第3章 区间估计

1、定义3.1.1 设 是总体的一个参数，其参数空间为，x1, x2 , , xn是来自该总体的样本，对给定的一个 (0 1)，若有两个统计量 和 ，若对任意的，有 （3.1.1）1( ,)LLnxx1( ,)UUnxx()1,LUP,LU 这里置信水平1- - 的含义是指在大量使用该置信区间时，至少有100(1-)%的区间含有 。 ,LULU1212(9)10,(9)10 xtsxts0.5797 ,0.5797xsxsx14.7053,1.8438xs14.7053 0.5797 1.8438, 14.7053 0.5797 1.8438 13.6427, 15.7679图3.1.1 的置信水

2、平为0.90的置信区间 图3.1.2 的置信水平为0.50的置信区间 ()1LUP ,LULLUU()1LP ()1UPLULU满足置信度要求的c与d通常不唯一。若有可能，应选平均长度 达到最短的c与d，这在G的分布为对称分布场合通常容易实现。 实际中，选平均长度 尽可能短的c与d，这往往很难实现，因此，常这样选择 c与d，使得两个尾部概率各为 /2，即P(Gd)= /2，这样的置信区间称为等尾置信区间。这是在G的分布为偏态分布场合常采用的方法。 ULEULE解:（1）取x(n)作为枢轴量，其密度函数为p(y; )= nyn-1/ n， 0y 1； （2）x(n) / 的分布函数为F(y)=y

3、n, 0y 1，故P(cx(n)/ d)= d n-cn， 因此我们可以适当地选择c和d满足d n-cn=1-( )11nExcdn11cd( )( ),nnnxx(0,1)xGNn1Pxdnxcn ()/dcn12xun12xunx12un15.4x 1215.4 1.96 0.1 9 15.4 0.0653x un122 un1221.2un1212/,/xunxun 这时可用t 统计量，因为 ，因此 t 可以用来作为枢轴量。完全类似于上一小节，可得到 的1-置信区间为 此处 是 2的无偏估计。 () (1)n xtt ns1212(1),(1)x tnsnx tnsn221()1isxx

4、nx4.70922.20100.0615/ 124.5516, 4.8668()( (1)1n xP tns 1(1)xtnsn222(1)1nsGn222/ 21/ 2211nsP2222121211 ,11nsnnsn0.260.26,0.0148,0.119317.53452.1797xy22111mxiisxxm22111nyiisyyn1、 12和 22已知时的两样本u区间 2、 12 = 22 = 2未知时的两样本t区间 222212121212,xyuxyumnmn12122 ,2wwmnmnxys tmnxys tmnmnmn3、 22 / 12=已知时的两样本t区间 1212

5、2 ,2ttmnmnxystmnxystmnmnmn22221212,yyxxssssxyuxyumnmn 0 120 12,xys tlxys tl2220/ ,xyssmsn40442211yxslssmmnnxy22117 2110.55369 3256.222252.4880216xywmsnssmn 120.9752162.1199tmnt12111122.1199 52.488052.7797810wtmnsmn569.3750 487 52.7797, 9569.3750 487 52.7797 29.5953, 135.15472.2222589.441417.7429 182

6、110.55363256.2222871011l 0 0.97524.2784 2.100951.0065s tl 2212221,1xysFF mns2222122211,11,11xysP FmnFmns 222212211,1,11,1xxyysssFmnsFmn0.0250.975114,50.10685,49.36FF0.9754,57.39F一、指数分布参数的区间估计一、指数分布参数的区间估计设设X1,X2, ,Xn是来自指数总体是来自指数总体E() 的样本的样本,则则22(2 )n Xn22122(2 )2(2 )1Pnn Xn 22122(2 )(2 ),22nnnXnX二、二

7、、0-1分布参数的区间估计分布参数的区间估计(方法方法1)设设X1,X2, ,Xn是来自是来自0-1分布总体分布总体B(1,p) 的样本的样本,则则当当n充分大时，充分大时，(0,1)(1)XpNpp n近似服从21(1)/XpPuppn 222222201PnupnXupnX 2211441.22Pbbacpbbacaa 22114,422bbacbbacaa 22222,2,.anubnXucnX 例例3.4.13.4.1 设从某厂生产的一批产品中抽查了设从某厂生产的一批产品中抽查了100100件，发现其中有一级品件，发现其中有一级品6060件，求这批产品一级品件，求这批产品一级品率的率的

8、95%95%置信区间。置信区间。解：设一级品率为解：设一级品率为p, 则则0p1 100,.,2 , 1, 0, 1i，i，iXi件为非一级品第件为一级品第则则X1,X2, ,X100是来自是来自0-1分布总体分布总体B(1,p) 的的一个容量为一个容量为100的样本的样本96. 1,05. 095. 01, 6 . 0100/60,1002/uxn22222103.84,2123.84,36.anubnxucnx 2140.50;2bbaca 2140.69.2bbaca 故这批产品一级品率的故这批产品一级品率的95%95%置信区间为置信区间为(0.50,0.69). .0-1分布参数的区间估计分布参数的区间估计(方法方法2)设设X1,X2, ,Xn是来自是来自0-1分布总体分布总体B(1,p) 的样本的样本,则则当当n充分大时，充分大时，) 1 , 0(NnSpX近似服从)(1)(1122122XXnnXnXnSnii) 1 , 0() 1()1 (NnXXpX近似服从故211/(1)XpPuXXn 221/(1),1/(1)XuXXnXuXXn由此得例由此得例3.4.13.4.1一级品率一级品率95%95%置信区间为置信区间为(0.504,0.696). .解：这是关于二点分布比例p的置信区间问题，由上式知，1-的置信区间长度为 这是一个