第四章_Z变换

1、第4章 离散信号与系统电气学院 李津蓉4.1 Z变换 一、Z变换的导出抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换离散信号的离散信号的z变换变换)()()(sttxtxT ( )()() ()nnx ttnTx nTstnTs对对 取拉氏变换取拉氏变换)(stxss( )( )()()nXsL xtLx nTstnTs( () )txsOtTs( () ) ( () )nTstnTsx On( ( ) )nx1 24.1 Z变换( )s()essnTsnXsx nTsj 为为连连续续变变量量，引引入入复复变变量量 e sTz ( () )( ( ) )nxnTx表示为表示为，将，将)()(| )(es

2、zXznxsXnnzsT )(nx)(txs 0)()(nnznxzX)(nx4.1 Z变换 二、Z变换的收敛域)(zX nnznx|)(|)(zX4.1 Z变换及其收敛域21),(NnNnx |0z nNnx1)(1|Rz Re(z)jIm(z)4.1 Z变换及其收敛域2)(Nnnx 2|0Rz nnx)(21|RzR Re(z)jIm(z)Re(z)jIm(z)4.1 Z变换 0 001)(nnn zznzXnn1)()(nO)(n 1 0001)(nnnu1111)(1321 zzzzzzzXnO)(nu112 31z极点极点1，零点，零点04.1 Z变换及其收敛域)()(nuanxn

3、( () )( ( ) )nun0cos az ( ( ) ) 0nnnzazXazzaz 111( () )( ( ) )nun0sin ( () )( ( ) ) ( () )1cos2coscos0200 zzzznunZ( () )( ( ) ) 1cos2sinsin 0200 zzznunZ4.2 Z反变换nknkmrmrzazazazaazbzbzbzbbzDzNzX 112210112210)()()(mn)azz )(),(1nuaazznn zzX)(iizzA zzX)(NNzzAzzAzzAzAzzX 22110)(的的系系数数极极点点0 000 zabA处处的的留留数

4、数在在极极点点iz X(z)()(izziizzXzzA NriiirrzzAzAzzBzzBzzBzzX10121211)()()()(1)()(dd)!(1 1zzrjrjrjzzXzzzjrB)()()()()(11nrrzzzzzzzNzX 4.2 Z反变换 210)2()1()0(zxzxzx( ( ) )( ( ) ) 0nnznxzX( ( ) )nx级数的系数就是序列级数的系数就是序列1|,)1()(2 zzzzX4.3 Z变换的性质()()(),min(),max( )()()()( )()( )()( 22112121yxyxyyxxRRzRRzbYzaXnbynaxZRz

5、RzYnyZRzRzXnxZ则若 )()(zXzmnxZm 二位移性1.1.双边双边z变换变换处处收收敛敛域域：只只会会影影响响 zz,0nO)(nx4nO)2( nx4nO)2( nx411 211 211 2 2.2.单边单边z z变换变换 10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ左左移移： 1)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ右移：右移：nO( ( ) )nunx)(4n)()2(nunx 4n)()2(nunx 411 O 11 O11 )()()(zXnunxZ ：)()()(zXznumnxZm zzXznnxzXnxZd)(d)( )()( 则则若若)(

6、)( zXdzdznxnmm ( () )为非零常数为非零常数则则若若aRazRazXnxaRzRzXnxZxxnxx 2121)( )()( ( ( ) )( ( ) ) )(lim)0( )(zXxnxZzXnxz ，则则为为单单边边序序列列，若若( ( ) )( ( ) ) )()1(lim)(lim )(1zXznxnxZzXnxzn 则则，为为单单边边序序列列，若若例题2 zz2 z1 zz1 z( ( ) )n2( ( ) )n1( () )n5 . 05 . 0 zz5 . 0 z( ( ) )nx n终值终值( ( ) )zXROC无无有，有，1有，有，0( )nu n1z 无

