第04章平面问题的极坐标解答

1、第四章第四章平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答本章将系统地平面问题极坐标解答的基本理论。本章将系统地平面问题极坐标解答的基本理论。主要内容如下：主要内容如下：1 1、极坐标系下平面问题的基本方程；、极坐标系下平面问题的基本方程；2 2、极坐标系下按应力求解的方法；、极坐标系下按应力求解的方法；3 3、极坐标系下典型问题的求解；、极坐标系下典型问题的求解；本章学习指南本章学习指南为了牢固地掌握极坐标系下平面问题的基本为了牢固地掌握极坐标系下平面问题的基本理论，要求理解：理论，要求理解：1 1、极坐标系求解的适用对象；、极坐标系求解的适用对象；2 2、极坐标系下基本未知函数的表示方法及、极坐

2、标系下基本未知函数的表示方法及与直角坐标表示法的异同；与直角坐标表示法的异同；3 3、极坐标系下基本方程和按应力求解方法，、极坐标系下基本方程和按应力求解方法，并比较与直角坐标系的基本方程和解法的异同；并比较与直角坐标系的基本方程和解法的异同；本章学习指南本章学习指南q 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程q 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程q 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程q 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 q 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移q 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力q 圆孔的孔口应力集中圆孔

3、的孔口应力集中q 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力q 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力主要内容主要内容绪论绪论 采用极坐标系求解的优点采用极坐标系求解的优点：对于由由径向线或圆弧线所围：对于由由径向线或圆弧线所围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体，由于用极坐标表示成的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体，由于用极坐标表示其边界线非常方便，从而使得边界条件的表示和基本方程的求其边界线非常方便，从而使得边界条件的表示和基本方程的求解得到很大的简化，宜用极坐标求解。解得到很大的简化，宜用极坐标求解。 极坐标系中任一点用径向坐标极坐标系中任一点用径向坐标 r r 和和环向

4、坐标环向坐标 f f 表示，与直角坐标系相比：表示，与直角坐标系相比：相同点：相同点：均为正交坐标系；均为正交坐标系；不同点：不同点：直角坐标系中两坐标线均直角坐标系中两坐标线均为直线，有固定方向，量纲均为为直线，有固定方向，量纲均为L；而而极坐标系中径向坐标线为直线，环向坐极坐标系中径向坐标线为直线，环向坐标线则为圆弧曲线，不同点有不同方向标线则为圆弧曲线，不同点有不同方向，量纲分别为，量纲分别为L和一。和一。 上述区别会引起弹性力学基本方程的差异。上述区别会引起弹性力学基本方程的差异。绪论绪论正负号规定：正负号规定：正坐标面上以沿正坐标方向为正，负向为负正坐标面上以沿正坐标方向为正，负向为

5、负；负坐标面上以沿负坐标方向为正，正向为负；负坐标面上以沿负坐标方向为正，正向为负；径向及环向的体力分量分别用径向及环向的体力分量分别用fr r和和fj j表示，以沿正坐标方向表示，以沿正坐标方向为正，负向为负。为正，负向为负。应力分量的定义：应力分量的定义： 选取由两条径向线和两条环向选取由两条径向线和两条环向线所围成的微分体线所围成的微分体PACB，厚度厚度为为1 1。沿。沿r r方向的正应力称为径向方向的正应力称为径向正应力，用正应力，用s sr r表示；沿表示；沿j j方向的正方向的正应力称为环向正应力或切向正应应力称为环向正应力或切向正应力，用力，用s sj j表示；切应力用表示；切

6、应力用t trjrj及及t tjrjr表示表示4.1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程 考虑问题的基础知识：平面上的静力学知识考虑问题的基础知识：平面上的静力学知识 分析问题方法：平面力系和力矩的平衡条件分析问题方法：平面力系和力矩的平衡条件 分析手段：微分单元体（微分）分析手段：微分单元体（微分） 意义：平面区域内任一点的微分体的平衡条件意义：平面区域内任一点的微分体的平衡条件极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程径向面径向面PB和和AC的面积不相同，的面积不相同，分别为分别为 r rdf f1 1 和和 ( (r+r+dr )r )df f 1 1，环向面环向面PA和和B

7、C的面积均为的面积均为dr r 1 1，但两者不平行。但两者不平行。与直角坐标中相似，利用与直角坐标中相似，利用级数展开，可求出各微面级数展开，可求出各微面上的应力。上的应力。力矩平衡条件：力矩平衡条件：由由通过中心点并平行于通过中心点并平行于Z轴的直轴的直线为转轴线为转轴，根据力矩的平衡条件，根据力矩的平衡条件，可推导出可推导出“切应力互等定理切应力互等定理”，即，即jrrjtt0M极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程力系平衡条件：力系平衡条件： 将微分体所受各力分别投影将微分体所受各力分别投影到到微分体中心的径向轴和环向微分体中心的径向轴和环向轴轴上，可分别列出径向和环向上，可分别

