自动控制原理第二章2015

1、2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型第二章第二章自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型信息学院信息学院二二一五年九月一五年九月Mathematic Model of Automatic Control Systems2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型教教 学学 目目 的：从实际的物理系统过渡到数学系统，建的：从实际的物理系统过渡到数学系统，建 立控制系统的数学模型。立控制系统的数学模型。教教 学学 重重 点：如何建立控制系统的数学模型；典型环点：如何建立控制系统的数学模型；典型环 节的传递函数。节的传递函数。教教 学学 难难 点：关于数学模型的一些基本概念，

2、传递函点：关于数学模型的一些基本概念，传递函 数的理解。数的理解。2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 微分方程式的编写微分方程式的编写 非线性数学模型线性化非线性数学模型线性化 传递函数传递函数 系统动态结构图系统动态结构图 系统传递函数和结构图的变换系统传递函数和结构图的变换 信号流图信号流图主要内容主要内容时域内的数时域内的数学模型学模型 复域内的数复域内的数学模型学模型 2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型数学模型的基本概念数学模型的基本概念( )yf xxy，自自变变量量因因变变量量2.1 概述概述数学、工程、控

3、制三者的统一数学、工程、控制三者的统一中学时中学时的函数概念：的函数概念：在在电路电路的学习中对函数概念的理解：的学习中对函数概念的理解：自动控制系统自动控制系统对函数概念的理解：对函数概念的理解：xy激激励励电电路系路系统统响响应应xy控制控制量量控制控制系系统统被被控制控制量量研究对象的复杂程度加深研究对象的复杂程度加深2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型2.1 概述概述数学模型的基本概念数学模型的基本概念学习自动控制原理的思维方式：学习自动控制原理的思维方式：数学的方法，工程的意识，控制的语言。数学的方法，工程的意识，控制的语言。

4、2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型1 1、数学模型定义、数学模型定义-能够描述控制系统输出量和输入量能够描述控制系统输出量和输入量 数量关系的数学表达式。数量关系的数学表达式。 是物理系统运动特性的是物理系统运动特性的数学抽象数学抽象。实际物理系统实际物理系统理想化理想化物理模型物理模型数学化数学化数学模型数学模型标准化标准化标准数学模型标准数学模型简化简化实际物理系统实际物理系统数学抽象数学抽象数学模型数学模型2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型2 2、控制系统数学模型的主要形式、控制系统数学模型的主要形式( (古典控制理论古典控制理论) ) : : (1)(1

5、)微分方程（时间域）微分方程（时间域）(2)(2)传递函数（复数域）传递函数（复数域）(3)(3)结构框图（复数域）结构框图（复数域）(4)(4)信号流图（复数域）信号流图（复数域） (5)(5)频率特性频率特性 ( (频域频域) )2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型3 3、建模的基本方法、建模的基本方法: (1) : (1) 机理分析法机理分析法 (2) (2) 统计法（辨识法）统计法（辨识法） (3) (3) 实验测取实验测取（黑、灰箱）（黑、灰箱）黑黑 匣匣 子子输输 入入 （ 已已 知知 ）输输 出出 （ 已已 知知 ）系统系统输入输入输出输出（白箱）（白箱）2022年

6、6月26日第二章 自动控制系统的数学模型2.2 2.2 时域数学模型时域数学模型-动态微分方程式的动态微分方程式的编写编写单输入单输出线性定常连续系统微分方程的一般单输入单输出线性定常连续系统微分方程的一般形式为：形式为：1011110111ddd( )( )( )( )dtdtdtddd( )( )( )( )dtdtdtnnccncncnnmmrrmrmrmmax tax tax ta x tbx tbx tbx tb x t微分方程的一般形式：微分方程的一般形式：式中，式中， 是被控量；是被控量； 是控制量。为了所表示系是控制量。为了所表示系统的可实现性，一般限定统的可实现性，一般限定

7、。 ()mn rxt cxt2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型2.2 2.2 时域数学模型时域数学模型-动态微分方程式的动态微分方程式的编写编写 线性系统微分方程的线性系统微分方程的建立建立步骤步骤：1.1.确定系统确定系统( (或元件或元件) )的输入量与输出量；的输入量与输出量；2.2.按照系统中元件所遵循的科学规律按照系统中元件所遵循的科学规律( (物理或化物理或化学定律等学定律等) )，围绕输入量、输出量及有关中间，围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组；量，列写原始方程式，构成微分方程组； 3.3.消去中间变量，消去中间变量，得到只含有输出量和

