第三章随机数的产生与检验

1、第三章 随机数的产生与检验1.概论2.均匀随机数的产生3.均匀随机数的检验4.非均匀随机数的产生1第一节 概论1. 意义：由于在统计学的不同技术中需要使用随机数，比如从统计总体中随机抽取样本时，或者在将实验动物随机分配到不同的试验组的过程中，或者在进行蒙特卡罗模拟法计算的时候等等，所以。 2.定义：设随机变量XF(x),则称随机变量X的抽样序列Xi为分布F(x)的随机数。（一）基本概念和定理2定理定理定理1.11.1：设 是连续且严格单调上升的分布函数，它的反函数存在，且记为 ，即 )(xF)(1xFxxFF)(12、若随机变量 ，则 的分布函数为 ) 1 , 0(UR)(xF)(1RF1、若

2、随机变量 的分布函数为 ，则 )(xF) 1 , 0()(UF3证明：证明：设随机变量 的分布函数为 ，当 时，)(F)(1uF 1 , 0u当 时， ；当 时，0u0)(1uF1u1)(1uF所以) 1 , 0()(UF设 的分布函数为 ，则)(1RF)(2xF)()()()()(12xFxFFxFRPxRFPxFR因为 ，对任意 有 。所以 的分布函数为 ) 1 , 0(UR)()(xFxFFR 1 , 0)(xF)(1RF)(xFuuFFuFPuFPuF)()()()(1114定理1.1说明了任意分布的随机数均可由均匀分布 的随机数变换得到。常简称 的随机数为均匀分布随机数。) 1 ,

3、0(U) 1 , 0(U5手工方法：手工方法：抽签、掷骰子、摇号等；随机数表法：随机数表法：占用内存大，目前已很少使用；物理方法：物理方法：放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等等；不能重复计算；数学方法：数学方法：使用最广。（二）产生随机数的一般方法（二）产生随机数的一般方法：6（三）伪随机数伪随机数伪随机数：在计算机上用数学方法数学方法产生均匀随机数均匀随机数是指按照一定的计算方法而产生的数列，它们具有类似于均匀随机变量均匀随机变量的独立抽样序列的性质，这些数既然是依照确定算法产生的，便不可能是真正的随机数，因此常把用数学方法产生的随机数称为常把用数学方法产生的随机数称为伪伪随

4、机数随机数。伪随机数伪随机数不可能真随机；需要对产生的伪随机数进行各种检验保证其符合独立性条件且分布为要求的分布；78均匀随机数的产生：均匀随机数的产生：主要有线性同余法（主要有线性同余法（LCG），组合同余法，），组合同余法，反馈位移寄存器方法等反馈位移寄存器方法等 第二节第二节 均匀随机数的产生均匀随机数的产生9同余同余性质：性质：对称性：对称性：ab(mod M)ab(mod M)，则，则ba(mod M).ba(mod M).传递性传递性: :若若ab(mod M)ab(mod M)，bc(mod M)bc(mod M)，则，则ac(mod M).ac(mod M). （一）同余与线性

5、同余法10性质性质4 4：例如：已知1260(mod 16)，M=16，取C=6，a=2，b=10，因为(M,C)=2，则有210(mod 8)，其中M/(M,C)=16/2=8。或者，取C=12， M=16，因为(M,C)=4，则有15(mod 4)，其中M/(M,C)=16/4=4。11求余运算求余运算的式子求余运算的式子A(mod M)A(mod M)定义为：定义为：Mwhen AMMAAMwhen AAMMAAMA)(mod其中 表示求 的整数部分。 MAMA1201)(mod(值xMxrMcaxxnnnn初,.2 , 1n线性同余法（Linear Congruence Generat

6、or，LCG）的递推公式为：13线性同余法的周期：周期：14线性同余法产生的序列 一定会重复，因为周期最多只有M个可能取值。,210 xxx15说明：满周期是T=M时。16满周期满周期当c0时，下式称为混合同余发生器，当c=0时，称为乘同余发生器，此时当模为素数时，称它为素数模乘同余发生器。 1701)(mod(值xMxrMcaxxnnnn初,.2 , 1n补充补充1 1：混合同余发生器：混合同余发生器与素数模乘同余发生器素数模乘同余发生器两个常用的混合同余发生器：混合同余发生器：350353511522)2)(mod15(xxrxxnnnn3103131122)2)(mod453806245

7、314159269(xxrxxnnnn,.2,1n18常用的素数模乘同余发生器素数模乘同余发生器 ：312)312()312(mod312535035351xxrxxnnnn,.2 , 1n19常用的素数模乘同余发生器素数模乘同余发生器 ：,.2 , 1n12)12()12(mod31031311xxrxaxnnnin)4 , 3 , 2 , 1( i168071a3972040942a7642611233a6303600164a20思想：思想： 先用一个随机数发生器产生的随机数列为基础，再用另一个发生器对随机数列进行重新排列得到的新数列作为实际使用的随机数。这种把多个独立的发生器以某种方式组

