第十一章小干扰稳定性分析

1、小干扰稳定计算与分析小干扰稳定计算与分析 电力系统电力系统小干扰稳定小干扰稳定问题是问题是电力系统规划与运电力系统规划与运行阶段行阶段需要考虑的一个重要问题。需要考虑的一个重要问题。电力系统几乎电力系统几乎随时随时都在受到都在受到小的干扰小的干扰，如电力，如电力系统中系统中负荷少量的增加或减少负荷少量的增加或减少、配电网络的局配电网络的局部操作部操作、发电机运行参数的微小改变发电机运行参数的微小改变等，都会等，都会对系统产生对系统产生影响影响。 系统系统运行方式运行方式的小干扰稳定性的小干扰稳定性, ,成为系统成为系统确保运行方式确保运行方式能否实现能否实现的的最基本的条件之一最基本的条件之一

2、, ,而对小干扰稳定的而对小干扰稳定的计算和分析计算和分析就变得极为重要就变得极为重要了。了。 随着我国随着我国大区电网互联大区电网互联、远距离送电远距离送电及及快速控制装置快速控制装置在电力系统中在电力系统中大量广泛大量广泛地地投入使用投入使用, , 电力系统小干扰稳定性问题电力系统小干扰稳定性问题日益突出日益突出。 近几十年来，电力系统科技人员努力运近几十年来，电力系统科技人员努力运用用现代科学现代科学的理论、技术和工具去的理论、技术和工具去研究、研究、分析和解决分析和解决小干扰稳定问题，并取得了小干扰稳定问题，并取得了丰硕丰硕的成果。的成果。 现今研究表明，现今研究表明，发电机的励磁控制

3、发电机的励磁控制是是提提高高电力系统小干扰稳定性的电力系统小干扰稳定性的有效手段有效手段, ,同同时它还具有时它还具有维持机端电压维持机端电压的能力。的能力。 特别是特别是电力系统稳定器电力系统稳定器（即（即PSSPSS）的出现，的出现，使得系统的使得系统的稳定水平大大改善稳定水平大大改善。由于由于PSSPSS通过通过调节励磁调节励磁来提高电力系统稳来提高电力系统稳定性，而且定性，而且投资少投资少，控制效果控制效果好，因而好，因而在国内外得到日益广泛的在国内外得到日益广泛的应用应用。 这些成果一方面有助于这些成果一方面有助于电力系统的安全电力系统的安全稳定运行稳定运行，另一方面也促进了，另一方

4、面也促进了动态电力动态电力系统理论和分析方法系统理论和分析方法的发展。的发展。 1 1 小干扰稳定概述小干扰稳定概述 由于电力系统是一个由于电力系统是一个复杂的动态系统复杂的动态系统，一，一方面它必须时刻保证必要的电能质量及数量，方面它必须时刻保证必要的电能质量及数量，另一方面它又另一方面它又处于不断的扰动处于不断的扰动之中。在扰动发之中。在扰动发生后的生后的系统动态过程系统动态过程中一旦发生中一旦发生稳定性问题稳定性问题，系统可能在系统可能在几秒内几秒内发生发生严重后果严重后果，造成极大的，造成极大的经济损失及社会影响。现代电力系统有一系列经济损失及社会影响。现代电力系统有一系列新新特点，如

5、采用特点，如采用大容量机组大容量机组，超高压超高压、长距离长距离、重负荷输电重负荷输电，交直流联合输电交直流联合输电，大区电网互联大区电网互联等等，因此作为系统运行方式能否实现的最基等等，因此作为系统运行方式能否实现的最基本的条件之一，小干扰稳定问题得到了广泛的本的条件之一，小干扰稳定问题得到了广泛的研究，用以确保电力系统的研究，用以确保电力系统的安全稳定安全稳定运行。运行。电力系统小干扰稳定是指电力系统小干扰稳定是指系统受到小干扰后，系统受到小干扰后，不发生不发生自发振荡自发振荡或或非周期性失步非周期性失步，自动恢复自动恢复到到起始运行状态的能力起始运行状态的能力。系统小干扰稳定性取决于系统

6、的系统小干扰稳定性取决于系统的固有特性固有特性，与，与扰动的大小无关。扰动的大小无关。如果对于某一如果对于某一特定的稳定运行状态特定的稳定运行状态，遭受一个，遭受一个微小的扰动微小的扰动（理论上扰动量趋近于零），系统（理论上扰动量趋近于零），系统在经历一个在经历一个过渡过程过渡过程后，趋于恢复后，趋于恢复扰动前的运扰动前的运行工况行工况，则称，则称该系统在此特定运行工况下，具该系统在此特定运行工况下，具有小干扰稳定性。有小干扰稳定性。 对系统在小扰动下的对系统在小扰动下的动态行为动态行为进行分析，进行分析，可将描写系统动态行为的可将描写系统动态行为的非线性微分方非线性微分方程组程组在在运行工作

7、点线性化运行工作点线性化，化为，化为线性微线性微分方程组分方程组，然后用线性系统理论及相应，然后用线性系统理论及相应的分析方法（如的分析方法（如特征根分析、扫频分析特征根分析、扫频分析等）进行分析。等）进行分析。系统的系统的模型模型可以计及可以计及系统元件系统元件和和调节控调节控制器制器的动态特性，从而实现的动态特性，从而实现严格准确严格准确的的小干扰稳定性分析；小干扰稳定性分析； 在实际小扰动稳定性分析时，常对线性在实际小扰动稳定性分析时，常对线性化微分方程作进一步化微分方程作进一步简化假定简化假定，即，即忽略忽略元件及调节器动态特性元件及调节器动态特性，系统的，系统的电磁回电磁回路部分及调