8、列出径向和环向的平面平衡方程，即的平面平衡方程，即02101+jrjjrjrjrrjrrtjsrrtrssjtrrsff00jrFF平衡微分方程：注意事项平衡微分方程：注意事项列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用面积和体积，才能得到合力；面积和体积，才能得到合力；应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假设，这也是其适用的条件；设，这也是其适用的条件；平衡微分方程表示了平面区域内任一点的平衡条件平衡微分方程表示了平面区域内任一点的平衡条件平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程相同平面应力问题和平面应变问题的平衡

9、微分方程相同q 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程q 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程q 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程q 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 q 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移q 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力q 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中q 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力q 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力主要内容主要内容4.2 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标系中的应变分量：极坐标系中的应变分量：径向线应变径

10、向线应变e er r ：径向线段的线应变：径向线段的线应变环向线应变环向线应变e ej j ：环向线段的线应变：环向线段的线应变切应变切应变g grjrj ：径向和环向两线段间直角的改变：径向和环向两线段间直角的改变 极坐标系中的位移分量：极坐标系中的位移分量：径向位移径向位移u ur r ：径向方向的位移：径向方向的位移环向位移环向位移u uj j ：环向方向的位移：环向方向的位移 为了推导方便，先分别考虑只有径向位移和只有环为了推导方便，先分别考虑只有径向位移和只有环向位移的情形，然后根据弹性力学的叠加原理，得到向位移的情形，然后根据弹性力学的叠加原理，得到径向和环向位移都发生时极坐标系中

11、的几何方程。径向和环向位移都发生时极坐标系中的几何方程。极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程首先，假定只有径向位移，图中首先，假定只有径向位移，图中P P、A A和和B B点的位移分别为：点的位移分别为：径向线段径向线段PAPA的线应变和转角分别为的线应变和转角分别为jjrrrrrrrduuBBduuAAuPP+0rerruPAPAAP环向线段环向线段PBPB的线应变和转角分别为的线应变和转角分别为jrrerrjuPBPPBBuPBPBCP1cos/切应变为切应变为jrgrrj+u1极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程其次，假定只有环向位移，图中其次，假定只有环向位移，图中P P、A A和和B

12、 B点的位移分别为：点的位移分别为：径向线段径向线段PAPA的线应变和转角分别为的线应变和转角分别为jjrrjjjjjduuBBduuAAuPP+ + rejr uPAPPAA0环向线段环向线段PBPB的线应变和转角分别为的线应变和转角分别为rjrejjjuPPOuPBPBBP 1切应变为切应变为rrgjjrjuu+极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程根据叠加原理，当同时发生径向和环向位移时，根据叠加原理，当同时发生径向和环向位移时，极坐标中的几何方程为上述两种情形结果的叠加：极坐标中的几何方程为上述两种情形结果的叠加：rrjrgjrrerejjrrjjrjrruuuuuu+11（4-2）应用

13、了两个基本假设：连续性假设和小变形假应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假设，这也是其适用的条件；设，这也是其适用的条件；极坐标中的物理方程极坐标中的物理方程由于本构方程是弹性体弹性参数的反映，与坐标系的选由于本构方程是弹性体弹性参数的反映，与坐标系的选择无关。对于直角坐标系和极坐标系，因为它们都是正交择无关。对于直角坐标系和极坐标系，因为它们都是正交坐标系，因此两坐标系下的物理方程具有相同的形式。坐标系，因此两坐标系下的物理方程具有相同的形式。物理方程：应力与应变的关系物理方程：应力与应变的关系对于对于理想弹性体理想弹性体，平面应力问题的物理方程，平面应力问题的物理方程xyxyxyyyxx

14、EEEtgssesse)1(2)(1)(1+极坐标中的物理方程极坐标中的物理方程对于理想弹性体，将直角坐标系的物理方程中下标作相对于理想弹性体，将直角坐标系的物理方程中下标作相应的替换，可得极坐标中平面应力问题的物理方程如下：应的替换，可得极坐标中平面应力问题的物理方程如下：将平面应力问题物理方程中的将平面应力问题物理方程中的 E 和和 作如下替换，可作如下替换，可得平面应变问题的物理方程（得平面应变问题的物理方程（4-44-4）112EErjrjrjjjrrtgssesseEEE)1(2)(1)(1+（4-3）xyxyxyyyxxEEEtgssesse)1(2)(1)(1+极坐标中的边界条件

15、极坐标中的边界条件1 1、对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面通常均为坐标面，即通常均为坐标面，即r r面（面（r r为常数）和为常数）和f f面（面（f f为常数为常数），使边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十），使边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十分简单。分简单。 2 2、对于应力边界条件，通常给定径向和切向面力值，对于应力边界条件，通常给定径向和切向面力值，可直接与对应的应力分量建立等式（可直接与对应的应力分量建立等式（注意符号规定注意符号规定）极坐标系中边界条件的处理：极坐标系中边界条件的处理：应力边界条件：应力边界条件：)