8、输入量及得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程其各阶导数的微分方程；4.标准化。标准化。 2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型例例2 2. .1 1 RC电路试列写电路试列写 动态微分方程。动态微分方程。（1 1）确定输入输出：选择）确定输入输出：选择u1为输入，为输入，u2为输出为输出122uRiuduiCdt221duRCuudt：得得动动态态微微分分方方程程为为（2 2）列写原始微分方程：）列写原始微分方程：根据电路理论得根据电路理论得解解：、一阶系统、一阶系统、滤波电路、滤波电路消去中间变量消去中间变量标准化标准化01ccrdxaa xxdt2022年6月26日第

9、二章 自动控制系统的数学模型例例2.2 2.2 RC电路电路（1 1）当选择）当选择u1为输入，为输入，i为输出时为输出时：11dudiRidtCdt得得系系统统动动态态微微分分方方程程：122uRiuduiCdt（2 2）列写原始微分方程：）列写原始微分方程：结论：同一系统选择结论：同一系统选择不同的输入量和输出不同的输入量和输出量时，系统的数学模量时，系统的数学模型可能是不同的型可能是不同的。根据电路理论得根据电路理论得消去中间变量消去中间变量221duRCuudt01crcdxdxaa xdtdt2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 例例2.3 2.3 RL电路电路 ccr

10、dxLRxxdt取取u为输入量，为输入量，i为输出量为输出量得系统微分方程为：得系统微分方程为：结论：不同的系统，结论：不同的系统，系统的数学模型可能系统的数学模型可能是相同的是相同的。与电路的与电路的数学模型相同数学模型相同diLRiudt01ccrdxaa xxdt：标标准化准化数学模型的本质特征是：数学抽象！数学模型的本质特征是：数学抽象！2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型由例由例2.22.2和和例例2.32.3可知：可知：1、同一系统选择不同的输入量和输出量时，可能具、同一系统选择不同的输入量和输出量时，可能具 有不同的的数学模型。有不同的的数学模型。2、不同的系统，系

11、统的数学模型可能是相同的。、不同的系统，系统的数学模型可能是相同的。数学模型的本质：数学模型的本质：抽象性抽象性数学模型数学模型描述了输出输入间的关系，但它不提供描述了输出输入间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构特征。物理性质截然不同任何该系统的物理结构特征。物理性质截然不同的系统或元件，可以有相同的数学模型。的系统或元件，可以有相同的数学模型。同形性同形性2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型例例2.4 2.4 编写电枢控制他激直流电动机的微分方程式编写电枢控制他激直流电动机的微分方程式 它激直流电动机电枢电路它激直流电动机电枢电路(1)(1)选择电动机电枢电压选择电动机电枢

12、电压 作为输入量，作为输入量， 选择电动机的转速选择电动机的转速 作为输出量，作为输出量，dun2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 (2) (2) 列写微分方程式。列写微分方程式。 电枢回路的微分方程式：电枢回路的微分方程式： 电动机的机械运动方程式：电动机的机械运动方程式： 2222375375dmdmGDdniCdtdiGDd ndtCdtdddddeudtdiLRinc2375GDdndMJdtdtdum dMC i2375m dGD dnC idt2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型（3 3）消去中间变量）消去中间变量2222375375dddddmeme

13、LRRuGDd nGDdnnRC CdtC C dtCe令 电动机电磁时间常数电动机电磁时间常数( s) ； 电动机的机电时间常数电动机的机电时间常数(s)；dddLTR2375dmmeRGDTC C得电动机的动态微分方程式得电动机的动态微分方程式：22 ddmmud ndnT TTndtdtCe二阶系统二阶系统1 1、为什么会是二阶系统？、为什么会是二阶系统？2 2、降阶条件？、降阶条件？3 3、微分方程与什么有关？、微分方程与什么有关？2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 例例2.5 2.5 机械位移系统机械位移系统 取取f(t)为输入量为输入量, , x为输出量为输出量(

14、) ( )ddx tf tBdt22( )( )( )( )d x tdx tmBKx tf tdtdt22( )( )( )( ) sdd x tf tf tf tmdt( )( )sf tKx t与电动机与电动机系统同系统同20122cccrd xdxaaa xxdtdt：标标准化准化2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型线性系统微分方程的建立线性系统微分方程的建立 步骤：步骤：1. 1. 确定系统的输入量确定系统的输入量( (给定量和扰动量给定量和扰动量) ) 与输出量与输出量( (被控制量被控制量, , 也称为系统的响应也称为系统的响应) ) 2. 2. 列写系统各部分的微