8、节控制部分化为线性化代数路部分及调节控制部分化为线性化代数方程描述方程描述，并利用，并利用代数判据代数判据来作稳定分来作稳定分析，如功角稳定分析中用的析，如功角稳定分析中用的 判据。判据。 dP d2 小干扰稳定研究发展概况小干扰稳定研究发展概况 现今现今国内外国内外积极开发研制积极开发研制发电机励磁的智能型发电机励磁的智能型控制控制，用以提高电力系统小干扰稳定性。励磁，用以提高电力系统小干扰稳定性。励磁系统向发电机提供系统向发电机提供励磁功率励磁功率，起着，起着调节电压调节电压、保持发电机端电压保持发电机端电压或或枢纽点电压恒定枢纽点电压恒定的作用，的作用，并可控制并可控制并列运行发电机的无

9、功功率分配并列运行发电机的无功功率分配。它。它对发电机的动态行为有很大影响，可以帮助提对发电机的动态行为有很大影响，可以帮助提高电力系统的高电力系统的稳定极限稳定极限。特别是现代电力电子。特别是现代电力电子技术的发展，使技术的发展，使快速响应快速响应、高放大倍数高放大倍数的励磁的励磁系统得以实现。系统得以实现。近年来，随着电力系统的近年来，随着电力系统的扩容扩容，单机容单机容量的增大量的增大，许多大型发电机组都普遍采，许多大型发电机组都普遍采用用快速励磁调节器快速励磁调节器和和快速励磁系统快速励磁系统，使，使得得励磁系统时间常数大为减小励磁系统时间常数大为减小，从而，从而降降低了系统阻尼低了系

10、统阻尼，这对，这对输电线路较长、联输电线路较长、联系较弱的系统影响较大系较弱的系统影响较大，使系统，使系统不断发不断发生弱阻尼或负阻尼生弱阻尼或负阻尼，出现了，出现了联络线低频联络线低频功率振荡功率振荡。 励磁系统的附加控制，即励磁系统的附加控制，即电力系统稳定电力系统稳定器（器（PSSPSS），可以可以增加系统的电气阻尼增加系统的电气阻尼，改善电力系统的稳定性。改善电力系统的稳定性。由于由于PSSPSS不降低励磁系统电压调节环的增不降低励磁系统电压调节环的增益益，不影响励磁系统的暂态性能，却对，不影响励磁系统的暂态性能，却对抑制抑制电力系统电力系统低频振荡低频振荡效果显著，而且效果显著，而且

11、投资相对较小，效益高，因而得到了广投资相对较小，效益高，因而得到了广泛的应用。泛的应用。 国内最近几年逐步重视国内最近几年逐步重视PSSPSS在电力系统中在电力系统中的应用，其中的应用，其中浙江电网浙江电网进行了进行了8 8年年的的PSSPSS试验试验，云南电网云南电网作了大量的分析计算进作了大量的分析计算进行行PSSPSS参数的整定参数的整定，台湾电力系统台湾电力系统主要发主要发电机组都已电机组都已配置配置PSSPSS，提高线路输电能力提高线路输电能力方面在方面在抑制系统功率振荡、抑制系统功率振荡、，取得了很，取得了很大的效果。大的效果。 实践表明，实践表明，多机系统多机系统中，有时中，有时

12、针对某一针对某一振荡模式设计的振荡模式设计的PSSPSS，可能可能恶化另一模式恶化另一模式的阻尼的阻尼，因而现在国内外针对电力系统，因而现在国内外针对电力系统小干扰稳定问题的研究，主要集中在小干扰稳定问题的研究，主要集中在PSSPSS的参数整定设计和协调的参数整定设计和协调应用上。应用上。 当前，我国正在进行大规模的电网建设，当前，我国正在进行大规模的电网建设，逐步实现逐步实现“全国联网，西电东送全国联网，西电东送”。大电。大电网互联后的低频振荡（网互联后的低频振荡（0.20.22.52.5HzHz）问题、问题、电压稳定电压稳定问题、问题、交直流系统并联运行交直流系统并联运行问题，问题，各种新

13、型控制装置如各种新型控制装置如FACTSFACTS装置装置的采用和的采用和PSSPSS装置的配置装置的配置等，无论在等，无论在规划设计阶段还规划设计阶段还是在系统运行阶段是在系统运行阶段，都需要进行，都需要进行深入深入的小的小干扰稳定分析，以提高电力系统分析水平，干扰稳定分析，以提高电力系统分析水平，确保电力系统的确保电力系统的安全稳定运行安全稳定运行。 3 3 小干扰稳定研究模型、原理小干扰稳定研究模型、原理 由于研究的是由于研究的是严格意义严格意义下的小干扰稳下的小干扰稳定问题，因而要定问题，因而要考虑到调节器及元件的考虑到调节器及元件的动态动态，并，并分析扰动后系统能否趋于或接分析扰动后

14、系统能否趋于或接近于原来的稳定工况运行近于原来的稳定工况运行。在此，主要。在此，主要分析电力系统受分析电力系统受小扰动时小扰动时发电机发电机转子间转子间由于阻尼不足由于阻尼不足而引起的而引起的持续低频功率振持续低频功率振荡荡，从而探讨，从而探讨PSSPSS对低频振荡的影响。对低频振荡的影响。 3.1 单机无穷大系统的线性化模型单机无穷大系统的线性化模型 单机无穷大系统线性化模型单机无穷大系统线性化模型是研究小干扰稳定是研究小干扰稳定问题机理的问题机理的基础基础。如图中的单机无穷大系统，。如图中的单机无穷大系统，我们将在以下的我们将在以下的近似条件近似条件下，利用下，利用不同的关系不同的关系式式

