晶体的投影和倒易点阵

1、参考教材：参考教材：The Science and The Science and Engineering of Engineering of MaterialsMaterials第第2 2章章 晶体学基础晶体学基础目录2晶体及其基本性质晶体及其基本性质晶向晶向、晶面及、晶面及晶带晶带晶体的晶体的间隙间隙晶体的晶体的缺陷缺陷晶体晶体的投影的投影 倒易点阵倒易点阵1.3 1.3 晶体投影晶体投影1.1.球面投影和极射赤面投影球面投影和极射赤面投影2.2.极式极式网与乌式网网与乌式网3.3.晶带的极射赤面投影晶带的极射赤面投影4.4.标准极射赤面投影图标准极射赤面投影图20222022年年6 6月

2、月2626日日1919时时0606分分34l概念：概念：晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系转换成其在投影面上的关系。转换成其在投影面上的关系。l分类：分类：球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。l关系的确定：关系的确定：通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之间的关系。此关系通常由极式网和乌式网确定。间的关系。

3、此关系通常由极式网和乌式网确定。一、晶体的球面投影和极射赤面投影51. 1. 晶体的球面投影：晶体的球面投影：各晶面各晶面法线之投影法线之投影。设想。设想以晶体的中心为球心，以晶体的中心为球心，任意长为半径，作一球面；然后从球心出发（注意：不是从每个晶任意长为半径，作一球面；然后从球心出发（注意：不是从每个晶面本身的中心出发），引每一晶面的法线，延长后各自交球面于一面本身的中心出发），引每一晶面的法线，延长后各自交球面于一点点，这些点便是相应晶面的球面投影这些点便是相应晶面的球面投影点（晶面极点）。点（晶面极点）。大园大园: : 过球心的平面过球心的平面小园小园: : 平面半径小于球的半径平面

4、半径小于球的半径晶体的球面投影晶体的球面投影：l如果此球面具有像地球仪那样的经纬线，而且以如果此球面具有像地球仪那样的经纬线，而且以表示经度，表示经度，表表示纬度，那么光学测角仪所记录的晶体各晶面的球体坐标示纬度，那么光学测角仪所记录的晶体各晶面的球体坐标和和在在这里将有一致的表达。这里将有一致的表达。l球面上任意两结点之间的弧度严格表示相应的球面上任意两结点之间的弧度严格表示相应的两个晶面法线两个晶面法线之间之间的夹角。面间夹角就是它的补角。的夹角。面间夹角就是它的补角。 方位角方位角: 0 360 极距角极距角: 0 180 , 从北极开始从北极开始20222022年年6 6月月2626日

5、日1919时时0606分分62. 2. 晶体的极射投影：晶体的极射投影：是一种二次投影，即将晶体的晶面或晶向的球是一种二次投影，即将晶体的晶面或晶向的球面投影再以一定的方式投影到赤平面所获得的投影。面投影再以一定的方式投影到赤平面所获得的投影。包括心射极平包括心射极平投影和极射赤平投影。投影和极射赤平投影。心射极平投影：心射极平投影：定义：定义：将投影平面与上述带有晶面极点的球面相切与球面上的任一点，将投影平面与上述带有晶面极点的球面相切与球面上的任一点，以以球心球心为视点，将球面上的晶面极点投影于投影平面上，即以球心与球为视点，将球面上的晶面极点投影于投影平面上，即以球心与球面上的晶面极点做

6、直线延伸到投影平面，此直线与投影平面相交点即为面上的晶面极点做直线延伸到投影平面，此直线与投影平面相交点即为此晶面极点的投影点。此晶面极点的投影点。缺点：缺点：投影直线与投影平面平行的那些晶面极点无法做投影，一个投影投影直线与投影平面平行的那些晶面极点无法做投影，一个投影平面只能记录球面上部分晶面极点。平面只能记录球面上部分晶面极点。应用：应用：诠释劳埃衍射照片十分有用。诠释劳埃衍射照片十分有用。7极射赤平投影：极射赤平投影：以赤道平面为投影平面，以南极以赤道平面为投影平面，以南极( (或北极或北极) )为视点，将球面上的各个为视点，将球面上的各个点、线进行投影点、线进行投影。 2022202

7、2年年6 6月月2626日日1919时时0606分分8晶体投影的基本要素晶体投影的基本要素CBDA极射赤平投影极射赤平投影9球面投影与极射赤面投影之间的关系：球面投影与极射赤面投影之间的关系：l球面上过南北轴的大圆，其极射赤面投影为过基圆中心的直径；球面上过南北轴的大圆，其极射赤面投影为过基圆中心的直径；l球面上未过南北轴的倾斜大圆，其投影为大圆弧，大圆弧的弦为基圆直径；球面上未过南北轴的倾斜大圆，其投影为大圆弧，大圆弧的弦为基圆直径；l水平大圆即赤道平面与投影球的交线，其极射赤面投影为投影基圆本身；水平大圆即赤道平面与投影球的交线，其极射赤面投影为投影基圆本身；l水平小圆的极射赤面投影为与基

