第11章磁场和它的源

1、11-1 如图所示，电流如图所示，电流I沿三种不同形状的导线流动，求下列各种沿三种不同形状的导线流动，求下列各种情况下情况下O点处的磁感应强度大小。点处的磁感应强度大小。 解：解：RIB20圆心rIB 20长直IORR(2)(1)RIO几型载流导线的磁场公式几型载流导线的磁场公式 (1)长直圆心BBBORIRI2200) 1(20RIrIB 40半长直取向内为正取向内为正B(3)Ia)cos(cos4210 rIB直220RIB弧心（ 为弧所对应的圆周角）为弧所对应的圆周角）半圆心半长直BBBO 2(2) 各段电流在各段电流在 O 点产生的点产生的 均向内均向内B)2(40RI(3) 正方形的

2、每条边在正方形的每条边在O 处产生的处产生的 均相同均相同224200RIRIIORR(2)(3)Iaa22)43cos41(cos2a4)cos(cos400210 IIrIBo直12OB则则一条边在一条边在O 处产生的处产生的 由下式给出（方向垂直向里）由下式给出（方向垂直向里）Ba22a224400IIBBoo直zyxROI11-2 载有电流载有电流I的导线由两根半无限长直导线和半径为的导线由两根半无限长直导线和半径为R的、的、以以Oxyz坐标系原点坐标系原点O为中心的为中心的3/4圆弧组成，圆弧在圆弧组成，圆弧在Oyz平面平面内，两根半无限长直导线分别在内，两根半无限长直导线分别在Ox

3、y平面和平面和Oxz平面内且与平面内且与x轴平行，电流流向如图所示求轴平行，电流流向如图所示求O点的磁感应强度点的磁感应强度 。 kRIB40入iRIB4320弧jRIB40出 2238 0kjiRIB解：解： ab12IO O点在导线点在导线 1 和和 2 的延长线上的延长线上, B1 = B2 = 0 11-3 电流由长直导线电流由长直导线 1 沿半径方向经沿半径方向经 a 点流入一电阻均匀分布的圆点流入一电阻均匀分布的圆环，再由环，再由 b 点沿半径方向从圆环流出，经长直导线点沿半径方向从圆环流出，经长直导线 2 返回电源，返回电源，如图所示。已知长直导线上电流强度为如图所示。已知长直导

4、线上电流强度为 I，求圆心，求圆心 O 点的磁感应点的磁感应强度强度. 解：解：设环的半径设环的半径 a , 两导线夹角两导线夹角 ，环的电阻，环的电阻率率, 横截面积横截面积 S , 则二段弧的电阻分别为则二段弧的电阻分别为 SaRIRIRI2 rI20820 BBB环B 向里向里B向外向外,220rIB22220 rIBI I 并联并联 rI208221BBBBO环 0 SaR)2( 2)2(SaRIRIRI2211-4 如图所示，一宽度为如图所示，一宽度为a的无限长金属薄板中通有电流的无限长金属薄板中通有电流I，电流，电流沿宽度方向均匀分布，求在薄板平面内距板一边距离为沿宽度方向均匀分布

5、，求在薄板平面内距板一边距离为b的的P点的点的磁感应强度大小和方向。磁感应强度大小和方向。IabPdxxbaaIxbadIdB)(2)(200解：解：IabPxOxdx无限长薄板电流可视为由无数无限长薄板电流可视为由无数根长直电流构成根长直电流构成如图，在距原点如图，在距原点x远处取宽度远处取宽度dx的薄板，为的薄板，为一长直电流一长直电流 ， 它在它在P点的点的磁感应强磁感应强度方向垂直向里，大小为度方向垂直向里，大小为dxaIdI 则整个薄板形电流在则整个薄板形电流在P点的点的磁感应强度大小为磁感应强度大小为bbaIdxxbaaIdBBalna2)(2000方向垂直向里方向垂直向里11-5