15、加以分析：加以分析： 定子绕组的定子绕组的电阻忽略不计电阻忽略不计； 定子绕组的定子绕组的变压器电势变压器电势Pd 及及Pq忽略不计忽略不计； 在电磁关系的计算中，认为发电机的在电磁关系的计算中，认为发电机的转速为转速为同步转速同步转速，也就是说，转速变化引起的电压分，也就是说，转速变化引起的电压分量忽略不计。量忽略不计。 只考虑励磁绕组的作用只考虑励磁绕组的作用，不考虑阻尼绕组的，不考虑阻尼绕组的作用。作用。发电机采用发电机采用三阶实用模型三阶实用模型，以便计及励磁系，以便计及励磁系统动态及发电机凸极效应统动态及发电机凸极效应; ; 励磁系统为励磁系统为静止静止励磁系统励磁系统并用并用一阶惯

16、性环节一阶惯性环节描述；描述；机械功率机械功率恒定恒定；线路线路忽略分布电容及损耗，忽略分布电容及损耗，用电抗用电抗X X表示表示；无穷大系统无穷大系统电压为电压为U = U0U = U0，U U为为常量常量。其中，。其中，E Ef f为励磁系统；为励磁系统；P Pm m为原动机输出机械功率，为原动机输出机械功率，P Pm m为输出励磁电压常数。为输出励磁电压常数。 qdqdqqeI)I X - X (-I E P 则发电机则发电机dqdq坐标坐标标幺值数学模型标幺值数学模型为为 励磁系统传递函数励磁系统传递函数，设为，设为( (U Uref ref = = 常数常数) ) 式中，式中， 为发

17、电机端电压。为发电机端电压。 (p)G pT1 K U-E EEEtf2q2dt UU U网络在同步网络在同步xyxy坐标下方程为坐标下方程为 UtU0 = jXI 。 设设 UxjUy = Ut, , IxjIy = I , 则将则将网络方程实部、虚部分开网络方程实部、虚部分开有有 yxyxII0 XX- 0 UU-U另外，对另外，对dq-xy dq-xy 坐标关系，可知坐标关系，可知其中，其中，f f可为可为U U，I I等电量。等电量。 yxqdffsin coscos- sin ff构成了全系统的构成了全系统的数学模型数学模型，在忽略调速，在忽略调速器动态时为器动态时为四阶四阶（， ，

18、E Ef f），），将将上述方程组上述方程组消去代数变量消去代数变量，在，在工作点附工作点附近线性化近线性化，化为，化为状态量的增量方程状态量的增量方程，如，如果发电机在某一稳态运行方式时，受到果发电机在某一稳态运行方式时，受到了极其微小的干扰，则根据这些关系式了极其微小的干扰，则根据这些关系式不难求得由干扰引起的不难求得由干扰引起的微小变量微小变量，联立，联立可得可得标准状态方程标准状态方程为为 Eq fqEE6EE5Ed0d03d0421fqEE T1- TKK- TKK- 0 T1 TK - TK- 0 0 0 0 1 0 MK- MK- MDEE3.2 多机系统的线性化模型多机系统的线

19、性化模型 多机系统的线性化模型的推导与单机无多机系统的线性化模型的推导与单机无穷大系统类似，但发电机定子电压方程穷大系统类似，但发电机定子电压方程和网络节点导纳阵方程联立求解机端电和网络节点导纳阵方程联立求解机端电压、电流时，应压、电流时，应先将各发电机方程由各先将各发电机方程由各自的自的d di iq qi i坐标（坐标（i i为发电机号）转化为公为发电机号）转化为公共的共的xyxy同步坐标同步坐标，在同步坐标下求取用，在同步坐标下求取用各发电机状态量各发电机状态量 和和表示机端电压和表示机端电压和电流的表达式，再返回各机的电流的表达式，再返回各机的d di iq qi i坐标。坐标。 Eq

20、设发电机仍采用设发电机仍采用三阶实用模型三阶实用模型，励磁系，励磁系统采用统采用三阶模型三阶模型，即即电压调节器一阶电压调节器一阶、励磁机一阶励磁机一阶、励磁电压负反馈一阶励磁电压负反馈一阶，其，其中中U UPSSPSS为为励磁附加控制信号励磁附加控制信号。系统模型中系统模型中考虑了电力系统稳定器考虑了电力系统稳定器PSSPSS的的作用作用，相应的传递函数框图如图，相应的传递函数框图如图，PSSPSS以以发电机转速发电机转速或电磁功率或电磁功率PePe为输入为输入信号信号，PSSPSS输出输出U UPSSPSS作为励磁系统的附作为励磁系统的附加控制信号加控制信号。 经推导得到的经推导得到的全系

21、统线性化状态方程全系统线性化状态方程为为 321mmFfAq33323133323122213n)(3n3n)(3n232221111312113332313n)(3n23223n)(3n21 131211113332313n)(3n222116151413111312111 -d031 -d041 -d03n(3n1 -21 -1 -11 -321mmFfAqyyyxPUEUE C C C F F F 0 C C 0 0 F F F 0 0 C F F F B B 0 0 E 0 0 B B 0 0 0 E 0 B B B 0 E 0 0 0 0 A A A 0 0 0 0 0 0 0 0

22、A A 0 0 0 D D D A 0 A D D D 0 0 0 0 T- 0 KT- 0 KT-)0 0 0 M 0 0 0 KM- DM- KM- 0 0 0 0 0 0 0 I 0 yyyxPUEUE3.3 小干扰稳定的计算分析法小干扰稳定的计算分析法 当前，用于研究复杂电力系统小干扰稳当前，用于研究复杂电力系统小干扰稳定的方法主要是定的方法主要是基于李亚普诺夫一次近基于李亚普诺夫一次近似法的小干扰法似法的小干扰法。该方法的基本原理如。该方法的基本原理如下：下：系统的动态特性由一组非线性微分系统的动态特性由一组非线性微分方程组描述方程组描述： ) , , , ( f dtdn21ii在