16、()()()(sfmlsfmlssjjrjrrjrstts+极坐标中的边界条件极坐标中的边界条件3 3、对于位移边界条件，所给定的约束条件通常是径向对于位移边界条件，所给定的约束条件通常是径向位移值和环向位移值，可直接由位移值和环向位移值，可直接由 ur r 和和 uj j 建立等式建立等式)()(),()(suusuussjjrr例题例题例例1 1、写出习题、写出习题4 49 9的应力边界条件的应力边界条件例例2 2、写出习题、写出习题4 41212的应力边界条件的应力边界条件在在y轴正半轴上（正轴正半轴上（正f f面）：面）：q22)(, 0)(jrjjjts在在y轴负半轴上（负轴负半轴上

17、（负f f面）：面）：在在左边界左边界上（正上（正f f面）：面）：q22)(, 0)(jrjjjts在在右边界右边界上（负上（负f f面）：面）：q22)(, 0)(jrjjjtsq22)(, 0)(jrjjjtsq 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程q 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程q 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程q 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 q 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移q 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力q 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中q 半平面体在边界上受集中力半平面体在

18、边界上受集中力q 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力主要内容主要内容4.3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程极坐标系中的一切公式，可以如同直角坐标系中一样从极坐标系中的一切公式，可以如同直角坐标系中一样从头导出，但是也可以简化公式的推导，直接通过坐标变换头导出，但是也可以简化公式的推导，直接通过坐标变换关系，将直角坐标系中的各种物理量和公式转换到极坐标关系，将直角坐标系中的各种物理量和公式转换到极坐标系中。系中。变换变换1 1：坐标变量的变换：坐标变量的变换：jrjrsin,cosyx反之：反之：xyyxarctan,222+jr极坐标中的应力函数与相容方

19、程极坐标中的应力函数与相容方程变换变换2-2-函数的变换：函数的变换：只需将上述坐标变换式（只需将上述坐标变换式（a a）或（或（b b）代入函代入函数即可。数即可。jjjjjrjrcossinsincosuuvuuu+反之：反之：变换变换33位移的变换：位移的变换：如图，通过投影的方法，可得位移的坐标变如图，通过投影的方法，可得位移的坐标变换式如下：换式如下：jjjjjrcossinsincosvuuvuu+)sin,cos(),(jrjrfyxf极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程变换变换44导数的变换：导数的变换：由坐标变量的变换由坐标变量的变换，可得导数的可得导数的

20、变换式变换式rjrjrjrjjrrjrrcos)(11,sin)(1sin22,cos22222222222+xxyxyyxyxyxyyxyyxyxxxxyyxarctan,222+jr极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程变换变换55应力函数的一阶导数的变换：由复合函数的求应力函数的一阶导数的变换：由复合函数的求导法则导法则jrjrjjjrrjrjrjjjrr+cossinsincosyyyxxx变换变换66应力函数的二阶导数的变换可从一阶导数得出应力函数的二阶导数的变换可从一阶导数得出，因为：，因为：同理，即可得出教材中的同理，即可得出教材中的( (a)-a)-（c c）

21、式）式)sin)(cossin(cos)(22jrjrjjrjrjxxx极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程)1()()()()(11)()(0202202202220220jrrttrssjrrrssjjrjjjjjjr+yxxyxyyx（4-5）应力分量表达式应力分量表达式由左图可知，当由左图可知，当x轴和轴和y轴分别轴分别转到转到r r轴和轴和j j轴轴时，有时，有 j0j0，由直由直角坐标中应力分量的表达式，当不角坐标中应力分量的表达式，当不计体力时，极坐标中应力分量可由计体力时，极坐标中应力分量可由应力函数表达如下：应力函数表达如下：极坐标中的应力函数与相容方程极

22、坐标中的应力函数与相容方程将教材中的将教材中的( (a)a)和和（b b）式相加，得到应力函数的拉普拉式相加，得到应力函数的拉普拉斯算子运算式如下：斯算子运算式如下：+)11()(2222222222222jrrrryxyx根据上式及直角坐标系下的相容方程，当不计体力时，根据上式及直角坐标系下的相容方程，当不计体力时，可得极坐标中的相容方程为可得极坐标中的相容方程为011)()(22222222222222+jrrrryxyx(4-6)极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程综上所述，当不计体力时，在极座标中按应力求解平面问综上所述，当不计体力时，在极座标中按应力求解平面问题时

