第一章矩阵的相似变换

1、矩阵理论矩阵理论 成都信息工程学院 李胜坤1.1 特征值与特征向量特征值与特征向量第一章第一章 矩阵的相似变换矩阵的相似变换定义定义 设 ，如果存在 和非零向量 ，使 ，则 叫做 的特征值， 叫做 的属于特征值 的特征向量。nnCACnCxxAxAxAdet(n由I-A)=0求特征值,即其 个根。Aii解(I-A)x=0，其非零解向量即为 的对应于的特征向量。（3）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。矩阵的特征值与特征向量的性质：矩阵的特征值与特征向量的性质：（2）特征值的几何重数不大于它的代数重数。）特征值的几何重数不大于它的代数重数。（1）一个特征

2、向量不能属于不同的特征值。）一个特征向量不能属于不同的特征值。（4） 设设 是是 的的 个互不同的特征个互不同的特征值，值， 的几何重数为的几何重数为 ， 是对是对应于应于 的的 个线性无关的特征向量，则的所有这个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量些特征向量仍然是线性无关的。仍然是线性无关的。12,r LAriiq12,iiiiqLiiq12111212122212,;,;,rqqrrrqLLLL（5）设 阶方阵 的特征值为 ，则 ()ijn nAa12,n L112212,nnnaaaLL12det( ),nAL L12(),.Hjin nnAa L特征值为n(6),trABtrBAn

3、 nAC设 ，B则 （）= （）. 1.2 相似对角化相似对角化定义：设定义：设 ，若存在，若存在 使得使得 则称则称相似矩阵的性质相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。有相同的迹，有相同的谱。定义定义：设：设 ，如果，如果 相似于一个对角相似于一个对角矩阵，则称矩阵，则称 可对角化可对角化。 An nAC，Bn nnPC1P AP=B,ABA与B相似，记为，:P称为相似变换阵。n nACA定理定理： 阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是可

4、以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。每一个特征值的代数重数等于其几何重数。例例1 判断矩阵判断矩阵是否可以对角化？是否可以对角化？ nA311201112A定理定理： 阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要可以对角化的充分必要条件是条件是 有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。 nAnA于是的特征值为于是的特征值为 （二重）（二重） 由于由于 是单的特征值，它一定对应一个线是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑性无关的特征向量。下面我们考虑231121112(1)(2)IA121,21122解解： 先求出先求出 的特征值的特征值A于是于是

5、 从而不相似对角矩阵，从而不相似对角矩阵，不能对角化不能对角化。2111111221001110000IA 222()2,()1RIAqnRIA1.3 Jordan标准形介绍i121JrJordan1JordanJJJJordaniiiiiir rsJOOO定义：形如的矩阵称为 阶块，由若干个块构成的分块对角矩阵称为矩阵。C,JordanJJordanJJordanJAJordann nAA定理：设则 与一个矩阵 相似。这个矩阵 除块的排列次序外由A唯一确定，称 为 的标准形。C,( ) det( I A)(A) O.n nA 定理：设=-，则=1.4 Hamilton-Cayley定理 1.

6、5 向量的内积向量的内积12121( ,) ,(,),TTnnnnHkkkx xxyy yyCx yy x定义：设x令（x, y）=称（x, y）为向量x与y的内积。LL=内积的性质：内积的性质：(1)( , )( , )(2)(, )( , ),( ,)( , )(3)(, )( , )( , )(4)( , )0(5)( , )( , )( , )( , )()x yy xx yx yxyx yxy zx zy zx xx yy xx xy yCauchySchwarz不等式12,2212( ,),( , ),2Tnnnkkxx xxCxx xxxx定义：设令称为向量 的长度或 范数。L=

7、22222220,x00.(2)(3)xxxxxyxy向量的长度具有的性质：（1）当x0时，当时，解解： 根据定义可知根据定义可知225 1 9621149 1630 例例 在在 中求下列向量的长度中求下列向量的长度(1)(12 ,3,22 )(2)(1, 2,3,4)iii4C定义定义： 长度为长度为1的向量称为单位向量，对于的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量任何一个非零的向量 ，向量，向量是单位向量，称此过程为是单位向量，称此过程为单位化单位化。 ( ,)0 定义定义：如果：如果 ，则称，则称 与与 正交。正交。定义定义 设设 为一组不含有零向量的向量组，为一组不含有零向量的向量组