23、运行点附近线性化，把各状态变量表在运行点附近线性化，把各状态变量表示为其初始值与微增量之和示为其初始值与微增量之和： i0ii 将所得方程组在初始值附近展开成台劳将所得方程组在初始值附近展开成台劳级数，并略去各微增量的二次及高次项级数，并略去各微增量的二次及高次项，得：得： jn1jjiif dtd将其写成矩阵形式：将其写成矩阵形式： = AX X 这就是这就是描述线性系统的状态方程描述线性系统的状态方程，其中，其中A A为为n nn n维系数矩阵，称为该系统的维系数矩阵，称为该系统的状态矩阵状态矩阵。对。对于由状态方程描述的线性系统，其于由状态方程描述的线性系统，其小干扰稳定小干扰稳定性由状

24、态矩阵的所有特征值决定性由状态矩阵的所有特征值决定。如果所有的如果所有的特征值实部都为负，则系统在该运行点是稳定特征值实部都为负，则系统在该运行点是稳定的；只要有一个实部为正的特征值，则系统在的；只要有一个实部为正的特征值，则系统在该运行点是不稳定的；如果状态矩阵该运行点是不稳定的；如果状态矩阵A A不具有不具有正实部特征值但具有实部为零的特征值，则系正实部特征值但具有实部为零的特征值，则系统在该运行点处于临界稳定的情况。统在该运行点处于临界稳定的情况。因此，分因此，分析系统在某运行点的小干扰稳定性问题，可以析系统在某运行点的小干扰稳定性问题，可以归结为求解状态矩阵归结为求解状态矩阵A A的全

25、部特征值的问题。的全部特征值的问题。计算矩阵全部特征值的计算矩阵全部特征值的QRQR法法是研究电力是研究电力系统小干扰稳定性的一种十分有效的方系统小干扰稳定性的一种十分有效的方法，且得到了广泛的应用。法，且得到了广泛的应用。3.3.1 矩阵特征值的矩阵特征值的QRQR算法算法 如前所述，对小干扰稳定的分析归结为如前所述，对小干扰稳定的分析归结为对矩阵对矩阵特征值所在域的判定特征值所在域的判定。QRQR算法能求出矩阵的全算法能求出矩阵的全部特征值，因而可直接用于该问题的计算。部特征值，因而可直接用于该问题的计算。QRQR算法算法即：每次即：每次迭代迭代首先把矩阵序列首先把矩阵序列AkAk分解成分

26、解成U U矩阵矩阵QkQk和上三角矩阵和上三角矩阵RkRk的的乘积乘积，作，作QRQR分解即分解即 Ak=QkRkAk=QkRk，然后取变换矩阵，然后取变换矩阵Ck=QkCk=Qk，从而由，从而由 Qk-1= QkQk-1= Qk* *和上式得到和上式得到 Ak+1 = QkAk+1 = Qk* *AkQk = RkQkAkQk = RkQk 矩阵矩阵AkAk到到Ak+1Ak+1的这种的这种U U相似变换相似变换，称为，称为QRQR变换。由于变换。由于U U矩阵的行和列都是矩阵的行和列都是单位向量单位向量，所以所以QRQR算法的显著优点是数值计算稳定，算法的显著优点是数值计算稳定，但是收敛性和

27、每次迭代的计算量不佳，但是收敛性和每次迭代的计算量不佳，因此对此法的改进是因此对此法的改进是迭代前先把原始矩迭代前先把原始矩阵化成准三角形，迭代的每一步进行原阵化成准三角形，迭代的每一步进行原点位移。点位移。 多机电力系统多机电力系统的小干扰分析广泛采用的小干扰分析广泛采用特征分析特征分析法法，即特征结构分析法。当系统化为标准形式，即特征结构分析法。当系统化为标准形式的状态方程后，就可用特征值分析方法进行稳的状态方程后，就可用特征值分析方法进行稳定分析了。事实上，工程中不仅对系统稳定与定分析了。事实上，工程中不仅对系统稳定与否感兴趣，而且还希望知道在否感兴趣，而且还希望知道在小扰动下系统过小扰

28、动下系统过渡过程的许多特征渡过程的许多特征。例如，对于振荡性过渡过。例如，对于振荡性过渡过程，其特征包括程，其特征包括振荡频率振荡频率、衰减因子衰减因子、相应振相应振荡在系统中的分布荡在系统中的分布、该振荡是由什么原因引起该振荡是由什么原因引起的，的，同哪些状态量密切相关同哪些状态量密切相关等等，它们可为确等等，它们可为确定抑制振荡的装置定抑制振荡的装置最佳装设地点最佳装设地点及为及为控制装置控制装置的参数整定的参数整定提供有用的信息。特征分析法若和提供有用的信息。特征分析法若和时域仿真法结合，可以使系统在线性化模型下时域仿真法结合，可以使系统在线性化模型下设计的控制系统进一步得到考验，这是目

29、前电设计的控制系统进一步得到考验，这是目前电力系统中广泛使用的控制系统设计和校验过程。力系统中广泛使用的控制系统设计和校验过程。 3.3.2 振荡模式与模态振荡模式与模态首先，给出特征值与特征向量的数学定义：首先，给出特征值与特征向量的数学定义： 对于矩阵对于矩阵ACnACnn n， 其特征值（其特征值（ii）和特）和特征向量（征向量（uiui）满足下式：）满足下式： Aui = iui ui0 Aui = iui ui0 (i=1,2, (i=1,2,n),n) 设有如下的常微分方程设有如下的常微分方程 其相应的特征方程为其相应的特征方程为 ap2 + bp +c = 0 特征值为特征值为

30、0 c b a j 2a4ac-bb- p 21,2从而从而若令若令 tp2tp121ec ec tp22tp1121epc epc 1 2则可把化为则可把化为标准状态方程标准状态方程 = = A X X2121 ab- ac-1 0 根据根据 = 0= 0可得出上式的特征值可得出上式的特征值可见，将一个高阶微分方程，化为等价的状态可见，将一个高阶微分方程，化为等价的状态方程，其特征值不变，反之亦然。方程，其特征值不变，反之亦然。 A-I 2a4ac-b b- 21,2由特征向量的定义，可知与上述由特征向量的定义，可知与上述特征值特征值1,21,2对应的对应的特征向量特征向量u1,u2u1,u