23、，归结为求解一个应力函数，它必须满足：题时，归结为求解一个应力函数，它必须满足：（1 1）在区域内满足极座标中的相容方程（）在区域内满足极座标中的相容方程（4-64-6）；）；（2 2）在边界上满足应力边界条件（假定全部为应力边）在边界上满足应力边界条件（假定全部为应力边界条件）；界条件）；（3 3）如为多连体，还须满足单值连续条件；）如为多连体，还须满足单值连续条件；求解应力函数的方法与直角坐标系下一样，仍可采用逆求解应力函数的方法与直角坐标系下一样，仍可采用逆解法和半逆解法；解法和半逆解法；求得上述条件的应力函数后，由（求得上述条件的应力函数后，由（4-54-5）式可求应力分）式可求应力分

24、量；进而由物理方程求应变分量，由几何方程求位移分量量；进而由物理方程求应变分量，由几何方程求位移分量q 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程q 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程q 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程q 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 q 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移q 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力q 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中q 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力q 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力主要内容主要内容4.4 应力分量的坐标变换应力分量

25、的坐标变换由于应力分量不但具有方向性，而且与作用面有由于应力分量不但具有方向性，而且与作用面有关，为了建立应力分量的坐标变换式，应取出包含关，为了建立应力分量的坐标变换式，应取出包含两种坐标面的微分体，然后考虑微分体的静力平衡两种坐标面的微分体，然后考虑微分体的静力平衡条件，可得出该变换式。条件，可得出该变换式。由一点的应力状态分析可知，由已知的直角坐标由一点的应力状态分析可知，由已知的直角坐标中的应力分量求极坐标中的应力分量，或者由已知中的应力分量求极坐标中的应力分量，或者由已知的极坐标中的应力分量求直角坐标中的应力分量，的极坐标中的应力分量求直角坐标中的应力分量，就需要建立两个坐标系中应力

26、分量的关系式，即应就需要建立两个坐标系中应力分量的关系式，即应力分量的的坐标变换式。力分量的的坐标变换式。应力分量的坐标变换应力分量的坐标变换如图，当取厚度为如图，当取厚度为1 1，包含，包含x x面、面、y y面和径向坐标面的微小三角板面和径向坐标面的微小三角板A A时，时，由微分体沿径向和环向两个方向的由微分体沿径向和环向两个方向的静力平衡条件，可得如下变换式：静力平衡条件，可得如下变换式：同理，当取厚度为同理，当取厚度为1 1，包含，包含x x面、面、y y面和环向坐标面的微面和环向坐标面的微小三角板小三角板B B时，由微分体的沿径向和环向两个方向的静力时，由微分体的沿径向和环向两个方向

27、的静力平衡条件，可得如下变换式：平衡条件，可得如下变换式：jtjjsstjtjsjssrjr2cossincos)(2sinsincos22xyxyxyyx+00jrFFjtjjsstjtjsjssjrj2cossincos)(2sincossin22xyxyxyyx+00jrFF应力分量的坐标变换应力分量的坐标变换综上，可得应力分量由直角坐标向极坐标的变换式为：综上，可得应力分量由直角坐标向极坐标的变换式为：jtjjsstjtjsjssjtjsjssrjjr2cossincos)(2sincossin2sinsincos2222xyxyxyyxxyyx+（4-7）同理，如果考虑同理，如果考虑

28、x x和和y y方向的静力平衡条件，可导出应方向的静力平衡条件，可导出应力分量由极坐标向直角坐标的的转换式：力分量由极坐标向直角坐标的的转换式：jtjjsstjtjsjssjtjsjssrjjrrjjrrjjr2cossincos)(2sincossin2sinsincos2222+xyyx（4-8）q 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程q 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程q 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程q 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 q 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移q 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受

29、均布压力q 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中q 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力q 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力主要内容主要内容4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移轴对称：轴对称：物体的形状或物理量是绕一轴对称的，凡物体的形状或物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面均是对称面。通过对称轴的任何面均是对称面。由于对称，在对称面两边对应点的物理量必须满足由于对称，在对称面两边对应点的物理量必须满足如下两个条件如下两个条件（1 1）数值必须相等）数值必须相等：在极座标下，任一环向线上：在极座标下，任一环向线上的各点的应力分量的数值相同。因此

30、，它只能是径向坐的各点的应力分量的数值相同。因此，它只能是径向坐标标 r r 的函数，不随环向坐标的函数，不随环向坐标 f f 改变，即与改变，即与 f f 无关。由无关。由此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少一维。此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少一维。（2 2）方向必须对称）方向必须对称，即方向对称于，即方向对称于z轴，方向不对轴，方向不对称的物理量不能存在。称的物理量不能存在。轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移（1 1）假设应力函数：）假设应力函数：应力是轴对称的，从方向的对应力是轴对称的，从方向的对称性可得称性可得 t trjrj t tjrjr=0，由数值的对称性

31、可知应力函数由数值的对称性可知应力函数只是径向坐标的函数：只是径向坐标的函数：)(r代入极坐标系中的应力公式（代入极坐标系中的应力公式（4-54-5）0,122jrrjjrttrsrrsdddd（4-9）)1(1122222jrrtrsjrrrsrjjr+化简得：化简得：按逆解法进行求解按逆解法进行求解轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移（2 2）由相容方程求应力函数的一般形式：）由相容方程求应力函数的一般形式：上述应力函上述应力函数必须满足相容方程，代入式（数必须满足相容方程，代入式（4-64-6）得：）得：0122)(1111132223344222222222+rrrrrrrrr