15、分方程列写系统各部分的微分方程 3. 3. 消去中间变量消去中间变量, ,求出系统的微分方程求出系统的微分方程 rmrmmrmmrmcncnncnncnxbdtdxbdtxdbdtxdbxadtdxadtxdadtxda1111011110小结小结2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型2.2 2.2 非线性数学模型线性化非线性数学模型线性化 1 1、问题的提出、问题的提出 实际的物理元件都存在一定的非线性，而求解非线实际的物理元件都存在一定的非线性，而求解非线性微分方程困难，如何用线性系统的理论研究非线性系性微分方程困难，如何用线性系统的理论研究非线性系统呢啊？因而提出了非线性微分

16、方程线性化的问题。统呢啊？因而提出了非线性微分方程线性化的问题。2、非线性特性、非线性特性本质非线性本质非线性非本质非线性非本质非线性2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型非线性特性的近似线性化非线性特性的近似线性化 作某种近似，或者缩小一些研究问题的范围，作某种近似，或者缩小一些研究问题的范围，那么大部分非线性特性（非本质非线性）都可以近那么大部分非线性特性（非本质非线性）都可以近似地作为线性特性来处理，给研究控制系统的工作似地作为线性特性来处理，给研究控制系统的工作带来很大的方便。在工程实践中有很大的实际意义带来很大的方便。在工程实践中有很大的实际意义。 2022年6月26日第

17、二章 自动控制系统的数学模型发电机激磁特性发电机激磁特性 1、和 之和 之间间具具有非有非线线性性关关系系ffffuiui0tanffUI2 2、在在A A点点附附近近与与 近近似似满满足足线线性性关关系系f ff fu ui i3. 3. 小偏差线性化方法小偏差线性化方法2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型1 1、将一个非线性函数、将一个非线性函数 y= f（x），），在其工作点在其工作点 展开成展开成泰勒泰勒级数。级数。2 2、略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来、略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来 代替原来的非线性函数。代替原来的非线性函数。线性化这一概念的数

18、学处理：线性化这一概念的数学处理：平衡工作点附近的平衡工作点附近的泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)级数级数展开。展开。00,xy2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型00220002( )1( )()()()2!xxdf xd f xyf xxxxxdxdx000( )()()xdf xyf xxxdx00()yyK xx1. 1. 具有一个自变量的非线性函数的线性化具有一个自变量的非线性函数的线性化在工作点附近在工作点附近泰勒泰勒展开：展开：忽略二阶以上各项可写成忽略二阶以上各项可写成: :000( )x,xdf xyfKdx其中：2022年6月26日第二章 自动控制系统

19、的数学模型说明：说明：1 1、近似线性化线性化的、近似线性化线性化的数学依据数学依据是是泰勒泰勒展开。展开。2 2、忽略二阶以上导数项的条件是平衡点附近、忽略二阶以上导数项的条件是平衡点附近 x非常小。非常小。3 3、选择不同的平衡点时、选择不同的平衡点时K值也不同。值也不同。2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型2. 具有两个自变量的非线性函数的线性化具有两个自变量的非线性函数的线性化10201020121210201101(,)122202(,)( ,)( ,)(,)()( ,)()xxxxf x xyf x xf xxxxxf x xxxx忽略二阶以上各项可得忽略二阶以上各项

20、可得增量线性方程增量线性方程：011102220yyK xxKxx在工作点附近在工作点附近泰勒泰勒展开展开：2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 例例2-7 2-7 可控硅整流电路可控硅整流电路 取三相桥式硅整流电路的输入量为控制角取三相桥式硅整流电路的输入量为控制角 ，输出量为整流电压输出量为整流电压Ed22.34cosdEE2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 式中式中 E2 交流电源相电压的有效值交流电源相电压的有效值； Ed0 时的整流电压。时的整流电压。线性化处理，令线性化处理，令 得得式中式中coscos34. 202ddEEE00000,cosdxyE

21、000cos()ddsEEK00sin0ddsEddEK0线性函数线性函数非线性非线性函数函数2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 说明说明：通过上述讨论，应注意到，运用线性化：通过上述讨论，应注意到，运用线性化方程来处理非线性特性时，线性化方程的参量方程来处理非线性特性时，线性化方程的参量与与静态工作点静态工作点有关，工作点不同时，参量的数有关，工作点不同时，参量的数值也不同。因此在线性化以前，必须确定元件值也不同。因此在线性化以前，必须确定元件的静态工作点。的静态工作点。 2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型2.3 复数域数学模型复数域数学模型传递函数传递函数n