6、 如图如图, 半径为半径为 R, 电荷线密度电荷线密度 ( 0 ) 的均匀带电的圆线圈绕的均匀带电的圆线圈绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度过圆心与圆平面垂直的轴以角速度 转动转动, 求轴线上任一点的磁感求轴线上任一点的磁感应强度应强度 . B 解：解：lqdd取取tqIdd则圆形电流的电流强度大小为则圆形电流的电流强度大小为将将 带入上式得带入上式得232230)(2RxRBdRRtRdd 带电的圆线圈转动时，等价为一圆形电流带电的圆线圈转动时，等价为一圆形电流半径为半径为R，电流为，电流为I的圆形电流在其轴线上离圆心的圆形电流在其轴线上离圆心x远处一点远处一点的磁感应强度大小为（参见张三慧编

7、的磁感应强度大小为（参见张三慧编大学物理学大学物理学第三版第三版上册上册 P273，式（，式（11.11）232220)(2RxIRBRI方向沿轴线且与电流方向成右手螺旋关系方向沿轴线且与电流方向成右手螺旋关系RO abOIaIb同理同理40 bB同理同理aIBaa20 40 TqIa a 21 a 2 和和 均垂直均垂直向外向外aBbB 电流电流定义为定义为 1 秒钟内通秒钟内通过某截面的电荷量过某截面的电荷量, 等效等效圆形圆形(平平均均)电流电流bIb21解法一：解法一：11-6 有一闭合回路由两个半径为有一闭合回路由两个半径为 a 和和 b 的同心共面半圆连接而成，的同心共面半圆连接而

8、成，如图所示，其上均匀分布线密度为如图所示，其上均匀分布线密度为 的电荷，回路以角速的电荷，回路以角速度度 绕过绕过 O 点垂直于回路的轴转动点垂直于回路的轴转动, 求圆心求圆心 O 点处的磁感应强点处的磁感应强度度 . OB O 点处点处总总磁感应强度的磁感应强度的大小大小：rr 2d 0 barrd 20 abln20 rbaBBBB )ln(20ab rrBBd则则所有所有的的 垂直垂直向外向外.BddIrdIr IaIbabOdrdrrTqIrd2d rd22 方向方向：垂直：垂直向外向外Brd rIBrr2dd0 而而两两直线段上元电荷直线段上元电荷 dq 旋转形成旋转形成等效等效圆

9、形圆形(平均平均)电流电流 abO解法二：解法二：IaIb bIb 同理同理40 bB同理同理2120 aIBaa 40 tqIadd a tadd tldd 和和 均垂直均垂直向外向外aBbB 在在半圆半圆形线电荷形线电荷转动转动的的每一每一 瞬间瞬间，形成的是，形成的是半圆形电流半圆形电流.瞬时瞬时电流电流 O 点处点处总总磁感应强度的磁感应强度的大小大小：20 490sinddrlIBrr rr 04d barrd 40 abln40 rbaBBBB2 )ln(20ab trrd4dd 0 rrBBd则则所有所有的的 垂直垂直向外向外.BdIrIr IaIbabOdrdrrtqIrdd

10、而而trdd 方向方向：垂直：垂直向外向外B 0Ibra)()(2222arabIIbr II取半径为取半径为 r 的安培环路，根据环路定理的安培环路，根据环路定理IrB02 有有 rIB20ar 对于对于 0B )(2)(22220abrarIBrIB20 解：解：Il dBL011-7 如图所示，有一很长的载流导体直圆管，内半径为如图所示，有一很长的载流导体直圆管，内半径为 a,外半径外半径为为 b，电流强度为，电流强度为 I，电流沿轴线方向流动，电流沿轴线方向流动,并且均匀地分布在管壁并且均匀地分布在管壁的横截面上空间某一点到管轴的垂直距离为的横截面上空间某一点到管轴的垂直距离为 r，求

11、，求 r a，a r b 等各区间的磁感应强度等各区间的磁感应强度 ab11-8 一根很长的铜导线均匀载有电流一根很长的铜导线均匀载有电流I，截面半径为，截面半径为R，在导线内，在导线内部作一平面部作一平面 S ，如图所示，试计算通过，如图所示，试计算通过 S 平面的磁通量平面的磁通量 (沿轴线沿轴线方向取长为方向取长为l的一段作计算的一段作计算).（铜的磁导率（铜的磁导率 ） 0 以轴为中心作半径以轴为中心作半径 r 的圆环的圆环 解：解：则环上则环上当当 0rR 时：时： IRrI22内202 RIrBSBddmmmdB沿环的切向沿环的切向.rBldSBdRrRIrl020d2RrBl0d