32、rrrrrrrrrjrrrrdddddddddddddddddddd其中其中A、B、C和和D为四个待定常数。为四个待定常数。方程为一个四阶常微分方程，其全部通解只有方程为一个四阶常微分方程，其全部通解只有4 4项。上式项。上式积分积分4 4次，即得到轴对称应力状态下应力函数的通解：次，即得到轴对称应力状态下应力函数的通解：DCBA+22lnlnrrrr（4-10）（3 3）求应力分量：）求应力分量：将公式（将公式（4-104-10）代入（）代入（4-94-9），得轴），得轴对称应力的应力分量为：对称应力的应力分量为：轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移对于平面应力情况，将上述应力代入物

33、理方程（对于平面应力情况，将上述应力代入物理方程（4-34-3），），可求得相应的应变分量（可求得相应的应变分量（见教材见教材），），它们也是轴对称它们也是轴对称。将上面所求的应变分量代入几何方程（将上面所求的应变分量代入几何方程（4-24-2），通过积分，），通过积分，可得到轴对称应力状态下的位移分量如公式（可得到轴对称应力状态下的位移分量如公式（4-124-12），位移），位移分量中包含了非轴对称的项。（分量中包含了非轴对称的项。（详细过程见教材，并参考高详细过程见教材，并参考高等数学的有关常微分方程解的内容等数学的有关常微分方程解的内容）02)ln23(2)ln21 (12222+jrr

34、jjrttrrrsrrrrsCBAddCBAdd（4-11）以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一般性解答，适用于任何轴对称应力问题。般性解答，适用于任何轴对称应力问题。轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移应力分量（应力分量（4-11）和位移分量（）和位移分量（4-12）中的待定常数，）中的待定常数，可通过应力边界条件和位移边界条件（多连体中还须考可通过应力边界条件和位移边界条件（多连体中还须考虑位移单值条件）来确定。虑位移单值条件）来确定。将平面应力问题解答中的将平面应力问题解答中的 E 和和 作如下替换，可得作如下替换，可得平面

35、应变问题的解答。平面应变问题的解答。112EE轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移一般而言，产生轴对称应力状态的条件是一般而言，产生轴对称应力状态的条件是：弹性体：弹性体的形状和应力边界条件必须是轴对称的。由此得出的的形状和应力边界条件必须是轴对称的。由此得出的应力分量和应变分量是轴对称的。应力分量和应变分量是轴对称的。如果位移边界条件也是轴对称的，则位移也是轴对如果位移边界条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的。称的。q 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程q 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程q 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程q

36、 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 q 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移q 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力q 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中q 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力q 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力主要内容主要内容4.6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力圆环和圆筒是工程中常见的重要构件之一，如高压管圆环和圆筒是工程中常见的重要构件之一，如高压管筒、炮筒等。圆环（平面应力问题）和圆筒（平面应变筒、炮筒等。圆环（平面应力问题）和圆筒（平面应变问题）受到内外均布压力作用。显然，它属于轴对称应问题）受到内外均布压

37、力作用。显然，它属于轴对称应力问题，完全可以应用上节中轴对称应力问题的通解：力问题，完全可以应用上节中轴对称应力问题的通解：02)ln23(2)ln21 (22+jrrjjrttrrsrrsCBACBA(4-11)其中的其中的3 3个待定常数根据内外边界个待定常数根据内外边界面上的应力边界条件来确定。面上的应力边界条件来确定。圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力由于轴对称，关于切应力的两个条件是由于轴对称，关于切应力的两个条件是自然满足的。将应力分量表达式自然满足的。将应力分量表达式(4-11)(4-11) 代代入入( (a)a)式，得到式，得到 2 2 个方程个方程( (b)b)式，显然

38、不能式，显然不能确定确定 3 3 个待定常数个待定常数A、B、C。在内外边界面上，分别有应力边界条件：在内外边界面上，分别有应力边界条件：0,0,21RRrrqqrrjrrrrjrrtsts(a)圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力将将 B=0 代入方程式代入方程式(b)，即可解得另两个待定常数即可解得另两个待定常数A、C。2222212212222,)(rRRqrqCrRqqRrA由于圆环和圆筒是二连体，其位移分量必须满足位移由于圆环和圆筒是二连体，其位移分量必须满足位移单值条件。由位移解答式单值条件。由位移解答式(4-12)(4-12)中关于环向位移的解，中关于环向位移的解，对于同一点

