第3章_光学谐振腔

1、第三章 光学谐振腔谐振腔2q 电磁波在一个空腔内被腔壁来回反射，最终在腔内形成一种稳定的驻波，这种腔体就称为谐振腔在一个封闭的腔内，有三个方向的驻波形式222,xyzmnqkkkLLL每一个振荡模式所占的波矢空间为3(2)xyzkkkL谐振腔333333332234/3()2822()8/333kKKKLLLNLc空体每模式所占体积积32318( )KdNnV dc 0K间波矢量包含的总的模式数为单位体积、单位频率间隔内的模式数为模密度对1cm3的空腔，波长为3cm的微波， N=1对波长为1um的光波，N=8x1012模式太多对形成单一频率的激光不利开式谐振腔 平行于光场传播方向的四周敞开，仅

2、仅在垂直光场传播方向（即光轴）两头设有反射腔镜。稳定腔：几何偏折损耗很低，调整精度要求较低，波形限制能力比较弱，输出光束反射角较大。介稳腔：波形限制能力比较强，光束方向性 好，光腔调整精度要求高，几何偏折损耗较大。非稳腔：波形限制能力比较强，输出光束发散角小，光束质量良好，但单程损耗很高。按照腔的稳定性120111LLRR 共焦腔半共心腔共心腔(0,0)(1,0)平面腔半共心腔(1,1)J1J2(0,1)(-1,-1)o 稳定腔：典型的谐振腔有：平凹腔，双凹腔等o 临界腔（介稳腔）对称共焦腔，平行平面腔，共心腔等o 非稳腔：双凸腔，平凸腔，凹凸腔等120111LLRR 稳定腔的条件第一节 共焦

3、腔中的光束特性o 共焦腔的几何特点LRR21临界腔（介稳腔） 因为 J1=J2=0共焦腔半共心腔共心腔(0,0)(1,0)平面腔半共心腔(1,1)J1J2(0,1)(-1,-1)L光波的波动方程在均匀媒介中的电磁波的波动方程)exp()exp()(exp00iwtikzEwtiEErk在均匀媒介中的平面波的波函数（沿Z方向传播）220Ek E当振幅在空间不再是常数时，可写成一般形式)exp()exp(),(iwtikzzyxE轴对称型电磁波，可写为)exp()exp(),(iwtikzzrE对于缓变的电磁波，要求022zzo 如果沿z轴传播的平面光波可以表示成：o 球面波表示成：nK20ARA

4、0为振幅为振幅， R为半径，等R 等振幅，等位相0( , , )exp()exp()E x y zAiKzi t波矢0( , , )exp()exp()AE x y ziKRi tR2园频率高斯光束的波动方程把E代入波动方程，可以得到在直角坐标下的波动方程为222220ikxyz)()(2(exp)()(exp)(),(222220zizzRyxikzWyxzWAzyxE沿z轴传播的高斯光束的电矢量为波动方程的解E代入微分方程可以得到W、R等的关系式其中一种特解为高斯光束： 高斯光束的特点高斯光束的特点 高斯光束的场分布为z轴旋转对称，中心处是强度为高斯分布的平面波，在其他处为高斯分布的球面波

5、。)()(2(exp)()(exp)(),(222220zizzRyxikzWyxzWAzyxE其电场可以表示为：共焦腔的场即为高斯场)()(2(exp)()(exp)(),(222220zizzRyxikzWyxzWAzyxE21220)(1)(WzzW)0(0WW )(1 )(220zWzzR20arctan)(Wzz沿z轴传播的高斯光束的电矢量z点处光斑半径高斯光束的腰粗z处波阵面曲率半径相位因子（又称束腰半径）空间传播的高斯光束是一种高斯球面波o 波阵面的曲率半径为R(z)o 光斑半径为W(z)o 光束横截面上的光斑尺寸W(z)随z变化，呈特定的函数关系高斯光束在z=0时exp)0 ,

6、(20200WrWAyxE222yxr00eWA其中 可见高斯光束在z=0处的波阵面是平面，但它的E矢量振幅分布是高斯分布。-W0W0E00WAW0称为高斯光束的束腰（光斑）半径称为高斯光束的束腰（光斑）半径22000lim( )lim1zzWR zzz 高斯光束特性o 高斯光束的束斑（光束半径）o 场强分布o 光强分布exp)0 ,(20200WrWAyxEmax( )ErzEeErEmax0max00ArEEW2220max222( , , )exp( )( )AIrIE x y zW zWze高斯光束在 时， 在z=0附件有00 zz21402220001 )(WzWzW 振幅中心部分最

7、强，按高斯曲线规律向外逐渐减弱。束腰光斑尺寸z=0处光斑半径 最小，称之为束腰半径（腰粗）。0W220( , , )exp2AxyE x y ziK zRR高斯光束发散角21222020)(2)(22zWWzdzzdW高斯光束发散角的特点o z=0， 2=0o z= 2=o z 2=0/2W20W02W或者zzWx)(2lim2令 f为高斯光束的共焦参数，20Wf fzfzfzzWzz2)1 (2lim)(2lim222共焦参数的物理意义：在 两光斑之间距离的一半等价共焦腔zfzzWzzR2220)(1 )(第二节 共焦光学谐振腔中基模的分布tan)(2(exp)(exp)(),(222000