8、圆同心的圆；水平小圆的极射赤面投影为与基圆同心的圆；l倾斜小圆的投影为椭圆；倾斜小圆的投影为椭圆；l直立小圆的极射赤面投影为一段圆弧，其大小和位置取决于小圆的大小和位置。直立小圆的极射赤面投影为一段圆弧，其大小和位置取决于小圆的大小和位置。倾斜大圆倾斜大圆平行于赤道的小圆平行于赤道的小圆倾斜于赤道的小圆倾斜于赤道的小圆垂直于赤面的小圆垂直于赤面的小圆二、极式网与乌式网101.极式网：极式网：将经纬线坐标网以其本身的将经纬线坐标网以其本身的赤道平面赤道平面为投影面，作极射赤面投影，为投影面，作极射赤面投影，所得的极射赤面投影网。所得的极射赤面投影网。由一系列直径和一系列同心圆组成，每一直径和同心

9、圆分别表示经由一系列直径和一系列同心圆组成，每一直径和同心圆分别表示经线和纬线的极射赤面投影，经线等分投影基圆圆周，纬线等分投影线和纬线的极射赤面投影，经线等分投影基圆圆周，纬线等分投影基圆直径。基圆直径。基圆直径为基圆直径为20 mm，等分间隔为，等分间隔为211极式网的用途：极式网的用途：l直接读出极点的球面坐标，获得该晶面或晶向的空间位相；直接读出极点的球面坐标，获得该晶面或晶向的空间位相；l当晶面或晶向的极点在同一直径上，其间的纬度差即为晶面或晶当晶面或晶向的极点在同一直径上，其间的纬度差即为晶面或晶向间的夹角，可以从极式网上直接读出；向间的夹角，可以从极式网上直接读出；l但是，当两极

10、点不在同一直径上时，无法测量其角度，应用受到但是，当两极点不在同一直径上时，无法测量其角度，应用受到限制。限制。2. 乌氏网：乌氏网：(Wulff net)以同时过以同时过NS和和EW的平面为投影面，投影光源为投影面中心法线与投影球的的平面为投影面，投影光源为投影面中心法线与投影球的交点，即前后极点交点，即前后极点F或或L，经纬线坐标网的极射平面投影即为乌式网。，经纬线坐标网的极射平面投影即为乌式网。南北轴南北轴NS和东西轴和东西轴EW的投影分别过乌式网中心的水平直径和垂直直径。前后轴的投影分别过乌式网中心的水平直径和垂直直径。前后轴FL的投影为乌式网的中心；的投影为乌式网的中心；经线的投影为

11、一簇以经线的投影为一簇以N、S为端点的大圆弧；为端点的大圆弧；纬线的投影是一组圆心位于南北轴上的小圆弧。纬线的投影是一组圆心位于南北轴上的小圆弧。实际使用的乌式网直径为实际使用的乌式网直径为20 mm，圆弧间隔均为，圆弧间隔均为2l乌式网的应用乌式网的应用：1 1. .夹角夹角测量；测量；2 2. .晶体转晶体转到；到；3 3. .投影面转换投影面转换12经纬线坐标网经纬线坐标网乌式网乌式网WE四、标准极射赤面投影图（标准极图）13定义：以晶体的某一简单晶面为投影图，将各晶面的球面投影再投影到定义：以晶体的某一简单晶面为投影图，将各晶面的球面投影再投影到此平面上去所形成的投影图。此平面上去所形

12、成的投影图。在测定晶体取向、如织构中非常有用，标明了晶体中所有重要晶面的相在测定晶体取向、如织构中非常有用，标明了晶体中所有重要晶面的相对取向和对称关系和对称关系，可方便地定出投影图中所有极点的指数。对取向和对称关系和对称关系，可方便地定出投影图中所有极点的指数。1.4 1.4 倒易点阵倒易点阵1.1.正点阵正点阵2.2.倒易点阵倒易点阵3.3.倒易矢量的基本性质倒易矢量的基本性质4.4.正倒空间的关系正倒空间的关系5.5.广义晶带理论广义晶带理论20222022年年6 6月月2626日日1919时时0606分分14一、正点阵15概念：概念：晶体的空间点阵。反映了晶体中的质点在三维空间中的周晶

13、体的空间点阵。反映了晶体中的质点在三维空间中的周期性排列；期性排列；与与晶体结构晶体结构相关，描述的是晶体中原子的分布规律，相关，描述的是晶体中原子的分布规律，是实际物质空间是实际物质空间，所在空间为，所在空间为正正空间；空间；分类：分类：7大晶系、大晶系、14种晶胞类型种晶胞类型;晶面、晶向表征方法晶面、晶向表征方法：米勒指数（：米勒指数（hkl）、）、uvw或（或（hkil）、）、uvtw;点阵参数：点阵参数：a、b、c、，基矢量，基矢量a a、b b、c c，任意矢量，任意矢量R可可表示为表示为R R=ma+nb+pc，其中，其中m、n、p为整数，为整数， 、分别为分别为b b与与c c