8、，如果如果 内的任意两个向量彼此正交，则称内的任意两个向量彼此正交，则称其为其为正交向量组。正交向量组。定义定义 如果一个正交向量组中任何一个向量都如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为是单位向量，则称此向量组为标准正交向量组。标准正交向量组。 i i12321 222 1, , , 33 333 31 2 2 , 3 3 3 与向量组与向量组都是标准正交向量组。都是标准正交向量组。123 cos ,0,sin ,0,1,0 sin ,0, cos ii 例例 在在 中向量组中向量组3C定理定理：正交的向量组是一个线性无关的向量：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，

9、由一个线性无关的向量组出发可组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。交向量组。Schmidt正交化与单位化过程正交化与单位化过程: 设设 是是 个线性无关的向个线性无关的向量，利用这量，利用这 个向量完全可以构造一个标准个向量完全可以构造一个标准正交向量组。正交向量组。 r12,r Lr11212211111111111,rrrrrrrr L L L LL第一步第一步 正交化正交化容易验证容易验证 是一个正交向量组是一个正交向量组.12,r L第二步第二步 单位化单位化显然显然 是一个标准的正交向量组。是一个标

10、准的正交向量组。例例1 运用正交化与单位化过程将向量组运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。化为标准正交向量组。121212,rrrL L L12,r L1231,1,0,0 ,1,0,1,0 ,1,0,0,1 1121221113132331211221,1,0,0,11,1,0,22,1 1 1, , ,1,3 3 3 再单位化再单位化 解解：先正交化：先正交化11122233311,0,022112,06661113,2 3 2 3 2 3 2 3 那么那么 即为所求的标准正交向量组。即为所求的标准正交向量组。123, 定义：定义：设设 为一个为一个 阶复矩阵，如果其满阶复矩

11、阵，如果其满足足则称则称 是是酉矩阵酉矩阵，一般记为，一般记为 设设 为一个为一个 阶实矩阵，如果其满阶实矩阵，如果其满足足则称则称 是是正交矩阵正交矩阵。AnHHA AAAIAn nAUAnTTA AAAIA例例：22022(1)10022022是一个正交矩阵是一个正交矩阵212333221(2)333122333是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵cossin(3)sincos（5）设）设 且且 ，如果，如果 则则 是一个酉矩阵。通常称为是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵矩阵。 1nC1H 2HAIAcos0sin(4)010sin0cosii是一个酉矩阵

12、是一个酉矩阵设设 ，那么，那么,n nA BU1(1)(2)det( )1(3),Hn nn nAAUAAB BAU酉矩阵与正交矩阵的性质：酉矩阵与正交矩阵的性质：1(1)(2)det( )1(3),TAAAAB BA 是正交矩阵是正交矩阵,A B设是正交矩阵，那么定理定理： 设设 ， 是一个酉矩阵的充分是一个酉矩阵的充分必要条件为必要条件为 的的 个列（或行）向量组是个列（或行）向量组是标准正交向量组。标准正交向量组。n nACAnA1.6 酉相似下的标准形酉相似下的标准形定义定义：设 ，若存在 ，使得则称 酉相似酉相似(或正交相似正交相似)于 定理定理(Schur引理引理)：任何一个 阶复

13、矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵。,()n nn nA BCR或n nUU()或正交矩阵11()HTU AUUAUBU AUUAUB或ABAn证明证明：用数学归纳法。 的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑 的阶数为 时的情况。 取 阶矩阵 的一个特征值 ，对应的单位特征向量为 ，构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ，AAA1k kkkA111112,kU 112112,kkAUAAAAA因为 构成 的一个标准正交基，故12,k kC1(2,3, )kiijjjAaik，因此12131111210,0kkaaaAUA 12131111100kHaaaUAUA令那么21k kUU

14、W12112112100kHHbbUUAUUR其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足1A1k 1k W11HW AWR(上三角矩阵)注意注意: 等号右端的三角矩阵主对角线上的元素等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵为矩阵 的全部特征值的全部特征值.A308316205A试求酉矩阵试求酉矩阵 使得使得 为上三角矩阵为上三角矩阵.解解: 首先求矩阵首先求矩阵 的特征值的特征值UHU AUA3(1)IA例例: 已知矩阵已知矩阵所以所以 为矩阵为矩阵 的三重特征值的三重特征值. 当当 时时, 有单位特征向量有单位特征向量再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量求