39、对于同一点 ( (r,jr,j) ) 和和 ( (r,jr,j+2)+2) ，将会得到不同的位移，将会得到不同的位移，这是不可能的。这是不可能的。jjrrjjcossin4KIHEBu+于是由位移单值条件可见必须有：于是由位移单值条件可见必须有：B=0圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力将待定常数将待定常数A、B、C代入应力分量表达式代入应力分量表达式(4-11)，整理可得应力解答式整理可得应力解答式(4-13)。222221222222222122221111,1111qRrrqrRRqRrrqrRR+rrsrrsjr圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力下面利用上述解答讨论两种特例：

40、下面利用上述解答讨论两种特例：即内压力和外压力即内压力和外压力单独作用时的情况单独作用时的情况。1、如果只有内压力如果只有内压力 q1 作用，则外压力为作用，则外压力为0 0，代入应力，代入应力解答式解答式( (4-13) )，化简得，化简得122221222211,11qrRRqrRR+rsrsjr222221222222222122221111,1111qRrrqrRRqRrrqrRR+rrsrrsjr圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力显然，由应力公式可知，径向显然，由应力公式可知，径向应力总为负值，即为压应力；应力总为负值，即为压应力；环向应力总为正值，即为拉应环向应力总为正值，即

41、为拉应力。应力分布大致如图所示。力。应力分布大致如图所示。最大值发生在内壁处最大值发生在内壁处。当外半径趋于无限大时，由上式可得具有当外半径趋于无限大时，由上式可得具有圆孔的无限大薄板或具有圆孔道的无限大弹圆孔的无限大薄板或具有圆孔道的无限大弹性体的应力解答：性体的应力解答：122221222211,11qrRRqrRR+rsrsjr122122,qrqrrsrsjr可知在远离小孔处的应力可忽略不计。可知在远离小孔处的应力可忽略不计。圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力2 2、如果只有外压力如果只有外压力 q2 作用，则内压力为作用，则内压力为0 0，代入应力解，代入应力解答式答式(4-1

42、3)(4-13)，化简得，化简得显然径向应力和环向应力都是总为负显然径向应力和环向应力都是总为负值，即为压应力。应力分布大致如图值，即为压应力。应力分布大致如图所示。所示。最大环向应力发生在内壁处最大环向应力发生在内壁处222222222211,11qRrrqRrr+rsrsjr(4-14)222221222222222122221111,1111qRrrqrRRqRrrqrRR+rrsrrsjrq 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程q 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程q 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程q 应力分量的坐标变换式应力分量

43、的坐标变换式 q 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移q 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力q 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中q 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力q 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力主要内容主要内容4.8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中“小孔口问题小孔口问题”应符合两个条件：应符合两个条件：（1 1）孔口尺寸远小于弹性体的）孔口尺寸远小于弹性体的尺寸尺寸，这使孔口的存在所引起的应力扰动只局限于一个小的范围内，这使孔口的存在所引起的应力扰动只局限于一个小的范围内；（2 2）孔边距离弹性体边界比较远（约大于）孔边距离弹性体边

44、界比较远（约大于1.51.5倍的孔口尺寸）倍的孔口尺寸），这使孔口与边界之间不发生相互干扰。这使孔口与边界之间不发生相互干扰。在小孔口问题中，孔口附近将发生应力集中现象，它具有两个在小孔口问题中，孔口附近将发生应力集中现象，它具有两个特点：特点：（1 1）孔附近的应力高度集中）孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于远处，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。的应力，或远大于无孔时的应力。（2 2）应力集中的局部性）应力集中的局部性，由于，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.51.5倍的孔口尺倍的孔口尺寸（如圆也直径

45、）的范围内，在此范围之外，可以忽略不计。寸（如圆也直径）的范围内，在此范围之外，可以忽略不计。下面分四种情况讨论圆孔口的一些解答：下面分四种情况讨论圆孔口的一些解答：双向均布拉力、均布拉双向均布拉力、均布拉力和压力（相等和不相等两种情况）、只有力和压力（相等和不相等两种情况）、只有x向的均布拉力向的均布拉力。圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中1 1、距圆孔较远处的应力场为双向均布拉力、距圆孔较远处的应力场为双向均布拉力由于主要考虑圆孔附近的应力，故采用极由于主要考虑圆孔附近的应力，故采用极坐标系求解。坐标系求解。以坐标原点为圆心，以远大于以坐标原点为圆心，以远大于r r的长度的长度R R为为

46、半径作大圆，由应力集中的局部性可知，在半径作大圆，由应力集中的局部性可知，在大圆周上各点的应力情况与无孔时相同，即大圆周上各点的应力情况与无孔时相同，即0,xyyxqtss代入应力分量坐标变换式（代入应力分量坐标变换式（4-74-7），得大圆周上的极坐标应力分量为），得大圆周上的极坐标应力分量为0,rjrtsq因此求解圆孔附近的应力分布问题就转化为内半径为因此求解圆孔附近的应力分布问题就转化为内半径为r r、外半径为外半径为R R的的圆环或圆筒在外边界受均布拉力的轴对称应力问题。圆环或圆筒在外边界受均布拉力的轴对称应力问题。圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中根据上节中圆环只有外压力作用时根据