22、阶系统线性微分方程式的一般表达式为：阶系统线性微分方程式的一般表达式为：1011110111dddddddnncccnncnnmmrrrmmrmmxxxaaaa xtdtdtxxxbbbb xdtdtdt分析自动控制系统的性能最直接的方法：分析自动控制系统的性能最直接的方法： 求解微分方程式。求解微分方程式。2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型求解微分方程：经典法，高阶？求解微分方程：经典法，高阶？借助电子计算机借助电子计算机拉氏变换法（工程方法）拉氏变换法（工程方法）拉氏变换法求解的拉氏变换法求解的优势优势：（1 1）微分方程的求解问题化为代数方程的）微分方程的求解问题化为代数

23、方程的 求解问题求解问题 （或查表或查表） 。 （2 2）引入引入传递函数传递函数的概念的概念( (复数域数学模型复数域数学模型) )，把系统，把系统 的动态性能和传函的零极点联系起来，使在复数的动态性能和传函的零极点联系起来，使在复数 域内域内( (根轨迹法根轨迹法) )和频域内和频域内( (频率法频率法) )分析和设计系分析和设计系 统成为可能。统成为可能。 2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型建立系统微分方程的目的是什么？建立系统微分方程的目的是什么？如何求解得到的微分方程式？如何求解得到的微分方程式？对于高阶线性微分方程如何求解？对于高阶线性微分方程如何求解？使用拉普拉斯

24、变换法解线性微分方程有哪些使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些优势？优势？思考？思考？2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）一、一、拉拉氏氏变换定义变换定义dtetftfLsFst0)()()(设函数设函数 f(t)当当 时有定义时有定义，设设0t 且积分存在，则称且积分存在，则称F(s)是是f(t)的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。简称简称拉氏变换拉氏变换。 f(t)称为称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：的拉氏逆变换。记为： 1( )f tLF s象函数象函数原函数原函数2022年6月26日第二章 自动控制

25、系统的数学模型 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充） jf tF ss：，其其中中原原函函数数象象函函数数=+=+dtetftfLsFst0)()()(实函数，实数域实函数，实数域复函数，复数域复函数，复数域映射映射双实双实双复双复2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型二、拉氏变换的二、拉氏变换的 性质与定理性质与定理 1 1、线性定理、线性定理 1212 X SL x tL ax taX SL x tx tXSXS 设 则 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）齐次性齐次性可加性可加性A、拉斯变换是一种线性变换

26、，、拉斯变换是一种线性变换， 因此必满足线性定理！因此必满足线性定理！B、非线性系统不可以拉斯变换。、非线性系统不可以拉斯变换。2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型2 2、微分定理、微分定理 )0()()(fssFdttdfL)0()0()()(222fsfsFsdttfdL 112 0 00 nnnnnnnnnd f tLs F Ssfdtsffd f tLs F Sdt初初始始值值为为0 0时时用于由微分方程求传递函数用于由微分方程求传递函数时时 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 数学工

27、具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）、积分定理、积分定理 11 0 Lf t dtF Sfss 1 ：nLf t dtF Ssn n阶阶积积分分 1：Lf t dtF Ss零零初初始条始条件件下下2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）、终值定理、终值定理 )(lim)(lim0ssFtfst用于求稳态误差用于求稳态误差、初值定理、初值定理 )(lim)(lim0ssFtfst2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变

28、换与反变换（补充）三、几个常用函数的拉氏变换三、几个常用函数的拉氏变换（掌握）（掌握）f(t)F(s)f(t)F(s)1t21scosatetsinatet22()sasa22()sa22sate22sssintcos t1s1sa( ) t1( ) t2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型实际应用拉普拉斯变换时，不是积分推实际应用拉普拉斯变换时，不是积分推算，而是查表！算，而是查表！ 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型四、拉氏反变换四、拉氏反变换 1( )f tLF s留数法留数法101110

29、11( )( ) ()( )mmmmnnnnb sbsbs bN sF smnD sa sasa s aF F(s) (s) 总能展开成如下简单的部分分式之和：总能展开成如下简单的部分分式之和：1212( )nncccF sspspsplim ( )()iiispcF s sp （1）D(s) =0没有重根没有重根 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型1( )(1)(2)(3)F ssss 求的原函数。例例3121( )(1)(2)(3)123cccF sssssss解：设1111lim(1)(1)(2)(3

30、)6scssss 其中：其中：所以：所以：所以：所以：111111( )61152103F ssss 2211lim(2)(1)(2)(3)15scssss3311lim(3)(1)(2)(3)10scssss23111( )61510tttf teee 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型(2)D(s)=0(2)D(s)=0包含包含r r重根重根其中：其中：11111111()()nrrrrrrncccccspspspspsp11( )( )() ()()rrnN sF sspspsp1(1)1111lim

