第五节空间曲线

1、 第八章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第五节空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组:0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S 特点： 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.例如例如,方程组632122zxyx表示怎样的曲线？ xzy1oC2221xyz 表示母线平行于 轴的圆柱面236,xz 表示一个平面221 .236xyxz表示

2、了平面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C. 022222xayxyxazyxzao222()24aaxy又如又如,方程组再如再如 曲线曲线 1)1(1222222zyxzyx表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？xyzxyzxyz 214322zyx化简：化简：二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程称它为空间曲线的参数方程.)(txx )(tyy )(tzz xyzoL),(zyxM 当给定t 时，就得到曲线上的一个点；随着参数的变化，可得到曲线上全部的点。将曲线C上的动点M坐标x, y, z表示成参数t 的函数:vbt,令,2 时当bh2taxcostaysin t vz 上升高度例

3、例 1 如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中、都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.解：取时间t为参数，动点从A点出发，经过t，运动到M点，M点在xoy面上的投影为M MM t xyzoAbzayaxsincos称为螺距螺距 .6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)2

4、0( t例例2. 将下列曲线化为参数方程表示:)(tx)(ty)(tz)(t绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解解:,)(, )(, )(1tttM任取点点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 , ),(zyxM则cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例例3. 求空间曲线 :1xty tz2绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋转曲面方程为4)(4222zyxxzoy例如例如, 直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 sinax 0ycosaz cossina

5、x sinsinay cosaz )0(200说明说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 又如又如, xoz 面上的半圆周 0),(0),(zyxGzyxFL消去变量z后得：）（10),( yxH曲线关于 的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：以此空间曲线L为准线，母线垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：注意：曲线L上的所有点都在该柱面上。 投影柱面与xoy面的交线称为曲线L在xoy面上的投投影曲线影曲线，简称投影投影。三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影zyxCC消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲

6、线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC设空间曲线 C 的一般方程为如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面（2）确定投影柱面与 xoy 面的交线 00),(zyxH在 xoy 面上的投影曲线方程的一般步骤 0),(0),(zyxGzyxFL（1）消去变量z后得 xoy 面上的投影柱面：）（10),( yxH求空间曲线：即为所求投影曲线的方程zyxC1o002222zyyx1

7、) 1() 1(1:222222zyxzyxC解: 先求两方程消去z而得的母线平行于z轴 的交线C，关于xOy面的投影柱面方程为：022 22yyx故xoy 面上的投影曲线方程为例如例如, ,在xoy 面上的投影曲线方程为例例4 4 求曲线 在坐标面上的投影. 211222zzyx例例4 4 求曲线 在坐标面上的投影. 211222zzyx解解 （1）消去变量z后得,4322 yx在 面上的投影为xoy,04322 zyxxyzo例例4 4 求曲线 在坐标面上的投影. 211222zzyx解解xyzo（2）因为曲线在平面 上，21 z所以在 yoz 面上的投影为线段.,021 xz23| y（

8、3）同理在 xoz 面上的投 影也为线段.23|,021 xyz截线方程为2220yzxxyz解解,004522 zxxyyx,0042522 yxxzzx截线方程为2220yzxxyz解解.00222 xzyzy四、空间曲面或立体在坐标面上的投影四、空间曲面或立体在坐标面上的投影. . M),(zyx M )0 ,(yxSDxyzo称区域称区域 D 为为空间曲面空间曲面 S在在 xoy 面上面上的投影。的投影。上述概念可推广到空间立体在坐标面上投影的情形上述概念可推广到空间立体在坐标面上投影的情形. .补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体空间立体曲面曲面例例6解解半球面和锥面的交

9、线为, )(3,4:2222yxzyxzC面上的投影为在则交线xoyC . 0, 122zyx面上的投影为所求立体在 xoy. 122 yx.,)(322面上的投影求它在锥面所围成xoyyxz和由上半球面设一个立体224,yxzzxyo1C空间曲线的一般方程、参数方程四、小结空间曲线在坐标面上的投影( , , )0( , , )0F x y zG x y z( )( )( )xx tyy tzz t( , )00H x yz( , )00R y zx( , )00T x zy22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx备用题备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 1zyx解：解：旋转曲面方