极限为零。即：时的极限为零。即：在泰勒公式中当在泰勒公式中当=0时，公式变为：时，公式变为：称（称（2）为函数）为函数f(x)的的麦克劳林级数麦克劳林级数（展开式）。（展开式）。)(, 0)(lim0 xUxxRnn)2(!)0(!)0(! 2)0( )0( )0(0)()(2 nnnnnxnfxnfxfxff2007级信息与计算科学专业课件将将f(x)展开成幂级数的步骤展开成幂级数的步骤1、求出各阶导数，如果不存在，则不能展开成幂级数。、求出各阶导数，如果

25、不存在，则不能展开成幂级数。2、写出函数及各阶导数在、写出函数及各阶导数在x=0处的值。处的值。3、写出幂级数、写出幂级数并求出收敛半径并求出收敛半径R。求出收敛域。求出收敛域。4、考察余项、考察余项当当x在区间在区间(-R,R)内时极限是否为零，如果不为零，则不能内时极限是否为零，如果不为零，则不能展开。展开。 nnxnfxfxff!)0(! 2)0( )0( )0()(2) 10()()!1(1)(1)(nnnxxfnxR2007级信息与计算科学专业课件例题例题1、将函数、将函数f(x)=ex展开成展开成x的幂级数。（几何意义）的幂级数。（几何意义）2、将函数、将函数f(x)=sinx展开

26、成展开成x幂级数。幂级数。3、利用幂级数的运算求出下列函数的幂级数：、利用幂级数的运算求出下列函数的幂级数：4、把函数、把函数f(x)=(1-x)ln(1+x)展开成展开成x幂级数。幂级数。5、将函数、将函数 展开成（展开成（x-1)的幂级数。的幂级数。xxaxxxxxarctan,11,cos),1ln(,11,112341)(2xxxf2007级信息与计算科学专业课件作业作业P285习题习题12-4 2、（、（4）（）（5） 3、（、（2） 5、2007级信息与计算科学专业课件函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用近似计算近似计算利用幂级数求部分和，用余项来估计精度。利用幂级数求

27、部分和，用余项来估计精度。例例1、计算、计算ln2的近似值，要求误差不超过的近似值，要求误差不超过0.0001。 nxxxxxnn 132) 1(32)1ln(:由公式解 nxn1) 1(312112ln:11时得当,0001. 010000,11不超过就能保证误差所以取其余项nnrn2007级信息与计算科学专业课件以上要求以上要求10000项的和，由人工完成是不可以的，为此引用项的和，由人工完成是不可以的，为此引用一个收敛较快的级数完成计算。一个收敛较快的级数完成计算。) 11(32)1ln(32 xxxxx由) 11(32)1ln(32 xxxxx知) 11()53(211ln)1ln()

28、1ln(53xxxxxxxx)31(51)31(3131(22ln11ln3153 xxx时当)31(131)31(111)31(91 2131194 r2007级信息与计算科学专业课件100001341911132)91(911 32911211 6931. 0)31(71)31(51)31(3131(22ln753所以2007级信息与计算科学专业课件例题例题计算定积分计算定积分的近似值，要求误差不超过的近似值，要求误差不超过0.0001。取。取dxex2102256419. 01)(!:0 xnxennx由公式解)(!) 1(022xnxennnx得2007级信息与计算科学专业课件dxnx

29、dxennnx 21002210!) 1(222所以2101202102012!) 1(2!) 1(2nxndxxnnnnnnn)! 3721! 25213211 (1642 100001! 4921184r由5205. 0)! 3721! 25213211 (126422102dxex所以2007级信息与计算科学专业课件微分方程的幂级数解法微分方程的幂级数解法我们知道：微分方程的解是一个函数，如果其解能展开成我们知道：微分方程的解是一个函数，如果其解能展开成幂级数，我们就能求出它幂级数形式的解。幂级数，我们就能求出它幂级数形式的解。理论研究省理论研究省。例例1、求方程、求方程 满足满足 的特

30、解。的特解。2yxdxdy00 xy 3322100:xaxaxaaxaynnn设方程的解为解 44332211, 0,0 xaxaxaxaxayyxnnn时当 1453423215432nnxnaxaxaxaxaadxdy2007级信息与计算科学专业课件 431223212212332212)2(2)(xaaaxaaxaxxaxaxaxyx代入方程的右边 1453423215432nnxnaxaxaxaxaa 43122321221)2(2xaaaxaaxax ,2010, 0, 0,21, 0:54321aaaaa对应系数相等得 5220121:xxy方程的解为2007级信息与计算科学专业

31、课件欧拉公式欧拉公式设有复数级数：设有复数级数：其中其中 为实常数或实函数，如果实部所为实常数或实函数，如果实部所成的级数成的级数收敛于和收敛于和u，并且虚部所成的级数，并且虚部所成的级数收敛于和收敛于和v，称复数级数（）收敛于和，称复数级数（）收敛于和u+vi 。定义定义：如果级数（）中的各项的模构成的级数：如果级数（）中的各项的模构成的级数收敛，称（）绝对收敛。收敛，称（）绝对收敛。结论结论：如果（）绝对收敛，则（）（）绝对收敛。：如果（）绝对收敛，则（）（）绝对收敛。) 1 ()()()(2211 ivuivuivunn)2(21 nuuu) 3(21 nvvv), 3 , 2 , 1(

32、, nvunn 2222222121nnvuvuvu2007级信息与计算科学专业课件由由得：得：)(! 3! 21!320 xxxxnxennx !)(! 3)(! 2)(1!)(320nixixixixnixennnix ! 5! 4! 3! 215432xixxixix)! 5! 3()! 4! 21 (5342 xxxixxxixsincos这就是欧拉公式即xixeixsincos:2007级信息与计算科学专业课件xixexixeixixsincos:sincos得由欧拉公式的另一种形式欧拉公式的另一种形式将两式相加、加减得：将两式相加、加减得：这是欧拉公式的另一种形式。这是欧拉公式的另

33、一种形式。ieexeexixixixix2sin2cos2007级信息与计算科学专业课件傅里叶级数傅里叶级数本部分内容是将周期函数展开成三角级数。本部分内容是将周期函数展开成三角级数。形如：形如：的级数称为的级数称为三角级数三角级数。如何将一个周期函数展开成三角函数？其收敛性如何？如何将一个周期函数展开成三角函数？其收敛性如何？为此先介绍为此先介绍三角函数系三角函数系：。nbaanxbnxaannnnn为常数其中), 3 , 2 , 1(,)sincos(2010 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx2007级信息与计算科学专业课件三角函数系有如下三角函数

34、系有如下性质：性质：1、在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在、在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在-， 上上的积分为零。（正交性）如：的积分为零。（正交性）如： ), 3 , 2 , 1,(0sinsin), 3 , 2 , 1,(0coscos), 3 , 2 , 1,(0cossin), 3 , 2 , 1(0sin), 3 , 2 , 1(0cosnknknxdxkxnknknxdxkxnknxdxkxnnxdxnnxdx2007级信息与计算科学专业课件2、在三角函数系中两个相同函数的乘积在、在三角函数系中两个相同函数的乘积在-， 上的积分上的积分不等于零。如：不等于零。如： ), 3 , 2 , 1(cossin21222nnxdxnxdxdx2007级信息与计算科学专业课件将函数展成傅里叶级数将函数展成傅里叶级数设设f(x)是周期为是周期为2的周期函数，且能展开成三角级数的周期函数，且能展开成三角级数则：则：这里的这里的由此得到的三角级数称为函数由此得到的