31、()( )(1)!rrrspdcspF srds11lim()( )rrspcspF s111lim()( )rrspdcspF sds1( )11lim()( )!jrrjjspdcspF sjds 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型1112111( ) (1)!(2)!nrp tptp trrrrrnccf tttc ec ec err1111()(1)!mptmLtespm由于：由于：所以所以： 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）2022年6月26日第二章 自动控

32、制系统的数学模型例例 求求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。) 1()2(3)(2ssssF2( )(2)21abcF ssss其中：其中：所以：所以：所以：所以：解：设解：设2223(2) 1(2) (1)ssasss 2223(2) 2(2) (1)sdsbsdsss 123(1)2(2) (1)sscsss22( )22 tttf tteee2122( )(2)21F ssss 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）五、五、拉氏变换及拉

33、氏反变换的应用拉氏变换及拉氏反变换的应用-求解微分方程求解微分方程2)(6)(5)(22tydttdydttyd例例. . 已知系统的微分方程式为：已知系统的微分方程式为：2)0(, 1)0(yy并且设：并且设： ，试求微分方程的解。，试求微分方程的解。 2200506s Y ssyysY syY ss解：方程两边进行拉氏变换解：方程两边进行拉氏变换2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）)3)(2(27)65(27)(222sssssssssssY272( )(2)(3)23ssabcY ss sssss代入

34、初始值变换形式可得代入初始值变换形式可得设设2272(2)4(2)(3)sssbss ss其中：其中：20721(2)(3)3sssass ss237210(2)3ssscs s 2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型23110( )4 033tty teet所以：所以：两端进行拉氏反变换，得两端进行拉氏反变换，得1410( )323(3)Y ssss 数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）数学工具拉普拉斯变换与反变换（补充）2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型例例2 2. .1 1 RC电路电路选择选择u1为输入，为输入，u2为输出，得系统动态微分方程为：为输出，得系

35、统动态微分方程为：221duRCuudt解解： 221RCsUsUsUs： 零零初初始始条条件件下下取取拉拉变变 2111 1UsUsW s UsRCs：整整理理得得1 1、传递函数的定义、传递函数的定义 2111CrXsUsW sXsUsRCs传递函数传递函数2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型( )( )( )crXsW s Xs rXs rxt微分方程与传递函数的关系微分方程与传递函数的关系微分方程微分方程传递函数传递函数 cXs CxtLL-1传递函数以拉氏变换来表达系统的数学模型传递函数以拉氏变换来表达系统的数学模型。 2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型

36、1011110111nncccnncnnmmrrrmmrmmd xdxdxaaaa xdtdtdtd xdxdxbbbb xdtdtdt将传递函数的概念推广到将传递函数的概念推广到n阶系统阶系统n阶系统线性微分方程式：阶系统线性微分方程式：在零出始条件下取拉氏变换在零出始条件下取拉氏变换2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 10111011nnccncncmmrrmrmra s Xsa sXsasXsa Xsb s Xsb sXsbsXsb Xs10111011( )( )mmmmcrnnnnb sb sbsbXsXsa sa sasan n阶微分方程式的拉氏变换为阶微分方程式的

37、拉氏变换为 ：( )( )( )( )ccrrXsL x tXsL x t式中：；。 nnnd f tLs F sdt：零零初初始条始条件件下下由微由微分分定定理理2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型( )( )( )crXsW s Xs W s称为系统或环节的称为系统或环节的传递函数传递函数，可以写成，可以写成 10111011mmcmmnnrnnXsb sbsbsbW sXsa sa sasa传递函数定义：传递函数定义： 零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。量的拉氏变换之比。传递函数第一种形式：传递函数第一种形式： 标准形

38、式、有理分式形标准形式、有理分式形 式或多项式形式式或多项式形式2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型为系统增益（放大系数）为系统增益（放大系数）尾尾1 1形式形式mm 101m-1mnn 101n-1nb sb sbsbW(s)a sa sasa因式分解因式分解时间常数形式时间常数形式典型环节形式典型环节形式i:T :mnbKa各项提取各项提取an各项提取各项提取bmu传递函数的第二种表达形式传递函数的第二种表达形式mii=1njj=1K(T s+1)(T s+1)时域分析法中使用时域分析法中使用时间常数时间常数2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型为根轨迹放大系数为