7、无2(1)zz ( () ) ( () ) )()()(*)( )()( )()( 2121zHzXnhnxZRzRnhZzHRzRnxZzXhhxx 则则已已知知),min(),max(2211hxhxRRzRR 收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分即即4.4 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 1z平面与平面与s平面的映射关系平面的映射关系(j)jeeesssssTTTTze esTzsT 1s平面z平面-10左半平面映射于z平面的单位圆内虚轴映射于z平面的单位圆上右半平面映射于z平面的单位圆外esTzs平面0aa1z平面-1a=a02 /sT0sT

8、 4.4 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 结论：()()()(sXtxLetxFt当s=j时，x(t)的拉氏变换即为傅氏变换( )()( ( )( )SnL x ttnTZ x nX z(j)jeeesssssTTTTze 当不变时，变量z在半径为 的圆周上移动当=0时，X(z)即为x(t)的理想抽样信号的傅氏变换esT 4.5 离散系统的时域分析与系统函数 LTI离散系统 离散系统的数学描述差分方程（N阶）离散系统离散系统x(n)y(n)MjjNiijnxbinya00)()(4.5 离散系统的时域分析与系统函数 离散系统的图形描述4.5 离散系统的时域分析与系统函数 例：列出系统差

9、分方程4.5 离散系统的时域分析与系统函数 差分方程的经典解法（差分方程的经典解法（齐次解齐次解 + 特解）特解）MjjNiijnxbinya00)()( )( )( )cy ny nB n 一、齐次解（令激励部分为一、齐次解（令激励部分为0）kAky)(假设：假设：0()0Niia y ni01110NNNNaaaa特征方程特征方程 ：求特征根：求特征根：N,21 特征根无重根：特征根无重根：nNNnncAAAny2211)( 特征根有重根：特征根有重根：112111( )()KncKnnKKNNy nAA nA nAA 【例【例 4-10】 求以下差分方程的齐次解形式。求以下差分方程的齐次

10、解形式。)()3(12)2(16) 1(7)(nxnynynyny 二、特解二、特解：( )( )( )cy ny nB n) 1()()2(2) 1(3)(nxnxnynyny2)(nnx1) 1(y1)0(y【例【例4-12】 求解差分方程，其中激励函数，且已知4.5.3 z变换法离散系统离散系统x(n)y(n)开始作用于系开始作用于系统的时间通常统的时间通常设定为设定为n=0其数值形式取决于两方面：其数值形式取决于两方面：x(n)和系统的初始状态和系统的初始状态y(-1), y(-2)根据系统的线性特性：根据系统的线性特性：)()()(nynynyzszi没有外加激励信号的作用，只没有外

11、加激励信号的作用，只由起始状态（由起始状态（n=-1,-2,时刻的时刻的系统输出）所产生的响应系统输出）所产生的响应起始状态等于零，由起始状态等于零，由系统的外加激励信号系统的外加激励信号产生的响应产生的响应4.5.3 z变换法 z变换法解差分方程：变换法解差分方程： 分别计算分别计算零状态响应零状态响应和和零输入响应零输入响应的的Z变换变换 再通过再通过z反变换得到反变换得到零状态响应零状态响应和和零输入响应零输入响应 系统响应系统响应)()()(nynynyzsziNiiiNiilliizizazlyzazY001)()(00( )( )MjjjzsNiiib zYzX za z响应仅与系

12、统的初始响应仅与系统的初始状态状态y(-1), y(-2)有关有关响应仅与系统的响应仅与系统的输入输入x(n)有关有关系统函数系统函数H(z)，与差分方程对应，与差分方程对应，描述系统的结构特性。描述系统的结构特性。实际上是系统零状态下的实际上是系统零状态下的单位冲激响应单位冲激响应的的Z变换变换( )6 (1)8 (2)( )y ny ny nx n( )2( )nx nu n( 1)0y ( 2)1y 【例【例4-13】 求解差分方程，其中激励函数，且已知4.5.4 系统函数H(z) 1.H(z)的定义：的定义： 系统零状态响应的系统零状态响应的z变换与系统输入的变换与系统输入的z变换之变