31、2分别为分别为 p1 u1122p1 u可知可知 tp22tp11tp22tp11212121euceucep1 cep 1 c 由上式可知：由上式可知： 特征值特征值 1,2 = p1,2 = 1,2 = p1,2 = j j 反映了反映了振荡的频率振荡的频率和衰减性能和衰减性能。这是因为。这是因为 e( e(j)t = et ( cost j)t = et ( cost jsint )jsint )反映衰减性能反映衰减性能，反映振荡频率反映振荡频率。0 0 为增幅振为增幅振荡，系统失稳；荡，系统失稳；0 0为减幅振荡，系统稳定；为减幅振荡，系统稳定；=0=0为为等幅振荡，系统处于临界稳定状

32、态。等幅振荡，系统处于临界稳定状态。特征向量特征向量u1 , u2 u1 , u2 反映了在状态向量反映了在状态向量X X上观察相应的振上观察相应的振荡时，荡时，相对振幅的大小和相位关系相对振幅的大小和相位关系。物理上把一对共。物理上把一对共轭特征值称为一个轭特征值称为一个振荡模式振荡模式(mode)(mode)，其对应的特征向，其对应的特征向量称为量称为振荡模态振荡模态(mode shape)(mode shape)。 3.3.3 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质 右特征向量的物理含义右特征向量的物理含义用特征向量用特征向量u ui i构成的矩阵，对状态方程构成的矩阵，对状态方程

33、 = AX 进行线性变换，可实现解耦。进行线性变换，可实现解耦。 X对于状态矩阵对于状态矩阵ACACn nn n , , 设其设其特征值特征值为为1 1, ,n,n，相对应的，相对应的特征向量特征向量u u1 1，u un n，定义变换矩阵，定义变换矩阵 U= uU= u1 1 u u2 2 u un n , , 定义定义特征值对角阵特征值对角阵 = diag 1,2,n ， 则有则有 U-1AU = 作变换作变换 X = UZ ( Z为解耦状态变量为解耦状态变量 ) 代入原状态方程，则有代入原状态方程，则有 = AUZ 即即 = Z 则第则第i i个方程为个方程为 = iZi 可见，可见，Z

34、 Zi i中中只含一个振荡模式只含一个振荡模式i i，系统，系统实现了解耦。实现了解耦。ZUZ iZ若设若设Z Zi i(t) = c(t) = ci i ( i =1,2, ( i =1,2,n ),n )， 则有则有 X = = UZ = =tien21tnnt22t11n21euceuceuctnnn2n1nt2n22122t1n21111n21euuuceuuuceuuuc由上式可见，与特征值由上式可见，与特征值i( i =1,2,i( i =1,2,n ) ,n ) 相对应的特征向量相对应的特征向量u ui i反映了在各状态量上反映了在各状态量上观察观察i i模式的相对幅值和相位。模

35、式的相对幅值和相位。u ukiki的模越的模越大，大，x xk k与与i i的关系越大，因而的关系越大，因而u ukiki反映了反映了x xk k对对i i的可观性的可观性。基于右特征向量的这一性。基于右特征向量的这一性质，我们可质，我们可直接根据与某振荡模式直接根据与某振荡模式i i相对相对应的振荡模态应的振荡模态( (右特征向量右特征向量u ui i) )，得出该振，得出该振荡模式荡模式i i反映的是那些机群之间的失稳模反映的是那些机群之间的失稳模式。式。 左特征向量的定义及物理含义左特征向量的定义及物理含义满足下式的向量（满足下式的向量（v vi i）称为）称为左特征向量左特征向量： v

36、 vi iT TA = vA = vi iT Ti i即即v vi i是是A AT T阵的同一特征值阵的同一特征值i i的右特征向量，并的右特征向量，并可根据此性质求出可根据此性质求出v vi i。设设V = V = ，同样有，同样有V V-1-1A AT TV = V = ，或，或 V VT TA(VA(V-1-1) )T T = = 。对照可得对照可得U U-1-1 = V = VT T，由此可知，由此可知左特征向量和右左特征向量和右特征向量满足以下关系特征向量满足以下关系 VT U = I n21 v vv故故 Z = U-1X = VTX = X 则第则第i i个方程为个方程为Zi =

37、 ViTX = TnT2T1vvvni2i1i v vvn21由上式可见，由上式可见，v vkiki的模越大，反映了的模越大，反映了x xk k的的微小变化可引起微小变化可引起Z Zi i的极大变化的极大变化，而，而Z Zi i为与为与模式模式i i对应的解耦状态量，因而对应的解耦状态量，因而v vkiki反映反映了了x xk k对对i i的的可控性可控性。 3.3.4 相关因子相关因子相关因子相关因子p pkiki是量度第是量度第k k个个状态量状态量x xk k与第与第i i个个特征值特征值i i相关性的物理量：相关性的物理量： iTikikikiuvuvp相关因子相关因子p pkiki是

38、一个反映是一个反映x xk k与与i i可控性可控性v vkiki和和可观性可观性u ukiki的综合指标。在实际应用中，相的综合指标。在实际应用中，相关因子关因子p pkiki对于对于PSSPSS装设地点选择装设地点选择有很大的有很大的指导意义，指导意义，p pkiki可强烈反映可强烈反映哪一台机的状态哪一台机的状态量与哪个振荡模式强相关量与哪个振荡模式强相关，从而可，从而可优先优先考考虑在此机上装设虑在此机上装设PSSPSS来抑制相应的振荡模式。来抑制相应的振荡模式。 3.3.5 机电回路相关比机电回路相关比特征值特征值i的的机电回路相关机电回路相关比比i定义为：定义为： i机电回路相关比