39、根轨迹放大系数首首1 1形式形式mm 101m-1mnn 101n-1ni0121012jj=1b sb sbsbW(s)a sa sasa(sz )()()()()()()s(sp )mmignnb szszszKa spspsp因式分解因式分解零极点增益形式零极点增益形式 根轨迹形式根轨迹形式00gbKa各项提取各项提取a0各项提取各项提取b b0 0u传递函数的第三种表达形式传递函数的第三种表达形式根轨迹法中使用根轨迹法中使用式中：式中： -分子多项式的根，称为系统的零点；分子多项式的根，称为系统的零点； izjp-分母多项式的根，称为系统的极点。分母多项式的根，称为系统的极点。 202

40、2年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 传递函数的分母传递函数的分母 称为系统的称为系统的特征多项式。特征多项式。 S的最高阶次的最高阶次n即为系统的即为系统的阶次阶次。1011( )nnnnD sa sa sasa D(s)=0称为系统的称为系统的特征方程特征方程。特征方程的根特征方程的根 即系统的即系统的特征根特征根或系统的或系统的极点极点。2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型1、固有性：固有性：传函是系统数学模型的又一种形式，表达了系统传函是系统数学模型的又一种形式，表达了系统 把输入量转换成输出量的传递关系。它把输入量转换成输出量的传递关系。它只和系统本身的特只和系

41、统本身的特 性参数有关，而与输入量怎样变化无关。性参数有关，而与输入量怎样变化无关。 2 2、利用传递函数可直接根据系统传递的、利用传递函数可直接根据系统传递的某些特征某些特征来研究系来研究系 统的性能；也可以将对系统性能的要求转换成对传递函数统的性能；也可以将对系统性能的要求转换成对传递函数 的要求，从而对系统的设计提供简便的方法。的要求，从而对系统的设计提供简便的方法。2 2、传递函数性质、传递函数性质3 3、对应性：传递函数与微分方程一一对应。如果将对应性：传递函数与微分方程一一对应。如果将 置换，传递函数置换，传递函数 微分方程微分方程。dsdt2022年6月26日第二章 自动控制系统

42、的数学模型4 4、同形性：同形性： W(s)W(s)虽描述了输出输入间的关系，但它不提供虽描述了输出输入间的关系，但它不提供 任何该系统的物理结构。物理性质截然不同的系统或元件任何该系统的物理结构。物理性质截然不同的系统或元件 ，可以有相同的传递函数。，可以有相同的传递函数。5 5、特殊性：传递函数仅适用于线性定常系统。、特殊性：传递函数仅适用于线性定常系统。6 6、有理性：、有理性：实际系统的传递函数是实际系统的传递函数是s s的有理分式的有理分式函数，满足函数，满足 nm 。7 7、传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应，反之，、传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应，反之，系系 统单

43、位脉冲响应的拉氏变换是系统的传递函数，两者有一统单位脉冲响应的拉氏变换是系统的传递函数，两者有一 一对应的关系。一对应的关系。8 8、局限性：只反映零初始条件下输入信号引起的输出，不、局限性：只反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能能 反映非零初始条件引起的输出。反映非零初始条件引起的输出。2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型3 3、传递函数求取方法、传递函数求取方法方法方法1、 由系统微分方程求传递函数由系统微分方程求传递函数。步骤：步骤： （1 1）根据物理定律列写微分方程。）根据物理定律列写微分方程。（2 2）对微分方程在零初始条件下取拉氏）对微分方程在零初始条件下取拉氏

44、 变换。变换。2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型例例2.7 求如图求如图 RC电路电路的的 传递函数。传递函数。 解：（解：（1）当）当u1为输入，为输入， u2为输出时：为输出时：221duRCuudt：系系统统微微分分方方程程为为21( )1( )( )111cUsW sU sRCsT s 221RCsUsUsUs：零零初初始始条条件件下下取取拉拉氏氏变变换换式中：式中： RC电路的时间常数。电路的时间常数。cT一阶系统一阶系统惯性环节惯性环节2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型例例2.8 2.8 求如图求如图 RL RL电路电路的的 传递函数。传递函数。 解

45、：取解：取u为输入，为输入，i为输出得为输出得系统微分方程：系统微分方程：diLRiudt() ( )( )LsR I sU s零初始条件下取拉氏变换得：零初始条件下取拉氏变换得：传递函数为：传递函数为：( )1/1/( )( )11LI sRRW sLU sT ssR结论：物理性质不同的系统（或环节）可以有相同形结论：物理性质不同的系统（或环节）可以有相同形 式的传递函数式的传递函数 。一阶系统一阶系统惯性环节惯性环节同型性同型性2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型（1 1）引入复阻抗。）引入复阻抗。（2 2）输出复阻抗）输出复阻抗/ /输入复阻抗。输入复阻抗。1RRCCsLL