15、得一个单位解向量1 A1 A1211,666T12320 xxx2333,333T再解与再解与 内积为零的方程组内积为零的方程组求得一个单位解向量求得一个单位解向量取取12, 123123200 xxxxxx3220,22T123036132326132326U计算可得计算可得117 27 31235 60435 6062HUAU15 6435 662A再求矩阵再求矩阵 的特征值的特征值所以所以 为矩阵为矩阵 的二重特征值的二重特征值. 当当 时时, 有单位特征向量有单位特征向量1A21(1)IA1 1A1 1A令令11015,55T再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向

16、量求得一个单位解向量1210150 xx21510,55T取取计算可得计算可得1101555151055V11 125 61601HVAV210010150551510055U令令于是有于是有12230515561300661302 53056WUU107 30 /60125 6 /6001HW AW矩阵矩阵 即为所求的酉矩阵即为所求的酉矩阵.正规矩阵正规矩阵定义定义: 设设 , 如果如果 满足满足Wn nACA则则HHAAA A那么称矩阵那么称矩阵 为一个为一个正规矩阵正规矩阵.设设 , 如果如果 同样满足同样满足那么称矩阵那么称矩阵 为一个为一个实正规矩阵实正规矩阵.例例: (1) 为实正

17、规矩阵为实正规矩阵 An nARAHHAAA AA1111abcdbadccdabdcba (2)其中其中 是不全为零的实数是不全为零的实数, 容易验证容易验证这是一个实正规矩阵这是一个实正规矩阵., , ,a b c d (3)这是一个正规矩阵这是一个正规矩阵. (4) Hermite阵阵, 反反Hermite阵阵, 正交矩阵正交矩阵, 酉矩阵酉矩阵, 对角矩阵都是正规矩阵对角矩阵都是正规矩阵.434624432662261iiiiiiii 引理引理1 : 设设 是一个正规矩阵是一个正规矩阵, 则与则与 酉酉相似的矩阵一定是正规矩阵相似的矩阵一定是正规矩阵.引理引理2 : 设设 是一个三角矩

18、阵是一个三角矩阵, 则则 是正是正规矩阵的充要条件是规矩阵的充要条件是 为对角矩阵为对角矩阵.由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理定理 : 设设 , 则则 酉相似于对角酉相似于对角矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是 为正规矩阵。为正规矩阵。AAAAn nACAA正规矩阵的性质与结构定理正规矩阵的性质与结构定理A12HnU AU其中其中 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.12,n Ann推论推论 : 阶正规矩阵有阶正规矩阵有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 .例例1 : 设设求正交矩阵求正交矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.解解: 先计算矩阵的特

19、征值先计算矩阵的特征值324202423AQ1Q AQ2(1) (8)IA其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系现在将现在将 单位化并正交化单位化并正交化, 得到两个标得到两个标准正交向量准正交向量1231,8 11 ()0IA X 121,2,0,1,0,1TTXX 12,XX1212425,0,3553 5 2 5TT对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量28(8)0IA X32,1,2TX 32 1 2, ,3 3 3T将这三个标

20、准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵123142353 5221,353 552033Q 则矩阵则矩阵 即为所求正交矩阵且有即为所求正交矩阵且有Q1118Q AQ例例2 : 设设434624432662261iiiAiiiii 求酉矩阵求酉矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.QHQ AQ解解: 先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系2(81)(9)IA1239i,9 19i ( 9)0iIA X1/2,1,1TXi 现在将现在将 单位化单位化, 得到一个单位向量得到一个单位向量1X1

21、2 2,3 3 3Ti对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量29i(9)0iIA X2, 1/2,1TXi 221 2,333Ti对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量39(9)0IA X3,1, 1/2TXi3221,3 33Ti将这三个标准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵12322333212,333221333iiiQ 则矩阵则矩阵 即为所求酉矩阵且有即为所求酉矩阵且有Q999HiQ AQi推论：推论： 1 Hermite矩阵的特征值为实数矩阵的特征值为实数; 反反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数矩阵的特征值为零或纯虚数. 2 实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数; 实反对称实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数矩阵的特征值为零或纯虚数. 3 是正规矩阵，是正规矩阵， 是是 的特征的特征值，值， 是对应的特征向量，则是对应的特征向量，则 是是 的特的特征值，对应的特征向量仍为征值，对应的特征向量仍为 。 4 是正规矩阵，则属于不同特是正规矩阵，则属于不同特征值的特征向量正交。征值的特征向量正交。 xAn nACHAxn nAC例例 : 设设 是一个是