第七章度量空间

1、1 度量空间的进一步例子2 度量空间中的极限、稠密集、可分空间3 连续映射4 柯西点列和完备度量空间6 压缩映射原理及其应用8 赋范线性空间和巴拿赫空间 泛函分析：是20世纪发展起来的一门新的学科，德国数学家希尔伯特，波兰数学家巴拿赫，匈牙利美国数学家冯.诺依曼，为此做出了主要贡献。 泛函分析研究内容：是函数与数之间的对应关系；例如：定积分就是一个泛函。算子：函数空间和函数空间的对应关系。例如：微分就是一个算子。引言：度量空间（距离空间）：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有

2、离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤效步骤。泛函分析中的度量空间（距离空间）：泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构代数结构的度量的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间间。1、度量空间 设设 是一个集合，若对于是一个集合，若对于 中任意两个元素中任意两个元素 ,都有唯一确都有唯一确定的实数定的实数 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1 的充要条件为2 对任意的 都成立，则称则称 是是 之间的距离，称之间的距

3、离，称 为为度量空间度量空间或或距离空距离空间间。 中的元素称为点。中的元素称为点。X, x yX( , )d x y( , )0,( , )0d x yd x yxy( , )( , )( , )d x yd x zd y zz( , )d x y, x y(, )X dX 称为点称为点 的的 邻域邻域， 称为邻域的中心，称为邻域的中心， 称为邻域的半径称为邻域的半径。00,|,U PP d P P0P0P2、常见的度量空间（1）n维欧式度量空间（2）离散的度量空间 设设 是任意的非空集合，对是任意的非空集合，对 中的任意两点中的任意两点 ，令，令XX, x yX1,( , )0,if xy

4、d x yif xy 称称 为离散的度量空间。为离散的度量空间。(, )X d（3）序列空间S 令令S S表示实数列（或复数列）的全体，对表示实数列（或复数列）的全体，对S S中的任意两点中的任意两点1|1( , )2 1 |iiiiiid x y1212( ,.,.),(,.,.),nnxy 令 称 为序列空间。( , )S d 设设A A是一个给定的集合，令是一个给定的集合，令B(A)B(A)表示表示A A上有界实值（或复值）上有界实值（或复值）函数全体，对函数全体，对B(A)B(A)中任意两点中任意两点 ，定义，定义, x y( , )sup| ( )( )|t Ad x yx ty t

5、 设设 为为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m为勒贝格测度，若为勒贝格测度，若 ，对任意两个可测函数，对任意两个可测函数 及及（4）有界函数空间B(A）（5）可测函数空间()m X ( )f t( )g t由于由于 ，所以这是，所以这是X上的可积函数。令上的可积函数。令|( )( ) |11 |( )( ) |f tg tf tg t|( )( )|( ,)1 |( )( )|Xf tg td f gdtf tg t（4）有界函数空间B(A）()XM()XM 令令 表示闭区间表示闭区间a,b上实值（或复值）连续函数全体，上实值（或复值）连续函数全体

6、，对对 中任意两点中任意两点 ，定义，定义, x y( , )max | ( )( )|a t bd x yx ty t （6） 空间 , C a b , C a b , C a b（6） 空间pl1|ppkkklxxx 设 ，定义,pkxxlpkyyl11( , )()ppkkkd x yyx 设设 是是 中点列，如果存在中点列，如果存在 ，使，使则称点列则称点列 是是 中的中的收敛点列收敛点列， 是点列是点列 的极限的极限。(, )X d1、收敛点列nxxXlim (, )0nnd xxnx(, )X dnxx收敛点列性质： （1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收）在度量空

7、间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。敛点列的极限是唯一的。2、收敛点列在具体空间中的意义 （2）M是闭集的充要条件是是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在中任何收敛点列的极限都在M中中。（1）n 维欧式空间中：()()()12(,.,),1,2,.,mmmmnxm为 中的点列，nR12(,.,)nnxR()lim(, )0, ()1mmiimd xxmin 即：即： 按欧式距离收敛于按欧式距离收敛于 的充要条件是的充要条件是 依坐标收敛于依坐标收敛于mxmxxx（2）序列空间S中：()()()12(,.,.),1,2,.,mmmmnxm为 中的点列，12(,.,

8、.)nxS()lim(, )0(),mmiimd xxm S设 及 分别为 中的点列及点，(, )max |( )( )|nna t bd xxx tx t （3） 空间 , C a b , C a blim (, )0 , nnnd xxxa bx在上一致收敛于 nxx（4）可测函数空间设 及 分别为可测函数空间中的点列及点，nfflim (,)0( )nnnd ffft f(t)3、有界集 设设M是度量空间是度量空间 中点集，定义中点集，定义为点集为点集M的的直径直径，若若 ，则称，则称M为为 中的中的有界集有界集。(, )X d,()sup( , )x y MMd x y()M (, )

9、X d常用结论：度量空间中的收敛点列是有界点集。()XM4、稠密集，可分空间 （1）设）设X是度量空间，是度量空间，E和和M是是X中的两个子集，令中的两个子集，令 表示表示M的闭包，如果的闭包，如果 ，那么称集，那么称集M在集在集E中中稠密稠密。MEM等价定义： 如果如果E 中任何一点中任何一点x 的任何邻域都含有集的任何邻域都含有集M中的点，就称中的点，就称M在在E中中稠密稠密。 （2）当）当E=X时，称集时，称集M为为X的一个的一个稠密子集稠密子集。 （3）如果）如果X有一个有一个可数的稠密子集可数的稠密子集时，称时，称X为为可分空间可分空间。 对任一对任一 ，有，有M中的点列中的点列 ，