8、合在一起作为实际使用的随机数，希望能够比任何一个单独的随机数发生器得到周期长、统计性质更优的随机数，即组合发生器。 21补充补充2 2：组合发生器：组合发生器 ： Maclaren 和 Marsaglia在1965年提出的著名的组合发生器是组合同余发生器,该算法的具体步骤如下： 222 .用第二个LCG产生一个随机整数 ,要求 ;jkj 13. 令 ，然后再用第一个LCG产生一个随机数 ,令 ；置 ;jntx yytj1 nn4 .重复23，得随机数列 ，即为组合同余发生器产生的数列。若第一个LCG的模为 ，令 ，则 为均匀随机数。nxMMxrnn nr1.用第一个LCG产生 个随机数，一般取

9、 。这 个随机数被顺序地存放在矢量 中。置 ;k),(21ktttT1nk218k23步骤：步骤：检验目的：检验目的：检验均匀伪随机数符合独立同均匀分布；两种检验方法统计检验：统计检验：对生成的伪随机数进行假设检验理论检验：理论检验：从理论上讨论随机数发生器性质统计检验常用近似正态统计量和2统计量以下检验方法一般假设用某发生器生成了均匀分布伪随机数r1，r2，.，rn，来检验这些生成的随机数的各种统计量。 24第三节 随机数检验251 1、特征量检验（参数检验）、特征量检验（参数检验） 2627注：注：若卡方值过大，则拒绝原假设（即分布不是均匀的）：检验随机数在（0,1）区间内分布时均匀的（一

10、）卡方检验法：（一）卡方检验法：（二） Kolmogorov-Smirnov testK-S检验是连续分布的拟合性检验。检验样本的经验分布函数与总体的分布函数间的差异是否显著。2829注：注：R软件检验随机数是否服从某一分布时，可采用这种检验方法。3 3、独立性检验：自相关系数的检验、独立性检验：自相关系数的检验 30 随机数r1,r2,rn中的前后项是否是统计相关性是否是显著的。相关系数反映了数据间的线性相关程度，若独立，则相关系数必为0（反之不一定）。 原假设H0：31R require sample(1:100, 20)#从1到100中无重复抽取20个数；runif(n, min=0,

11、max=1)#产生n个0-1的均匀分布随机数；rnorm (n, mean = 0, sd = 1) #产生n个以0为均值，1为方差的正态分布随机数；rexp： The Exponential Distribution (wiki link) (指数分布，独立随机事件发生的时间间隔)rf：The F Distribution (wiki link) (F分布，两个卡方分布除以各自自由度)rbeta： The Beta Distribution (wiki link)rbinom： The Binomial Distribution (wiki link) (二项分布)rcauchy： The

12、Cauchy Distribution (wiki link) (柯西分布，N阶矩都不存在的分布.)rchisq： The (non-central) Chi-Squared Distribution (wiki link) (卡方分布，正态分布平方的分布)32rgamma： The Gamma Distribution (wiki link) (伽玛分布)rpois： The Poisson Distribution (wiki link) (泊松分布，单位时间内随机事件发生的次数)rgeom： The Geometric Distribution (wiki link) (几何分布，在第n

13、次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率)rhyper： The Hypergeometric Distribution (wiki link) (超几何分布)rlnorm： The Log Normal Distribution (wiki link) (对数正态分布，正态分布的指数的分布)rlogis： The Logistic Distribution (wiki link) (逻辑分布)rmultinom： The Multinomial Distribution (wiki link) (多变量正态分布)rnbinom： The Negative Binomial Distri

14、bution (wiki link) (负二项分布)33R ks.test分布检验ks.test(data, pnorm, mean(data), sd(data)3435假设检验Matlab-require%M-file函数f的定义：判断概率函数function f=p_judge(A,alpha)% 判别所给数据源在置信率为0.05时的概率分布形式。A=A(:);%数据集A的形式为n1。randperm(n)%产生1到n的均匀分布随机序列a=normrnd(0,1,1,6)%正态分布随机数36正态分布mu,sigma=normfit(A);p1=normcdf(A,mu,sigma);H1

15、,s1=kstest(A,A,p1,alpha)n=length(A); if H1=0disp(该数据源服从正态分布。)elsedisp(该数据源不服从正态分布。) end37Gama分布phat=gamfit(A,alpha);p2=gamcdf(A,phat(1),phat(2);H2,s2=kstest(A,A,p2,alpha) if H2=0disp(该数据源服从分布。)elsedisp(该数据源不服从分布。)end38泊松分布lamda=poissfit(A,alpha);p3=poisscdf(A,lamda);H3,s3=kstest(A,A,p3,alpha)if H3=0disp(该数据源服从泊松分布。) elsedisp(该数据源不服从泊松分布。) end39指数分布mu=expfit(A,alpha);p4=expcdf(A,mu);