第六章 离散时间系统结构

1、第六章第六章 离散时间系统结构离散时间系统结构Structures for Discrete-Time Systems6.0 引言引言有理系统函数的有理系统函数的LTI 线性常系数差分方程线性常系数差分方程系统函数系统函数 单位脉冲响应单位脉冲响应 （z变换）变换）差分方程、单位脉冲响应、系统函数差分方程、单位脉冲响应、系统函数 LTI （等效表征）（等效表征）系统系统 离散时间模拟，数字硬件离散时间模拟，数字硬件实现实现：差分方程（系统函数）差分方程（系统函数）转换转换 算法算法 或或 结构结构 （根据具体的技术）（根据具体的技术）结构：结构：加法、乘以常数加法、乘以常数和和延迟延迟 基本运

2、算的互联组成基本运算的互联组成如系统：如系统：单位脉冲响应：单位脉冲响应：输入输出的差分方程：输入输出的差分方程：为无限长序列为无限长序列-101-1+( )=,1-bb zH zzaaz-101 -1nnh nb a u nba u n01 - -1 -1y n ay nb x nb x n可重写为：可重写为：表示：表示：yn 前一个输出前一个输出yn-1，当前输入，当前输入xn，前一个输入，前一个输入 xn-1递推计算递推计算若若 xn = 0，n0，则，则yn = 0， n0 - 线性时不变系统线性时不变系统递推算法递推算法 N阶差分方程阶差分方程但这种递推的算法不是但这种递推的算法不是

3、系统实现系统实现的的唯一运算算法唯一运算算法（一种最不可取的算法）（一种最不可取的算法）事实上事实上xn与与 yn之间的运算结构之间的运算结构 - 无穷种无穷种理论上：系统实现的各种运算结构的结果相同理论上：系统实现的各种运算结构的结果相同实际上（数值精度，运算速度，内存容量、误差等）：实际上（数值精度，运算速度，内存容量、误差等）：性能差别很大性能差别很大 研究不同实现结构的意义研究不同实现结构的意义 01 -1+ -1y nay nb x nb x n6.1 线性常系数差分方程的方框图表示（线性常系数差分方程的方框图表示（block diagram）实现实现LTI系统（算法结构）的基本单元

4、：系统（算法结构）的基本单元：加法器、乘法器、延迟存储器（延迟器）加法器、乘法器、延迟存储器（延迟器）基本符号（方框图）：基本符号（方框图）：加法器加法器 乘法器乘法器 （单位）延迟器（单位）延迟器z-M 通常用通常用M个单位延迟来实现个单位延迟来实现各个基本单元的具体实现：软件，硬件各个基本单元的具体实现：软件，硬件例例6.1 一个差分方程的方框图表示一个差分方程的方框图表示二阶差分方程：二阶差分方程：系统函数：系统函数：根据差分方程可以画出系统的方框图：根据差分方程可以画出系统的方框图：表现出：算法的复杂性表现出：算法的复杂性 算法的步骤算法的步骤 硬件数量（存储器等）硬件数量（存储器等）

5、120 -1+ -2+ y na y na y nb x n0-1-212( )=1-bH za za z推广到一般形式的差分方程（高阶）：推广到一般形式的差分方程（高阶）：前面的表示形式前面的表示形式(a0 = 1)：系统函数：系统函数：将差分方程改写为：将差分方程改写为：10 - = - NMkkkky na y n kb x n k00 - = - NMkkkka y n kb x n k10 - + - NMkkkky na y n kb x n k01( )1MkkkNkkkb zH za z可以用两个差分方程来表示：可以用两个差分方程来表示：一种方框图结构可以以不同的方式表示而不改