10、使得，使得xEnx()nxx n 例题 1：（1）多项式全体所成的线性空间）多项式全体所成的线性空间P是度量空间是度量空间 的子集，则的子集，则P在在 中是稠密的。其中，以有理数为系数中是稠密的。其中，以有理数为系数的多项式全体是一个可数集，所以的多项式全体是一个可数集，所以 是可分空间是可分空间。 , C a b , C a b , C a b（2）n 维欧式空间维欧式空间 是可分空间，因为坐标为有理数的全是可分空间，因为坐标为有理数的全体是一个可数集，是体是一个可数集，是 中的稠密子集中的稠密子集。nRnR(3) 为可分空间。为可分空间。pl(4) 为不可分空间。为不可分空间。l 表示有界

11、实（或复）数列全体，对表示有界实（或复）数列全体，对 中任意两点中任意两点 定义定义则则 按按 成为度量空间成为度量空间。plplpl12( ,.)x 12(,.)y ( , )sup|iiid x y( , )d x y回忆函数的连续性？1、度量空间中的连续性 设设 ， 是两个度量空间是两个度量空间，T是是X到到Y中的映射中的映射, 如果对于任意给定如果对于任意给定 ，存在，存在 ，使对，使对X中一切满足中一切满足 的的 ，成立，成立则称则称T在在 连续连续。(, )XX d( , )YY d0,xX000( ,)d x xx0(,)d Tx Tx0 x000(, )(, )TxU TxV

12、xTVU语言： 在 连续必有，使描述 设设T是度量空间是度量空间 到到 中的映射，那么中的映射，那么T在在连续的连续的充要条件充要条件为当为当 时，必有时，必有连续性的极限定义(, )X d( , )Y d0,xX0()nxx n 0()nTxTx n 2、连续映射 如果映射如果映射T在在X的每一点都连续，则称的每一点都连续，则称T是是X上的上的连续映射连续映射。称集合称集合 为集合为集合M在映射在映射T下的下的原原像。 |,x xX TxMY 定理：定理： 度量空间度量空间X到到Y的映射的映射T是是X上的上的连续映射的充要条件连续映射的充要条件为为Y中任意开集中任意开集M的原像的原像 是是X

13、中的开集中的开集。1T M1、柯西点列 设设 是度量空间，是度量空间， 是是X中点列，如果对任何事先给中点列，如果对任何事先给定的定的 ，存在正整数，存在正整数 ，使当，使当 时，必有时，必有(, )XX d0(,)nmd xxnx( )NN, n mN则称 是X中的柯西点列或基本点列。nx 在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。2、完备的度量空间 如果度量空间如果度量空间 中每一个柯西点列都在中每一个柯西点列都在 中收敛，中收敛，则称则称 是是完备的度量空间。完备的度量空间。(, )X d(, )X d(, )

14、X d子空间完备性定理 完备度量空间完备度量空间X的的子空间子空间M M，是完备空间的充要条件，是完备空间的充要条件是：是：M是是X中的闭子空间。中的闭子空间。例题 1： 及 是完备度量空间l(1)plp 例题 2：n维欧几里的空间是完备度量空间例题 3： 是完备度量空间 , C a b等距同构映射设设 是两个度量空间，如果存在是两个度量空间，如果存在 到到 的的保距映射保距映射 ，即，即 ，则称，则称 和和 等距同构等距同构，此时，此时 称为称为 到到 上的上的等距同构映射等距同构映射。(, ),X d(, ),X d(, ),X d(, ),X d(,)( , )d Tx Tyd x yX

15、XXXTT1、压缩映射 设设X是度量空间，是度量空间，T是是X到到X中的映射，如果存在一个数中的映射，如果存在一个数 ， ，使得对所有的，使得对所有的 ，成立，成立则称则称T是是压缩映射压缩映射。01, x yX(,)( , )d Tx Tyd x y几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短压缩映射就是使映射后距离缩短 倍的映射倍的映射。2、不动点 设设X为一个集合，为一个集合，T是是X到到X的一个映射，如果的一个映射，如果 ，使，使得得 ，则称，则称 为映射为映射T的的不动点不动点。*xX*Txx*x 设设X是完备的度量空间，是完备的度量空间，T是是X上的压缩映射，那么上的压缩映射，那么T有且

16、有且只有一个不动点只有一个不动点。3、压缩映射定理完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。注： 定理中的度量空间的完备条件不能去掉。 完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，并不依赖于X的完备性。压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列 必有必有0()nxx n 0()nTxTx n 设设X是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量 ，有一个确定的实数，记为有一个确定的实数，记为 与之对应，并且满足与之对应，并且满足：1、赋范线性空间1 且 等价于2 其中 为任意实（或复）数；3 则称则称 为向量为向量 的的范

17、数范数，称称X按范数成为按范数成为赋范线性空间赋范线性空间。 xXx0 x 0 x 0 x xx,xyxyx yXxx类似于普通向量的长度 依范数收敛于依范数收敛于 等价于等价于 按距离收敛于按距离收敛于2、关于极限的定义（依范数收敛） 设设 是是X中一点列，如果存在中一点列，如果存在 ，使，使则称则称 依范数收敛于依范数收敛于 ，记为，记为 或或nxxX|0()nxxnnxx()nxx n limnnxx3、赋范线性空间的性质1赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。如果令如果令 可以验证可以验证 是是X上的距离。上的距离。( , )d x y( , ) |, ( ,),d x yxyx yXnxxnxx 称称 为由范数为由范数 导出的距离。导出的距离。( , )d x y|x度量和线性结构之间的协调性：(,0)( , )(,0) |( ,0)d xyd x ydxd x欧式空间欧式空间 按上述范数成按上述范数成Banach空间空间。（1）欧式空间）欧式空间 ，对每个，对每个 ，定义2范