39、机电回路相关比i反映了特征值反映了特征值i与变量与变量、的相关程度的相关程度。在实际应用中，若对于某个。在实际应用中，若对于某个特征值特征值i，有，有kkxkixkipp i 1 i = ji = j2fi fi (0.22.5)Hz则认为则认为i i为为低频振荡模式低频振荡模式，即，即机电模式机电模式。ii3.3.6 阻尼比阻尼比 低频振荡低频振荡多出现在大区和跨大区电网并多出现在大区和跨大区电网并存在存在弱联系弱联系的系统中，这类失稳主要由的系统中，这类失稳主要由弱阻尼和负阻尼弱阻尼和负阻尼引起，系统阻尼强弱可引起，系统阻尼强弱可由若干个由若干个主导振荡模式主导振荡模式的的阻尼比阻尼比来判

40、别。来判别。设系统的全部特征值为：设系统的全部特征值为： i = ji （i =1,2,n ） i对应于对应于振荡频率振荡频率i i的的阻尼比阻尼比( (阻尼系阻尼系数数)i i定义为定义为：当当i i0.10.1时表明时表明系统阻尼较强系统阻尼较强；当当i i0.030.03时表明时表明系统阻尼较弱系统阻尼较弱；当当i0i0时表明时表明系统阻尼变负系统阻尼变负，将会出，将会出现增幅振荡。现增幅振荡。 2i2iii3.3.7 线性化频域响应线性化频域响应在正弦输入信号的作用下，系统输出的在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为稳态分量称为频率响应频率响应。系统频率响应。系统频率响应与正弦

41、输入信号之间的关系称为频率特与正弦输入信号之间的关系称为频率特性。性。若把输出的稳态响应和正弦输入信号用若把输出的稳态响应和正弦输入信号用复数表示，并求它们的复数比，可以复数表示，并求它们的复数比，可以得到：得到： G(j) = A() )(jeG(j) G(j) 即为频率特性，它反映了在即为频率特性，它反映了在正弦正弦输入信号输入信号作用下，系统稳态响应与输入作用下，系统稳态响应与输入正弦信号的关系；正弦信号的关系；A()A()是输出信号的幅是输出信号的幅值与输入信号的幅值之比，称为值与输入信号的幅值之比，称为幅频特幅频特性性，它是频率的函数，反映了系统对于，它是频率的函数，反映了系统对于不

42、同频率的正弦输入信号的不同频率的正弦输入信号的衰减衰减( (或放大或放大) )特性特性；()()是输出信号的相角与输入是输出信号的相角与输入信号的相角之差，称为信号的相角之差，称为相频特性相频特性，它表，它表示系统输出对于不同频率的正弦输入信示系统输出对于不同频率的正弦输入信号的相移特性。号的相移特性。在工程实际中，常把幅频特性在工程实际中，常把幅频特性A()A()画成对画成对数坐标图的形式，对数幅值表达式为数坐标图的形式，对数幅值表达式为10 lg = 10 lg 10 lg = 10 lg ，单位为分贝，单位为分贝(dB)(dB)，这种，这种对数坐标图对数坐标图又称为伯德又称为伯德(Bod

43、e)(Bode)图。图。G(j)G(j)可以分为可以分为实部和虚部实部和虚部，即，即 G(j) = X() + jY() G(j) = X() + jY() X() X()称为称为实频特性实频特性，Y()Y()称为称为虚频特性虚频特性。在在G(j)G(j)平面上，以横坐标表示平面上，以横坐标表示X()X()，纵，纵坐标表示坐标表示Y()Y()，绘制的频率特性图称为，绘制的频率特性图称为乃乃奎斯特图奎斯特图，又称为极坐标图。，又称为极坐标图。 )G(j)A(3.3.8 线性化时域响应线性化时域响应对系统外施一给定输入信号，其时间响对系统外施一给定输入信号，其时间响应称为应称为时域响应时域响应。可

44、以用线性化时域响。可以用线性化时域响应来评价系统的小干扰稳定性。应来评价系统的小干扰稳定性。PSASPPSASP小干扰线性化时域响应的输入信号小干扰线性化时域响应的输入信号为一为一脉冲函数脉冲函数，其幅值为，其幅值为1 1（标幺值），（标幺值），持续时间为三个计算（积分）步长。持续时间为三个计算（积分）步长。3.4 PSS抑制低频振荡的原理抑制低频振荡的原理电力系统中发电机经输电线并列运行时，在扰电力系统中发电机经输电线并列运行时，在扰动下会发生动下会发生发电机转子间的相对摇摆发电机转子间的相对摇摆，并在缺，并在缺乏阻尼时引起持续振荡。此时，输电线上功率乏阻尼时引起持续振荡。此时，输电线上功率

45、也会发生相应振荡。由于其振荡频率很低，一也会发生相应振荡。由于其振荡频率很低，一般为般为0.20.22.5Hz2.5Hz，故称为，故称为低频振荡低频振荡，又称，又称机电机电振荡振荡。电力系统低频振荡在国内外均有发生，。电力系统低频振荡在国内外均有发生，这种低频振荡常出现在这种低频振荡常出现在长距离、重负荷输电线长距离、重负荷输电线上，在采用上，在采用现代快速、高顶值倍数励磁系统现代快速、高顶值倍数励磁系统的的条件下更容易发生。当条件下更容易发生。当电机的负荷较重电机的负荷较重，并且，并且转子振荡时，调节器提供的附加励磁电流的相转子振荡时，调节器提供的附加励磁电流的相位，将落后于转子位置角度振荡