47、上节中圆环只有外压力作用时的解答式（的解答式（4-144-14），可取外压力为），可取外压力为q2=-q，代入得代入得由于由于 R 远大于远大于 r ，上式可化简为上式可化简为qRrrqRrr2222222211,11+rsrsjr)1 (, )1 (2222rsrsjrrqrq+(4-17)圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中2、距圆孔较远处的左右两边受均布拉力、距圆孔较远处的左右两边受均布拉力q、上下两边受均布压力上下两边受均布压力q以坐标原点为圆心，以远大于以坐标原点为圆心，以远大于r r的长度的长度R R为为半径作大圆，由应力集中的局部性可知，在半径作大圆，由应力集中的局部性可知，在大

48、圆周上各点的应力情况与无孔时相同，即大圆周上各点的应力情况与无孔时相同，即0,xyyxqqtss代入应力分量坐标变换式（代入应力分量坐标变换式（4-74-7），得大圆），得大圆周上极坐标应力分量为（周上极坐标应力分量为（也是外边界条件也是外边界条件）jtjsrrjrr2sin,2cosqqRR在孔边处的边界条件为（在孔边处的边界条件为（也是内边界条件也是内边界条件）0, 0rrrrjrrts圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中jrtjrsrjr2sin)(2cos)(21ff或（1 1）由边界处的边界条件，假设应力分量的函数形式：）由边界处的边界条件，假设应力分量的函数形式：（2 2）代入极坐

49、标中应力分量与应力函数的关系（）代入极坐标中应力分量与应力函数的关系（4-54-5），），得应力函数的一般形式如下：得应力函数的一般形式如下：因此求解圆孔附近的应力分布问题转化为一个非轴对称应因此求解圆孔附近的应力分布问题转化为一个非轴对称应力问题，下面采用半逆解法来进行求解。力问题，下面采用半逆解法来进行求解。jr2cos)(f)1(1122222jrrtrsjrrrsrjjr+圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中（3 3）将将应力函数代入极坐标中的相容方程（）将将应力函数代入极坐标中的相容方程（4-64-6），并），并求解常微分方程求解常微分方程得应力函数的具体形式如下得应力函数的具体形式

50、如下jrrr2cos)(224+DCBA（4）由应力函数求应力分量：代入方程（）由应力函数求应力分量：代入方程（45），可得应），可得应力分量表达式力分量表达式（d）。（5）考察内外边界处的边界条件，并考虑到）考察内外边界处的边界条件，并考虑到 R 远大于远大于 r，确定四个待定常数确定四个待定常数A、B、C、D为为422,2, 0rqDqrCqBA代入应力分量表达式，得最终解答代入应力分量表达式，得最终解答（418）式。式。圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中3、距圆孔较远处的左右两边受均布拉力、距圆孔较远处的左右两边受均布拉力q1、上下两边受均上下两边受均布拉力布拉力q2此时，根据解的叠加

51、原理，可将荷载分解为两个部分：此时，根据解的叠加原理，可将荷载分解为两个部分： （1 1）第一部分是四周受均布拉力）第一部分是四周受均布拉力(q1 + q2)/2； （2 2）第二部分是左右两边受均布拉力）第二部分是左右两边受均布拉力(q1 - q2)/2和上下两和上下两边受均布压力边受均布压力(q1 - q2)/2；圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即得在原荷载作用下的应力分量解答。得在原荷载作用下的应力分量解答。对于第一部分荷载，可应用对于第一部分荷载，可应用解答解答（4 41717），并将其中的，并将

52、其中的 q 替换为替换为(q1 + q2)/2；对于第二部分荷载，可应用解对于第二部分荷载，可应用解答答（4 41818），并将其中的，并将其中的 q 替替换为换为(q1 - q2)/2；圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中4、只在左右两边受均布拉力、只在左右两边受均布拉力q根据第三种情况，可将荷载分解为两个部分：第一部根据第三种情况，可将荷载分解为两个部分：第一部分是四周受均布拉力分是四周受均布拉力q/2；第二部分是左右两边受均；第二部分是左右两边受均布拉力布拉力q/2和上下两边受均布压力和上下两边受均布压力q/2；对于第一部分荷载，可应用解答对于第一部分荷载，可应用解答（417），并将其，

53、并将其中的中的 q 替换为替换为q/2；对于第二部分荷载，可应用解答对于第二部分荷载，可应用解答（418），并将其，并将其中的中的 q 替换为替换为q/2；根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即得根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即得在原荷载作用下的应力分量解答在原荷载作用下的应力分量解答（419） 。圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中下面来分析第四种情况时（只在左右两边受均布拉力下面来分析第四种情况时（只在左右两边受均布拉力q），圆孔附近的应力状态，圆孔附近的应力状态1 1、在在 y 轴上（轴上（f f= /2），环向正应力为），环向正应力为2 2、在在 x 轴上（轴上（ f