12、40IlrIB20 内SrdrlBI11-9 无限长平行直导线与一矩形共面，各部分尺寸如图所示。无限长平行直导线与一矩形共面，各部分尺寸如图所示。已知导线中的电流为已知导线中的电流为I，求矩形回路的磁通量。，求矩形回路的磁通量。Iabx解：解：Iabxyydyo取如图所示的取如图所示的y轴，在距原点轴，在距原点y处取宽度处取宽度dy的的窄条。无限长平行（与此窄条平行）直线电窄条。无限长平行（与此窄条平行）直线电流的磁场分布为流的磁场分布为 ，对此窄条的磁通量，对此窄条的磁通量为为BbdyBdSSBddm)|(SdBByIB20则对矩形回路的磁通量为则对矩形回路的磁通量为)ln(22d00mxx

13、aIbbdyyIBbdyaxxaxxm11-10 两无限长平行直导线与一直角三角形共面，各部分尺寸如两无限长平行直导线与一直角三角形共面，各部分尺寸如图所示。已知两导线中的电流均为图所示。已知两导线中的电流均为I，求三角形回路中的磁通量。，求三角形回路中的磁通量。IabIr1r2解：解：取如图所示的取如图所示的x轴，在距原点轴，在距原点x远处取宽度远处取宽度dx的窄条，其高度为的窄条，其高度为xIabIr1r2xodx)(22102rrxIB则窄条的磁通量为则窄条的磁通量为)(1xraabh窄条面积为窄条面积为dxxraabhdxdS)(1左、右二长直导线电流在窄条处的磁场分别为左、右二长直导

14、线电流在窄条处的磁场分别为xIB201（垂直向外）（垂直向外）（垂直向里）（垂直向里）dxxraabxrrxIdSBB)()11(2)(d112012m则三角形则三角形回路中的回路中的磁通量为磁通量为)()(ln)(a2Ib)()11(2d1221101120m11rarrarradxxraabxrrxIrarm11-11 如图所示，平板电容器（忽略边缘效应）充电时，沿环路如图所示，平板电容器（忽略边缘效应）充电时，沿环路L1、L2的的磁感应强度为磁感应强度为B的环流中，必有的环流中，必有 ”或或“ ”或或“ = ”）1dLlB2dLlBL1L2显然，有显然，有)(dcoLIIl dB解：解：

15、L1L2在电容器二极板间取一和极板边缘一样的在电容器二极板间取一和极板边缘一样的回路回路L（下图中红色虚线所示）（下图中红色虚线所示）Ll dBl dBLL1忽略边缘效应且认为导线处的忽略边缘效应且认为导线处的 ；无导线处，即电容器极板间，无导线处，即电容器极板间， 。 又，普遍的安培环路定理又，普遍的安培环路定理l dBIIl dBLdcL0020cI则由全电流连续原理知，导线处的传导电流则由全电流连续原理知，导线处的传导电流 与极与极板间的位移电流板间的位移电流 相等相等0dIcIdIl dBl dBLL21（穿过（穿过L的位移电流显然比的位移电流显然比穿过穿过L1的大，再利用普遍的大，再

16、利用普遍的安培环路定理即可推得）的安培环路定理即可推得）11-12 半径为半径为R的两块圆板，构成平行板电容器放在空气中，的两块圆板，构成平行板电容器放在空气中，现对电容器匀速充电，使两板间的电场的变化率为现对电容器匀速充电，使两板间的电场的变化率为 ，P点是两极板之间到对称轴距离为点是两极板之间到对称轴距离为r的任意一点，求的任意一点，求P点处的磁点处的磁感应强度。感应强度。adtdE22radtdErdtde在平行板间取一半径为在平行板间取一半径为r 的圆形回路的圆形回路穿过该回路的电通量随时间的变化率穿过该回路的电通量随时间的变化率解：解：rParBo021202rarBo)(dtdIldBeocoL又极板间极板间0cI11-13 如图所示的为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场如图所示的为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场 ，其方向垂直