13、换之比比 单位冲激序列的响应单位冲激序列的响应h(n)的的z变换变换 2.H(z)的性质：是的性质：是z域上系统输出与输入之域上系统输出与输入之比，只与系统结构有关，与系统的输入输比，只与系统结构有关，与系统的输入输出无关出无关 3.H(z)与差分方程的对应关系，由系统的差与差分方程的对应关系，由系统的差分方程可直接列出分方程可直接列出H(z)形式形式例题( )x n( )(1)(2)( )y nay nby ncx n【例4-14】 若系统处于零状态，且输入信号为因果信号，求下列差分方程所描述的离散系统的系统函数。当3,2,1abc 时，求系统的单位脉冲响应。1( )( )3nx nu n

14、1( )3( 1)( )( )3nny nu nu n( )H z【例4-16】 根据系统的输入和输出来求系统描述的问题称为系统识别。已知当一个离散线性时不变系统的输入为，其输出为，求该系统的系统函数和单位脉冲响应h(n)。 4.5.5 离散系统的稳定性 系统稳定性定义：输入信号有界（系统稳定性定义：输入信号有界（x(n)），输），输出信号也必定有界（出信号也必定有界（y(n)） 051015200240510152000.51系统系统稳定系统稳定系统05101520-200200510152000.51系统系统不稳定系统不稳定系统4.5.5 离散系统的稳定性 系统稳定的充要条件系统稳定的充要

15、条件kkh)(系统系统0(n)0510152000.51h(n)4.5.5 离散系统的稳定性-1-1-111( )( )( )( )1-NNniiiiiiAh nZH zZA Pu nPz 由系统函数由系统函数H(z)判断系统的稳定性判断系统的稳定性h(n)是一系列指数序列的累加和，若要是一系列指数序列的累加和，若要h(n)收敛，则要求累收敛，则要求累加式中的每个指数序列加式中的每个指数序列Ai(Pi)n均为收敛序列，即均为收敛序列，即|Pi|1系统是稳定的系统是稳定的H(z)的所有极的所有极点均在点均在z平面平面的单位圆之内的单位圆之内0RezjImz|z|=1024681012-1-0.5

16、00.51nh(n)0Rez|z|=10246810120102030405060nh(n)jImz0Rez|z|=1jImz02468101200.20.40.60.81nh(n)单位圆内单位圆内的极点的极点单位圆外单位圆外的极点的极点单位圆上单位圆上的极点的极点Ai(Pi)n 例：判断系统稳定性： )() 1()(nxnyny6 ( )(1)(2)( )y ny ny nx n4.6 离散信号与频域分析 1.序列的离散时间傅立叶变换序列的离散时间傅立叶变换DTFT 定义：定义： 存在条件：存在条件：X(z)的收敛域包含单位圆，的收敛域包含单位圆，推论：对于右边序列推论：对于右边序列x(n)

17、u(n),其其Z变换变换 X(z)的极点的极点均小于均小于1nnznxnxZzX)()()(令变量令变量z仅在单位圆仅在单位圆|z|=1上变化上变化 jez()( ( )( )jj nnX eDTFT x nx n e 1( )()()2jjjnx nIDTFT X eX eed4.6 离散信号与频域分析 1.序列的离散时间傅序列的离散时间傅立叶变换立叶变换 特性()()( ( )( )()jj nnjjX eDTFT x nx n eX ee Z平面()()jjX eX e ( )() T=2的周期函数的周期函数 【例【例4-17】 求指数序列 的傅立叶变换。 ( )( ),1nx na u

18、 na01(),11jnj njnX ea eaae ()1122222211()(1cos)sin12 cosjX eaaaa sin( )arctan1cosaa 2.DTFT的性质（自学）的性质（自学） 与z变换性质相同，令变量jez3.系统频率响应与系统零极点的关系 系统频率响应：系统频率响应：()()()jjjY eH eX e()()()jjjY eH eX earg()arg()arg()jjjY eH eX e3.系统频率响应与系统零极点的关系 系统频率响应的幅值特性与系统零极点的关系 当ej越接近于零点zj，则 越小 当ej越接近于零点zj，则 越大00()( )()MjjNiizZH zzP00()()()MjjjjNjiieZH eePjez)(jeH)(jeH【例【例 4-18】 已知某离散系统的系统函数，画出该系统的幅度响应的图形。)9 . 01)(9 . 01 (1)(11144zezezzHjj)(jeHMatlab