46、s复阻抗 1 ccccccdui tCIsCsUsdtUsIsCs LLLLccdiutLUsLsIsdtUsLsIs复阻抗复阻抗复阻抗复阻抗方法方法2 2、电气网络用复阻抗与传递函数、电气网络用复阻抗与传递函数 ( (重要重要) )步骤：步骤：2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型1Cs例例2.9 2.9 求如图求如图 RL电路电路的的 传递函数。传递函数。解：取为输入解：取为输入ur ，uc为输出，得为输出，得 2( )1W( )1crUssUsLCsRCs1( )( )1( )crUsCsW sUsRLsCs输输出出复复阻抗阻抗输输入入复复阻抗阻抗传递函数：传递函数：Ls二阶

47、系统二阶系统2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型例：绘制两级例：绘制两级RCRC网络的结构图。网络的结构图。rucu11sC21sC1R2R1i2i1u2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型111112112222( )( )( )1( ) ( )( )( )( )( )1( )( )rCCUsU sI sRU sI sIssCU sUsIsRUsIssC-=-= rucu11sC21sC1R2R1i2i1u解：利用复阻抗的概念及元件特性可得解：利用复阻抗的概念及元件特性可得每一元件每一元件的的输入量和输出量之间的关系如下：输入量和输出量之间的关系如下：2022年6月

48、26日第二章 自动控制系统的数学模型有变量相减，说明存在反馈和比较，比较后的信号一有变量相减，说明存在反馈和比较，比较后的信号一般是元件的输入信号，所以将上页方程改写如下相乘般是元件的输入信号，所以将上页方程改写如下相乘的形式：的形式：)(1)()(1)()()(1)()()(1)()(222211121111susCsIsIRsusususCsIsIsIRsusuCCr2221212111111)()()()()(1)()()()()()(sCsIsuRsususIsCsIsIsuRsususICCr2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型1/R11/sC11/R21/sC2UC(

49、s)Ur(s)U1(s)I1(s)I2(s)-U1(s)-UC(s)绘制绘制每一元件每一元件的结构图，并把相同变量连接起来，得的结构图，并把相同变量连接起来，得到系统的结构图。到系统的结构图。I2(s)1111( )( )( )rU sU sI sR12111 ( )( )( )I sIsU ssC1221( )( )( )CU sUsIsR221( )( )CIsUssC作作 业业 P79题2-12-12 P7980题2-13、2142022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型4 4、 典型环节的传递函数及暂态特性典型环节的传递函数及暂

50、态特性（1 1） 比例环节（又叫放大环节）比例环节（又叫放大环节）KsXsXsWrc)()()(特点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真特点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真 现象。现象。运动方程运动方程 : : K放大系数。放大系数。 ( )( )crx tKx t传递函数：传递函数：2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型比例环节的单位阶跃响应比例环节的单位阶跃响应具有比例特性的环节很多，如晶体管放大器，分具有比例特性的环节很多，如晶体管放大器，分压器等，它们都具有相同的传递函数。压器等，它们都具有相同的传递函数。K2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型

51、( )r t( )c t1r2r( )R s C s212rrr( )R s C s21RRK+-( )r t( )c t1R2R3R+cER( )ci t( )bi t( )cI s( )bI s2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型（2 2） 惯性环节惯性环节( )( )( )1crXsKW sXsTs 式中：式中：K-环节的比例系数环节的比例系数 T-环节的时间常数环节的时间常数 传递函数：传递函数：特点：含有一个独立的储能元件，对突变的输入，特点：含有一个独立的储能元件，对突变的输入， 输出不能立即复现，存在时间的延迟，输出输出不能立即复现，存在时间的延迟，输出 无震荡。无

52、震荡。2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 11( )rrxttXss当时， 011/( )( )( )(1)(1/)1/crAAKK TXsW s XsTsss sTssT单位阶跃响应：单位阶跃响应： 00spAF s sp数计：留留算算公公式式00(1)sK TAsKs sTKTsTssTKATs/11)/1()/1(/11( )(1/ )cX sKssT/( )(1),0t Tcx tKet： 求求拉氏拉氏反反变变换换得得2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型惯性环节的单位阶跃响应：惯性环节的单位阶跃响应：当输入量作阶跃变化时，当输入量作阶跃变化时，输出量要经过

53、一定的时间输出量要经过一定的时间（3T4T3T4T）才能到达相应的平）才能到达相应的平衡状态，输出量的变化规律衡状态，输出量的变化规律可以用指数曲线来表达。可以用指数曲线来表达。1K 2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型（3 3） 积分环节积分环节输出量为输入量的积分输出量为输入量的积分。当输入消失，输出当输入消失，输出具有记忆功能。具有记忆功能。机电式伺服机构机电式伺服机构积分调节器积分调节器特点：特点：实例：实例：2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型( )1( )( )crUsKW sUssTs式中式中，K=1/T ，T称为积分环节的时间常数称为积分环节的时间常