46、的相位，并产位，将落后于转子位置角度振荡的相位，并产生生负的阻尼转矩负的阻尼转矩，因而有使角振荡加大的趋势。，因而有使角振荡加大的趋势。为了解决这一问题，为了解决这一问题，加入电力系统稳定加入电力系统稳定器器PSSPSS是比较有效手段，它可以引入是比较有效手段，它可以引入正值正值阻尼转矩阻尼转矩去抵消电压调节器产生的负值去抵消电压调节器产生的负值阻尼转矩。阻尼转矩。由左图可以看到，如果励磁调节产生的由左图可以看到，如果励磁调节产生的附加附加励磁电流励磁电流的相位与的相位与转子角振荡转子角振荡的相的相位位一致或反相一致或反相，相当于，相当于产生产生正的同步转正的同步转矩或负的同步转矩矩或负的同步

47、转矩时，则时，则不能不能起到平息起到平息转子振荡的作用；但当励磁调节产生的转子振荡的作用；但当励磁调节产生的附加励磁电流在相位上附加励磁电流在相位上领先领先转子角振荡转子角振荡的相位，相当于产生的相位，相当于产生正的阻尼力矩正的阻尼力矩时，时，则能起到平息振荡的作用。图中附加励则能起到平息振荡的作用。图中附加励磁电流为磁电流为IfdsIfds，它与原来电压调节器，它与原来电压调节器产生的附加励磁电流产生的附加励磁电流IfdIfd的矢量和将为的矢量和将为IfdcIfdc，并领前于转子振荡角，并领前于转子振荡角，因，因而二者形成产生正阻尼转矩的综合效果，而二者形成产生正阻尼转矩的综合效果，从而能够

48、抑制低频振荡。从而能够抑制低频振荡。 综合上述模型和原理，为了全面准确地综合上述模型和原理，为了全面准确地研究小干扰稳定问题，我们选用研究小干扰稳定问题，我们选用多机系多机系统模型统模型，通过探讨系统小干扰状态在，通过探讨系统小干扰状态在发发电机转子绕组作用电机转子绕组作用下、下、励磁作用励磁作用下和下和投投入入PSSPSS作用作用下的稳定特性，来实现全系统下的稳定特性，来实现全系统最优化稳定。选用最优化稳定。选用QRQR法法对系统进行全维对系统进行全维特征计算分析，根据分析特征计算分析，根据分析特征根、相关特征根、相关因子、机电回路比等因子、机电回路比等结果，对结果，对PSSPSS进行参进行

49、参数整定和协调数整定和协调，结合时域分析和频域分，结合时域分析和频域分析观察析观察PSSPSS对低频振荡的抑制作用。对低频振荡的抑制作用。 电力系统分析综合程序电力系统分析综合程序是一套历史长久、是一套历史长久、功能强大、使用方便的电力系统分析程序，有功能强大、使用方便的电力系统分析程序，有着友好方便的图形操作环境。着友好方便的图形操作环境。PSASPPSASP基于电网基于电网基础数据库、固定模型库以及用户自定义模型基础数据库、固定模型库以及用户自定义模型库的支持，可进行电力系统库的支持，可进行电力系统( (输电、供电和配输电、供电和配电系统电系统) )的各种计算分析。它具有强大的模型的各种计

50、算分析。它具有强大的模型处理能力，可对任意处理能力，可对任意UDUD模型自动线性化形成其模型自动线性化形成其状态方程和输出方程，通过状态方程和输出方程，通过稀疏技术稀疏技术可实现对可实现对大型电力系统的小干扰稳定分析大型电力系统的小干扰稳定分析，并可进行，并可进行小小干扰时域干扰时域/ /频域分析频域分析，结果有多种输出方式：，结果有多种输出方式：特征值和特征向量报表，特征值分布及其模态特征值和特征向量报表，特征值分布及其模态图，在单线图上显示模态图，幅频特性、相频图，在单线图上显示模态图，幅频特性、相频特性和特性和NiquistNiquist曲线输出曲线输出等，可以帮助我们全等，可以帮助我们

51、全面分析系统小干扰稳定。面分析系统小干扰稳定。4.1 对简单多机系统的研究对简单多机系统的研究 将这些参数按类别依次输入将这些参数按类别依次输入PSASPPSASP的基础的基础数据库，作为分析的基础。所采用的有数据库，作为分析的基础。所采用的有发电机模型、母线模型、交流线模型、发电机模型、母线模型、交流线模型、两绕组变压器模型、负荷模型两绕组变压器模型、负荷模型等。其中，等。其中，同步发电机模型选用同步发电机模型选用六阶模型六阶模型（EqEq,Ed,Ed,Eq,Ed,Eq,Ed变化）。变化）。 4.1.1 系统潮流计算系统潮流计算系统的系统的潮流计算潮流计算是用于分析系统稳态运行是用于分析系统

52、稳态运行情况的一种计算，同时它也是计算小干扰情况的一种计算，同时它也是计算小干扰稳定的稳定的基础基础。我们通过进行系统的潮流计。我们通过进行系统的潮流计算，确定各算，确定各母线的电压母线的电压，各元件中流过的，各元件中流过的功率和系统的功率损耗功率和系统的功率损耗，对全网作一下大，对全网作一下大致的了解。致的了解。 4.1.2 系统小干扰稳定计算系统小干扰稳定计算分分不加励磁不加励磁、加加自动电压调节器自动电压调节器（AVRAVR）、）、加加PSSPSS 三个阶段进行计算分析，比较三个阶段进行计算分析，比较发电机转子发电机转子绕组、励磁系统和绕组、励磁系统和PSSPSS对低频振荡的影响。对低频

53、振荡的影响。 不加励磁设备下的小干扰稳定计算不加励磁设备下的小干扰稳定计算第一阶段第一阶段，我们对系统，我们对系统不加任何励磁设不加任何励磁设备备，根据潮流计算的结果，将各元件模，根据潮流计算的结果，将各元件模型在工作点处线性化，采用型在工作点处线性化，采用QRQR特征值特征值算算法计算法计算. .可以看出，计算结果中有可以看出，计算结果中有一正根一正根，说明，说明此时系统是此时系统是不稳定的不稳定的。此时系统有此时系统有四个振荡模式四个振荡模式。频率在。频率在0.20.22.5Hz2.5Hz之间的振荡模式有三个，而且它们之间的振荡模式有三个，而且它们的机电回路比都远大于的机电回路比都远大于1