6、变总的系统函数。一种方框图结构可以以不同的方式表示而不改变总的系统函数。不同的方框图不同的方框图 实现同一系统的不同运算算法实现同一系统的不同运算算法上述的方框图上述的方框图 - 两个系统的级联两个系统的级联第一个系统：由第一个系统：由xn vn第二个系统：第二个系统：由由v n yn两个级联的系统顺序交换两个级联的系统顺序交换 - 不改变总的系统不改变总的系统1 - + Nkky na y n kv n0 - Mkkv nb x n k用系统函数表示：用系统函数表示：可等效为一对方程：可等效为一对方程：-21011( )( )( )1MkkNkkkkH zHz H zb za z-10( )

7、( )( )( )MkkkV zH z X zb zX z211( )( ) ( )( )1NkkkY zHz V zV za z21( )( )( )( )( )( )Y zH z X zHz H z X z两个级联系统交换顺序：两个级联系统交换顺序：等效为：等效为：-12011( )( )( )1MkkNkkkkH zH z Hzb za z-10( )( )( )( )MkkkY zH z W zb zW z211( )( )( )( )1NkkkW zHz X zX za z相应的时域差分方程表示：相应的时域差分方程表示：两者结构（级联互换）的差别：两者结构（级联互换）的差别： （1）

8、H1(z)表示表示H (z)的零点；的零点； H2(z)表示表示H (z)的极点，实现零极点的极点，实现零极点的顺序不同的顺序不同 - 对实际有限精度运算产生的误差等不同对实际有限精度运算产生的误差等不同 （2）延迟单元数量的不同，第二种结构可以将延迟器进行合并）延迟单元数量的不同，第二种结构可以将延迟器进行合并可以减少将近一半的延迟器数量可以减少将近一半的延迟器数量 （具有最少延迟器数量）（具有最少延迟器数量）称为称为规范型规范型实现或实现或直接直接 型型（canonic form or direct form ）第一种类型称为：第一种类型称为：直接直接I 型型（direct form I）

9、直接直接I 型可以用差分方程直接画出型可以用差分方程直接画出1 - + Nkkw na w n kx n0 - Mkky nb w n k假定假定M = N不相等情况：某些系数为零不相等情况：某些系数为零直接直接型型例例6.2 一个一个LTI系统的直接系统的直接I型和直接型和直接II型实现型实现系统函数：系统函数： 比较：比较：得得b0=1, b1=2, a1=1.5和和a2=-0.9参照标准的直接参照标准的直接I型和型和II型方框图画出其直接型方框图画出其直接I型和型和II型方框图：型方框图：直接直接I型型 直接直接II型型记住：方框图中反馈系数记住：方框图中反馈系数ak的符号（差分方程）与

10、系统函数表示式的符号（差分方程）与系统函数表示式中相反。中相反。01( )1MkkkNkkkb zH za z6.2 线性常系数差分方程的信号流图表示（线性常系数差分方程的信号流图表示（flow graph）信号流图信号流图 与与 方框图方框图 基本相同（除几个符号外）基本相同（除几个符号外）信号流图组成：节点（变量），信号流图组成：节点（变量）， 支路（两个节点之间的通路，方向箭头）支路（两个节点之间的通路，方向箭头） 具有一个输入，一个输出具有一个输入，一个输出 输出表示对输入的一个线性变换输出表示对输入的一个线性变换如图：如图：源节点（源节点（source nodes）：没有流进支路的节

11、点，表示外部输入）：没有流进支路的节点，表示外部输入汇节点（汇节点（sink nodes）: 仅有流进支路的节点，表示输出仅有流进支路的节点，表示输出例：例：可以写出其线性方程：可以写出其线性方程：差分方程差分方程 信号流图信号流图节点（变量）节点（变量）- 序列序列支路增益支路增益 - 乘法器（包括单位增益），延迟器（增益为乘法器（包括单位增益），延迟器（增益为z-1） 也称延迟支路也称延迟支路系统函数系统函数 的方框图和响应的信号流图的方框图和响应的信号流图最终的信号流图：最终的信号流图：所代表的方程：所代表的方程：节点既代表分支点又代表加法器节点既代表分支点又代表加法器信号流图简单，流图