54、数。 传递函数为传递函数为：运动方程：运动方程：001( )( )tcru tu t dtR C2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型积分环节输入输出曲线如图积分环节输入输出曲线如图 00( )1tcrtx txt dtt dtt 1rxtt当当输输入入为为时时积分环节具有记忆功能积分环节具有记忆功能2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型图图 微分环节微分环节（4 4）微分环节）微分环节实例实例：RC RC 电路电路，测速发电机输出电压与输入角度间的关系。测速发电机输出电压与输入角度间的关系。特点：特点： 输出量为输入量的微分，输出量为输入量的微分，能预示输入信号的变化

55、趋势。能预示输入信号的变化趋势。 2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型传递函数为传递函数为：运动方程：运动方程：( )( )rcdu tu tKdt( )( )( )crUsW sKsUsKs由于由于 在实际工程中不存在，所以纯微分环节不能在实际工程中不存在，所以纯微分环节不能单独存在，只是单独存在，只是理想微分环节理想微分环节。若输入一阶跃信号若输入一阶跃信号1( )rUss，则可求出则可求出( )( ),cu tKt( ) t( )( )crUsKsUs2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型（又称一阶微分环节、比例微分环节）（又称一阶微分环节、比例微分环节）( )

56、11( )( )rI sW sTsU sRR实用微分环节实用微分环节传递函数为：传递函数为：单位阶跃响应单位阶跃响应2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型（5 5） 振荡环节振荡环节222( )2nnnW sss式中式中：n 自然振荡角频率自然振荡角频率 阻尼比阻尼比特点：特点： 含两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能含两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能 元件的能量相互交换。元件的能量相互交换。输出出现振荡。输出出现振荡。传递函数为：传递函数为：实例：实例：RLCRLC电路、两级电路、两级RCRC电路、弹簧电路、弹簧- -物体物体- -阻尼器力学位阻尼器力学位 移系统

57、等。移系统等。典型二阶系统典型二阶系统二阶系统特征参数二阶系统特征参数2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为： 当当 时，上式特征方程的根为共轭复数时，上式特征方程的根为共轭复数01 2221( )(2)ncrnnXsWs xssss因式分解得：因式分解得：2221( )2ncnnsXssss2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型振荡环节的单位阶跃响应：振荡环节的单位阶跃响应：当当 时，时，01)1sin(11)(22tetxntcn21arctan 0t2022年6月26日第二章 自动控

58、制系统的数学模型振荡环节的单位阶跃响应：振荡环节的单位阶跃响应：2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 ()cdh th t lv其中：（6） 时滞环节时滞环节例：例：带钢厚度检测环节带钢厚度检测环节 准确复现输入量，但延迟了一个固定的时准确复现输入量，但延迟了一个固定的时 间间隔，它的存在可能造成系统不稳定。间间隔，它的存在可能造成系统不稳定。特点：特点：2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型 ()cdhth t crxtxt写成一般形式写成一般形式：)()(sXesXrsc零初始条件下，拉氏变换零初始条件下，拉氏变换( (时滞定理时滞定理) )为为 2022年6月2

59、6日第二章 自动控制系统的数学模型232311( )112!3!sW sesssssrcesXsXsW)()()( 对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级数，并略去高次项，得：数，并略去高次项，得：结论：时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节。结论：时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节。 时滞传递函数为时滞传递函数为 ：2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型2.4 系统动态结构图系统动态结构图 定义定义： 是将系统中所有的环节用方框图表示，是将系统中所有的环节用方框图表示，图中标明其传递函数，并且按照在系统中各环图中标明其传递函数

60、，并且按照在系统中各环节之间的联系将各方框图连接起来，描述系统节之间的联系将各方框图连接起来，描述系统各各元件特性元件特性、系统结构系统结构和和信号流向信号流向的一种图形的一种图形化表示。化表示。图形化的数学模型图形化的数学模型目的目的：求控制系统传递函数：求控制系统传递函数2022年6月26日第二章 自动控制系统的数学模型系统动态结构图特点：系统动态结构图特点：1 1）是一种）是一种图形化的动态模型图形化的动态模型，可形象而明确地，可形象而明确地表达动态过程中系统各环节的数学模型及其相表达动态过程中系统各环节的数学模型及其相互关系。互关系。2 2）结构图具有数学性质，可以进行代数运算和）结构