54、 1，说明它们均为，说明它们均为低频振荡模式低频振荡模式，又称机电模式。，又称机电模式。 通过下面的通过下面的模态图模态图，我们判断振荡在何，我们判断振荡在何处发生。处发生。 分析模态图，可以知道频率为分析模态图，可以知道频率为0.4967Hz0.4967Hz的振荡模式为的振荡模式为区域间振荡模式区域间振荡模式，其振荡，其振荡发生在发生在区域区域1 1中的中的G1G1、G2G2和区域和区域2 2中的中的G3G3、G4G4之间之间； 频率为频率为0.9529Hz0.9529Hz的振的振荡模式为荡模式为区域区域内振荡模式内振荡模式，其其振荡发生在振荡发生在G1G1和和G2G2之间之间； 频率为频率

55、为0.9851Hz的振的振荡模式为荡模式为区域内区域内振荡模式振荡模式，其，其振振荡发生在荡发生在G3和和G4之间之间。 加入励磁器加入励磁器AVR的系统小干扰稳定计的系统小干扰稳定计算算 第二阶段第二阶段，我们在以上系统中加入了，我们在以上系统中加入了自自动电压调节器动电压调节器（AVRAVR）作为）作为励磁系统励磁系统，鉴，鉴于于PSASPPSASP软件的设定，我们将经典软件的设定，我们将经典AVRAVR的的参数输入参数输入1 1型调压器模型（它励的常规或型调压器模型（它励的常规或快速励磁系统及可控硅调节器）中。快速励磁系统及可控硅调节器）中。 由上表中可以看出，此时的振荡模式比由上表中可

56、以看出，此时的振荡模式比不加不加AVRAVR时要多，但其中时要多，但其中低频振荡模式只低频振荡模式只有三个有三个。分析上述特征值，可见分析上述特征值，可见区域内振荡模式区域内振荡模式的阻尼比都在的阻尼比都在AVRAVR的作用下有所增加的作用下有所增加，可，可是是区域间振荡模式的阻尼比在区域间振荡模式的阻尼比在AVRAVR的作用的作用下却变为负阻尼下却变为负阻尼。同时仍有正实部的特。同时仍有正实部的特征值存在，故征值存在，故系统依然不稳定系统依然不稳定，这在时，这在时域响应中表现得十分明显。域响应中表现得十分明显。 G1G1的线性化时域的线性化时域响应计算结果，响应计算结果，其输入为其输入为Et

57、Et，输，输出为出为。可以明。可以明显看到，随着时显看到，随着时间的增加，呈增间的增加，呈增幅振荡，系统不幅振荡，系统不稳定。稳定。 若减小若减小AVRAVR的放大的放大倍数和增加时间倍数和增加时间常数常数, ,则时域响应则时域响应结果如图（结果如图（b b）。）。比较两图可见，比较两图可见，快速、高放大倍快速、高放大倍数的励磁系统易数的励磁系统易引起振荡失稳。引起振荡失稳。 投入投入PSS的系统小干扰稳定计算的系统小干扰稳定计算 第三阶段第三阶段，我们在上述不稳定系统的基，我们在上述不稳定系统的基础上引入电力系统稳定器础上引入电力系统稳定器PSS PSS ，将每台，将每台发电机上都配置发电机

58、上都配置PSSPSS，采用同时迭代法，采用同时迭代法，则计算的结果如图则计算的结果如图 显然，系统在引入显然，系统在引入PSSPSS后，后，低频振荡得到低频振荡得到了抑制了抑制。观察此时。观察此时系统特征值的分布系统特征值的分布情情况：况：左图中特征值均位于左半平面，表明此左图中特征值均位于左半平面，表明此时系统是稳定的。时系统是稳定的。右图为只加右图为只加AVRAVR时的系统特征值图，将两时的系统特征值图，将两图进行比较：可以看到，图进行比较：可以看到，PSSPSS的投入使得的投入使得系统特征值左移，从而提高了系统小干系统特征值左移，从而提高了系统小干扰稳定程度，有效抑制了低频振荡。扰稳定程

59、度，有效抑制了低频振荡。 从时域响应上也很明显看到，振荡在从时域响应上也很明显看到，振荡在PSSPSS的作用下逐渐平息了，系统随时间增长的作用下逐渐平息了，系统随时间增长趋于稳态。从频域响应上计算，得到幅趋于稳态。从频域响应上计算，得到幅频、相频曲线如下：频、相频曲线如下：由特性曲线图可以看到，在主导振荡模由特性曲线图可以看到，在主导振荡模式（式（=3.6=3.6）附近，）附近，PSSPSS产生的是产生的是正阻尼正阻尼力矩力矩，从而抑制了低频振荡模式。，从而抑制了低频振荡模式。 随后我们改变随后我们改变KK（PSSPSS的转速偏差放大的转速偏差放大倍数），倍数），观察不同观察不同KK下的下的P

60、SSPSS对系统小对系统小干扰稳定的作用：取干扰稳定的作用：取K= 1K= 1，K= 200K= 200，K= 1000K= 1000，计算得到：，计算得到： 通过比较以上三个特征值分布图，可以通过比较以上三个特征值分布图，可以很清楚的看到很清楚的看到系统的特征值随着系统的特征值随着KK的增的增加而在平面上向左移动加而在平面上向左移动，使系统越来越，使系统越来越稳定。但是当稳定。但是当K= 1K= 1时，系统仍然不稳时，系统仍然不稳定，同时当定，同时当K 4970K 4970时，时，PSSPSS不再起作不再起作用，系统失稳。由此可知，用，系统失稳。由此可知，PSSPSS只在一定只在一定的的KK