12、理论直接应用信号流图简单，流图理论直接应用信号流图信号流图 差分方程组；每个方程差分方程组；每个方程 每个节点（列出）每个节点（列出）上式也可简化为三个节点（其中一个源节点，一个汇节点）上式也可简化为三个节点（其中一个源节点，一个汇节点）表示的方程：表示的方程：例例6.3 从一个流图确定系统函数从一个流图确定系统函数信号流图：信号流图：非直接型，不能直接写出系统函数非直接型，不能直接写出系统函数写出方程组：写出方程组：对方程组作对方程组作z变换：变换：最终可得：最终可得：系统函数和单位脉冲响应分别为：系统函数和单位脉冲响应分别为：直接直接I型的流图：型的流图：表示：表示：z变换求解的方便性；不

13、同流图对应不同计算资源和算法变换求解的方便性；不同流图对应不同计算资源和算法6.3 IIR系统的基本结构系统的基本结构有理系统函数有理系统函数 各种各样等效差分方程各种各样等效差分方程 或或 网络结构网络结构不同网络结构的选择：计算的复杂性，占用资源，速度，误差等不同网络结构的选择：计算的复杂性，占用资源，速度，误差等6.3.1 直接型直接型IIR系统的输入输出差分方程：系统的输入输出差分方程：有理系统函数：有理系统函数：01( )1MkkkNkkkb zH za z10 - = - NMkkkky na y n kb x n k直接直接I型的信号流图表示（由相应方框图得到）型的信号流图表示（

14、由相应方框图得到）假定假定M = N每个节点的输入不多于两个每个节点的输入不多于两个直接直接II型的信号流图表示（由相应方框图得到）型的信号流图表示（由相应方框图得到）例例6.4 IIR系统的直接系统的直接I型和直接型和直接II型结构型结构系统函数：系统函数：直接参照标准形式，得到：直接参照标准形式，得到： 直接直接I型结构型结构 直接直接II型结构型结构直接型结构的特点：直接型结构的特点：优点优点- 结构简单，结构简单，II型结构用的延迟器最少，因而所需的延迟型结构用的延迟器最少，因而所需的延迟 寄存器或内存容量最少。寄存器或内存容量最少。缺点缺点- 任何一个系数任何一个系数 ak变化变化

15、全部极点位置改变全部极点位置改变 频率响应改变频率响应改变bk变化变化 全部零点位置改变全部零点位置改变 频率响应改变频率响应改变（1）通过改变）通过改变ak 或或bk来调整系统性能很困难来调整系统性能很困难（2） ak 或或bk的量化误差使系统的特性产生很大的改变的量化误差使系统的特性产生很大的改变直接型结构一般用于实现低价系统直接型结构一般用于实现低价系统 - 二阶系统二阶系统6.3.2 级联型级联型(cascade form)将系统函数改写为：将系统函数改写为：式中，零点个数：式中，零点个数：M = M1+2M2极点个数：极点个数：N = N1+2N2一阶因子：实零极点一阶因子：实零极点

16、二阶因子：复共轭零极点二阶因子：复共轭零极点特点：零极点形式，各子系统级联自由度大。特点：零极点形式，各子系统级联自由度大。实际的要求：具有最小存储和计算的子系统级联实际的要求：具有最小存储和计算的子系统级联一种实用的标准结构：一对实因子和一对复共轭因子一种实用的标准结构：一对实因子和一对复共轭因子二阶因子二阶因子12121111111111111( )111kkMMkkkkNNkkkkf zg zg zH zAc zd zd z由这样的二阶因子表示的系统函数形式为：由这样的二阶因子表示的系统函数形式为：假定假定M N, 并并NS=(N+1)/2是不大于是不大于(N+1)/2的最大整数的最大整