8、fzacrzzRrikzWrzWAzyxE一、基模高斯光束的基本性质)(1 )()(1 )(2222/1200222zfzzRfzWzWWRfkyxr1. |z|=f时，02)(WzWfzR2)(2. |z|2f, 波面球心-f, |z|f时，波面球心-f,03. 可以用f和W0来表征高斯光束2k202WRf2/1201)(fzWzW21)(zfzzR共焦腔的腔镜结构确定222221)(zfzRzR211111)(zfzRzRLzz1221122)(RRLLRLz21212)(RRLLRLz 22121212)()(RLRLLRRLRLRLf原则：腔镜与高斯光束波面匹配原则：腔镜与高斯光束波面

9、匹配共焦腔中基模光斑尺寸121241111212214222121121240212()( )()()()( )()()()()()(2 )R RLLW W zL RL RRLR RLLWW zL RL RRLRL RL RRLLWRRL确定反射镜（腔镜）的大小对称稳定腔RRR21)(2)(1RLLRLz)(2)(2RLLRLz2)2(LRLf腔内基模光斑尺寸随z的变化为)2(412)()()(24/121LRLzLLRRzWzWzW为此我们可以得到腔镜上的光斑大小，及z=L/2时的光斑值以及腔中心z=0时最小光斑尺寸（腰斑）4/1221)2(LRLRLWW4/14/1011222JJLLLR

10、LWo 对称稳定腔o 平凹腔的腰斑中心就在平面镜上，1,2121JJRRR给定L，变化R时，共焦腔镜面光斑为极小LW 给定R，变化L时，共焦腔 的腰斑光斑为极大02RW120()zzLfL RL当R=2L时，凹镜光斑与等价共焦腔的反射镜相等基模远场发散角基模远场发散角412)(12222222LRLLL4/1212122121)1 (222JJJJJJJJL对称共焦腔情况下半共焦情况下平-凹腔情况下稳定球面腔的基模远场发散角02W用菲涅耳数N定义为衍射损耗o 任何实际的激光谐振腔中，腔镜的透射与限制孔阑（包括激光介质材料端面边缘口径）均会造成光束损耗o 孔阑造成的损耗主要是衍射损耗，该损耗主要

11、取决于孔阑位置激光束的直径与孔阑直径o 用菲涅尔系数N来表示激光束大小与孔阑大小之间的关系，进而表示衍射损耗202222WafaLaN物理意义：从一个反射镜的中心向对面的一个反射镜看过去的接收角（a/L)与光束衍射角(/a)之比， N越大，损耗越小共焦稳定腔一般稳定球面腔两个反射镜的有效菲涅耳数为21211222222222121212121211)1 ()1 (JJJJLaWaNJJJJLaWaNeeeNWaWa22222121N1是从镜中间发出的光束在镜间往返一次不致发生衍射逸出的条件N表示不致于衍射逸出腔外的最大往返次数1/N表示每往返一次衍射损耗占模式总能量的比率一般稳定球面腔的基横模

12、体积横模体积0022100) 12)(12()2(21VnmVWWLVmn多横模的横模体积模式在腔内扩展的空间体积，横模体积大，有可能有较大的输出功率横模阶数越高，横模的体积越大，即高阶模式激光能产生较大的激光输出轴对称高阶横模轴对称高阶横模 振幅分布特征振幅分布特征第三节 谐振腔中的高阶振荡模)(exp)()(),(2220zWyxYHXHAzyxAnmmnmnmnTEM020222)2()!2( !) 1() 1()(,)(2,)(2nKknKxnnxnnmnxKnKnedxdexHAzryYzrxX其中)(),(YHXHnm为一常数为埃尔米特多项式o 利用谐振条件，确定各高阶模（mn）的

13、谐振频率o 所以，有TEMmnq模的谐振频率为21212()(1)()( )2K zzmnzzq1211 arccos2mnqcqmnJ JL几种典型谐振腔的谐振频率几种典型谐振腔的谐振频率严格的平行平面腔qLcmnq2)1(1221) 1(2nmqLcRLnmqLcmnqmnqqLcmnq2实际的平行平面腔共焦腔共心腔高斯光束通过薄透镜时的变化高斯光束通过薄透镜时的变化第四节 高斯光束通过透镜时的变换fRR11121fRRWW111122112222221222222202)(1 )(1 WRRzRWWW薄透镜物方和像方光束的分布一致fzW,101已知 时，可求出薄透镜对高斯光束薄透镜对高斯

14、光束q参数的变换参数的变换将坐标原点放在高斯光束束腰上时zqzWizq020)(以上图为例2020220101121212)1 ()()()1 (WiqqWiqqfzfqfzzzzqfzq20220121WWzfzffzzzzfqq21210201)()1 ()1 (1 )()1 (201211220121201202fWfzfzfzfWfzWW012021)1 ()1 (qfzqfz)1 (12122022012fzzzfWW高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦22011201202)()1 (fWfzWW02W1zfz 101zfz 1fz 1fW201当f一定时， 随 变化的情况 202W1z1z1z202W 时， 随 的减小而减小02W 时， 达到最大值，束腰放大率M小于 时， 随 的增大而单调地减小，fz 102W ， 达到最大值。不论 的值有多大，只要 ，就能实现一定的聚焦作用1z1，因而只要f0,都有一定的聚焦