54、 f=0 ），环向正应力为），环向正应力为)23211 (4422rrsjrrq+在在 y 轴上，环向正应力在孔边达到最大值轴上，环向正应力在孔边达到最大值 3q，随着远离孔边随着远离孔边而急剧趋近于而急剧趋近于0； ) 13(22222rrsjrrq在在 x 轴上，环向正应力在孔边达到最小值轴上，环向正应力在孔边达到最小值 q ，在，在 处变处变为为0 0，即在此段距离内应力变号，成为压应力；此后，即在此段距离内应力变号，成为压应力；此后，随着远随着远离孔边而又变为拉应力，并逐渐趋近于离孔边而又变为拉应力，并逐渐趋近于0； r3圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中2 2、在在 x 轴上（轴上

55、（ f f=0 ）或）或 y 轴上（轴上（ f f= /2 ），分析可），分析可得，在距离圆孔为得，在距离圆孔为1.51.5倍孔口尺寸时（倍孔口尺寸时（ r r=4r ），由于圆），由于圆孔引起的应力扰动已小于孔引起的应力扰动已小于q 值的值的 5%，可忽略不计。，可忽略不计。圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中对于其它形状的孔口，其应力集中现象具有相同特点：对于其它形状的孔口，其应力集中现象具有相同特点：集中集中性和局部性性和局部性；工程实践证明：孔口应力集中程度与孔口形状有关，圆孔的工程实践证明：孔口应力集中程度与孔口形状有关，圆孔的应力集中程度低，应尽可能采用圆孔形式；应力集中程度低，应

56、尽可能采用圆孔形式；圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中推广推广2 2：由于小孔口问题的应力集中现象具有由于小孔口问题的应力集中现象具有局部性局部性的特点，的特点，所以对于各种小孔口问题的分析，均可近似为无限域中的孔口所以对于各种小孔口问题的分析，均可近似为无限域中的孔口问题，即：问题，即：（1 1）假设无孔，求出结构在孔心处的应力；）假设无孔，求出结构在孔心处的应力；（2 2）求出孔心处的主应力）求出孔心处的主应力s s1、s s2和主方向；和主方向；（3 3）然后可简化为，在两个方向分别受均布拉力）然后可简化为，在两个方向分别受均布拉力s s1、s s2的远处的远处应力场作用下，求小孔口附

57、近的应力集中问题。应力场作用下，求小孔口附近的应力集中问题。课后作业课后作业作业：习题作业：习题4 48 8，习题，习题4 41212补充知识补充知识一、一、n阶齐次常系数线性常微分方程的通解阶齐次常系数线性常微分方程的通解0) 1 (1) 2(2) 1(1)(+yayayayaynnnnn其解可以用特征根法求解：即令其解可以用特征根法求解：即令y= =el lx代入上式，得到下代入上式，得到下列列特征方程特征方程的解，从而得到原方程的的解，从而得到原方程的n个解个解012211+nnnnnaaaallll补充知识补充知识二、二、n阶欧拉方程的通解阶欧拉方程的通解0) 1 (1) 2(22)

58、1(11)(+yaxyayxayxayxnnnnnnnn上述方程可以通过变量代换上述方程可以通过变量代换 x=et 或或 t=lnx，化为函数，化为函数y对新自变量对新自变量 t 的常系数线性常微分方程，然后用特征根的常系数线性常微分方程，然后用特征根法求解。法求解。q 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程q 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程q 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程q 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 q 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移q 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力q 圆孔的孔口应力集中圆孔

59、的孔口应力集中q 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力q 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力主要内容主要内容4.9 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力半平面体的解答常用于地基等实际工程问题。半平面体的解答常用于地基等实际工程问题。如图，半平面体受集中力如图，半平面体受集中力 F （单位厚度上的力）的作单位厚度上的力）的作用，用，采用半逆解法求解采用半逆解法求解，其步骤如下：，其步骤如下：半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力1 1、根据量纲分析方法来假定应力分量的函数形式、根据量纲分析方法来假定应力分量的函数形式应力分量比集中力的长度量纲低一次

60、幂，而应力函数又比应力分应力分量比集中力的长度量纲低一次幂，而应力函数又比应力分量的长度量纲高二次幂，因此可假定应力函数是环向坐标量的长度量纲高二次幂，因此可假定应力函数是环向坐标 f f 的某一的某一函数乘以极半径函数乘以极半径 r r ：)(jrf2 2、代入相容方程（、代入相容方程（4-64-6），求应力函数），求应力函数0)()(2)(11122443222222+jjjjjrjrrrrfff解此常微分方程，得：解此常微分方程，得：)sincos(sincos)(jjjjjjDCBAf+代入应力函数，得代入应力函数，得)sincos(sincosjjrjjrjrDCBA+半平面体在边界