17、数对于系统具有奇数的零极点，式中某个对于系统具有奇数的零极点，式中某个a2k或或b2k为零。为零。每个二阶节采用直接每个二阶节采用直接II型实现。型实现。其一般差分方程的形式：其一般差分方程的形式：1201212112( )1sNkkkkkkbb zb zH za za z012012 -1+ -2+ ,=1,2,., + -1+ -2,=1,2,., .skkkkkkskkkkkkksNy nx nw na w na w ny nkNy nb w nb w nb w nkNy nyn例：一个六阶系统的级联结构例：一个六阶系统的级联结构结构的种类：结构的种类：零极点的不同配对（零极点的不同配对

18、（NS!种种）二阶节的不同顺序（二阶节的不同顺序（NS!种种）共：共： (NS!)2种种级联系统的另一种定义：级联系统的另一种定义：（四乘法器二阶结构）（四乘法器二阶结构）级联型结构的特点：级联型结构的特点：（1）每个基本节对应于一对零点和一对极点。）每个基本节对应于一对零点和一对极点。b0k , b1k , b2k , a1k , a2k - 决定（影响）第决定（影响）第k对零极点对零极点不影响其它的零极点，便于系统性能的调整不影响其它的零极点，便于系统性能的调整（2）每个基本节配对的种类多，系统实现时灵活性大）每个基本节配对的种类多，系统实现时灵活性大（3）每个基本节结构相同，又是先后顺序

19、实现运算，可用一个基）每个基本节结构相同，又是先后顺序实现运算，可用一个基本节进行分时复用，只需很少资源本节进行分时复用，只需很少资源（4）速度不能达到最快，误差有积累）速度不能达到最快，误差有积累12120121121( )1sNkkkkkb zb zH zba za z6.3.3 并联型（并联型（parallel form）将系统函数将系统函数写成另一种形式：写成另一种形式：极点型（零点非显式）极点型（零点非显式）系统的极点数系统的极点数N = N1+N2，如果，如果M N, Np = M-N，否则无第一项否则无第一项将实极点对组合起来，系统函数可表示为：将实极点对组合起来，系统函数可表示

20、为：01( )1MkkkNkkkb zH za z121111011(1)( )1(1)(1)pNNNkkkkkkkkkkkABe zH zC zc zd zd z101120112( )1psNNkkkkkkkkee zH zC za za z 一个典型例子一个典型例子 M = N = 6 其一般差分方程的形式：其一般差分方程的形式：例例6.6 IIR系统的并联型结构系统的并联型结构系统函数：系统函数：二阶节并联型二阶节并联型1201=0=1 -1+ -2+ ,=1,2,., + -1,=1,2,., - + .pskkkkkskkkkksNNkkkkw na w na w nx nkNy

21、ne w ne w nkNy nC x n ky n二阶节并联型二阶节并联型也可用一阶节并联型也可用一阶节并联型并联型结构的特点：并联型结构的特点：（1）每个基本节对应于一对极点。）每个基本节对应于一对极点。 a1k , a2k - 决定（影响）第决定（影响）第k对极点对极点（2）能够单独调整系统极点的位置，但不能单独调整零点位置）能够单独调整系统极点的位置，但不能单独调整零点位置（3）各基本节并联连接，运算速度快）各基本节并联连接，运算速度快（4）各基本节运算误差互不影响，误差没有积累）各基本节运算误差互不影响，误差没有积累6.3.4 IIR系统中的反馈系统中的反馈反馈（回路）反馈（回路）-

22、 闭合路径：闭合路径：回路内某一节点变量直接或间接地决定于自身。回路内某一节点变量直接或间接地决定于自身。如图如图:差分方程：差分方程：无限长脉冲响应无限长脉冲响应- 回路必需（不是充分）回路必需（不是充分）无反馈回路：无反馈回路：输入到输出只经过每个延迟单元一次。输入到输出只经过每个延迟单元一次。最长延迟最长延迟 - 通过全部延迟单元的路径通过全部延迟单元的路径 hn长度长度系统函数仅有零点（原点极点外），零点个数系统函数仅有零点（原点极点外），零点个数延迟单元数延迟单元数FIR系统系统图：图：输入单位样本序列，乘以常数输入单位样本序列，乘以常数a持续不断循环持续不断循环单位脉冲响应：单位脉

23、冲响应：hn = anun. - 反馈产生无限长反馈产生无限长hn若系统有极点若系统有极点 必有反馈回路必有反馈回路 无限长无限长hn IIR系统系统有反馈回路有反馈回路 - hn有限长有限长 （非充分性）（非充分性）- 零极点互相抵消零极点互相抵消如图：如图：系统函数：系统函数：脉冲响应：脉冲响应：系统：频率采样系统（系统：频率采样系统（frequency-sampling systems）FIR系统中的一种系统中的一种网络结构中的网络结构中的不可计算不可计算情况：情况：差分方程：差分方程：不可计算不可计算 不等于不等于 方程不能解方程不能解流图可计算性的关键：全部回路必须至少包含一个单位延

24、迟单元流图可计算性的关键：全部回路必须至少包含一个单位延迟单元用流图表示用流图表示LTI系统的实现时：不要造成无延迟的回路系统的实现时：不要造成无延迟的回路6.4 转置形式转置形式信号流图理论信号流图理论: 变换成不同的形式变换成不同的形式 保持输入输出总系统不变保持输入输出总系统不变 流图转置（倒置）流图转置（倒置）- 信号流图变换的一种方法信号流图变换的一种方法转置的具体步骤：转置的具体步骤：u所有支路方向颠倒所有支路方向颠倒u保持支路增益不变保持支路增益不变u输入与输出颠倒（源节点输入与输出颠倒（源节点汇节点）汇节点）例例6.7 没有零点的一阶系统的转置型没有零点的一阶系统的转置型系统函

25、数及流图为：系统函数及流图为：转置：转置：输入输出左右调整：输入输出左右调整：延迟与相乘次序改变延迟与相乘次序改变-11 .1-H zaz例例6.8 基本二阶节的转置型基本二阶节的转置型基本二阶节的直接基本二阶节的直接II型结构：型结构：差分方程：差分方程：转置型：转置型：差分方程：差分方程：利用利用z变换求出两种结构的相同的差分方程：变换求出两种结构的相同的差分方程：12012 -1+ -2+ , + -1+ -2.w na w na w nx ny nb w nbw nb w n00101111222 + -1, , + + -1, + .v nb x nv ny nv nv na y n

26、b x nv nv na y nb x n12012 -1+ -2+ + -1+ -2.y na y na y nb x nb x nb x n6.5 FIR系统的基本网络结构系统的基本网络结构6.5.1直接型直接型有理系统函数：有理系统函数：差分方程：差分方程：因果因果FIR系统系统 只有零点（原点极点除外）只有零点（原点极点除外） 系数系数ak = 0差分方程为：差分方程为：系统的输入输出关系：系统的输入输出关系：xn与与hn的线性卷积的线性卷积则有：则有：01( )1MkkkNkkkb zH za z10 - + - NMkkkky na y n kb x n k0 - Mkky nb

27、x n k0,1,., 0nbnMh n其它由差分方程由差分方程 画出直接型画出直接型FIR结构：结构：延迟器链跨接结构图的顶部延迟器链跨接结构图的顶部称为：称为：抽头延迟线结构（抽头延迟线结构（tapped delay line）或横向滤波器（或横向滤波器（transversal filter）转置型：转置型：0 - Mkky nb x n k6.5.2 级联型级联型FIR系统函数系统函数Hz - z-1的多项式的多项式 - 多项式因式分解：多项式因式分解：Ms = (M+1)/2，若，若M为奇数，其中一个为奇数，其中一个bk为零为零比比IIR级联型每个二阶节少了左边一半。级联型每个二阶节少了左边一半。-1-20120=1( ) =+sMMnkkkkkH zh n zbb zb z6.5.3 线性相位线性相位FIR系统的结构系统的结构线性相位线性相位FIR系统的单位脉冲响应满足：系统的单位脉冲响应满足：hM-n = hn, n = 0, 1, , M实现的结构图中，系数乘法器的数目可以减少约一半。实现的