14、，c c与与a a，a a与与b b之间的夹角。之间的夹角。二、倒易点阵1.1.概念：概念：是一个虚拟点阵，是由厄瓦尔德在正空间点阵基础上建立是一个虚拟点阵，是由厄瓦尔德在正空间点阵基础上建立起来的，该点阵的许多性质与晶体正点阵保持着起来的，该点阵的许多性质与晶体正点阵保持着倒易倒易关系，故称为关系，故称为，所在空间为所在空间为倒倒空间。空间。倒易点阵与倒易点阵与晶体衍射晶体衍射有关，描述衍射方向问题；有关，描述衍射方向问题；正空间中的晶面在倒空间表现为一个倒易阵点，同一晶带的各晶正空间中的晶面在倒空间表现为一个倒易阵点，同一晶带的各晶面在倒空间中为共面的倒易阵点。面在倒空间中为共面的倒易阵点

15、。倒易空间与厄瓦尔德球相结合时，可直观解释晶体中的各种衍射倒易空间与厄瓦尔德球相结合时，可直观解释晶体中的各种衍射现象，因为衍射花样的本质是满足衍射条件的倒易阵点的投影。现象，因为衍射花样的本质是满足衍射条件的倒易阵点的投影。20222022年年6 6月月2626日日1919时时0606分分162. 倒易点阵坐标系的建立：倒易点阵坐标系的建立：从正点阵的原点从正点阵的原点O出发，作任一晶面（出发，作任一晶面（hkl）的法线）的法线ON，在该，在该法线上取一点法线上取一点Phkl ，使，使OPhkl长度正比例与该晶面间距长度正比例与该晶面间距dhkl的倒数，的倒数，则点阵称为该晶面的倒易点，用则

16、点阵称为该晶面的倒易点，用hkl表示，所有晶面的倒易点便表示，所有晶面的倒易点便构成了倒易点阵。构成了倒易点阵。20222022年年6 6月月2626日日1919时时0606分分17倒易点阵中的基本参数倒易点阵中的基本参数a a* *、b b* *、c c* *、 * *、 * *、 * *，其中分别，其中分别 * *、 * *、 * *为为b b * *与与c c * * 、c c * *与与a a * * 、a a * *与与b b * *之间之间的夹角，的夹角，a a * * 、b b * * 、c c * *为倒易点阵为倒易点阵的基矢量，任一倒易矢量的基矢量，任一倒易矢量R R* *可

17、表示为可表示为R*= h a a * * +k b b * * +l c c * *20222022年年6 6月月2626日日1919时时0606分分18d(01)d(10)d(02)d(20) 三、倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系19设有设有一正点阵一正点阵S，它由三个基矢，它由三个基矢a，b，c来描述，即来描述，即S=S(a，b，c)。现引入三个新基矢。现引入三个新基矢a*，b*，c*，由它们，由它们描述描述倒易倒易点阵点阵S*=S*(a*，b*，c*)。则新。则新基矢基矢a*，b*，c*与正点阵基矢与正点阵基矢a，b，c的关系为：的关系为： a*a = b*b =c*c =1， a*b =

18、 a*c = b*a = b*c = c*a = c*b = 0倒易点阵的倒易点阵的基矢垂直于基矢垂直于正点阵异名矢量构成的正点阵异名矢量构成的平面平面。若正点阵的单位格子体积为若正点阵的单位格子体积为V = a a (b bc c) )，倒易点阵的单位，倒易点阵的单位格子体积为格子体积为V*=a*(b*c*) ，则有，则有20222022年年6 6月月2626日日1919时时0606分分 sinsincoscoscoscos* sinsincoscoscoscos* sinsincoscoscoscos*bccaababcVVV由正点阵单位格子就可以求得相应由正点阵单位格子就可以求得相应的倒

19、易格子的三个基矢长度及交角，的倒易格子的三个基矢长度及交角，反之亦然。正倒点阵一一对应。反之亦然。正倒点阵一一对应。若若已知晶体点阵参数，即由上式可已知晶体点阵参数，即由上式可求得其相应倒易点阵参数，从而建求得其相应倒易点阵参数，从而建立其立其倒易点阵。倒易点阵。20222022年年6 6月月2626日日1919时时0606分分20sin1,*cosbcbcaaVVa sin1*coscaacbbVVb ，sin1*=ccosabbaccVV ，、分别为分别为a与与a*、b与与b*、c与与c*之间的夹角。之间的夹角。立方晶系时，立方晶系时， =0则则a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c四、

20、倒易点阵的基本性质21根据根据定义在倒易点阵定义在倒易点阵中，从中，从倒易原点到任一倒易点的矢倒易原点到任一倒易点的矢量称倒易量称倒易矢量，记为矢量，记为g*hkl 20222022年年6 6月月2626日日1919时时0606分分*hklghakblc可以证明可以证明: 1. g*矢量矢量的方向的方向与晶面相垂直与晶面相垂直g* /N(晶面法线晶面法线) 2. g*矢量矢量长度等于其长度等于其对应对应晶面晶面间距的倒数间距的倒数 g* hkl =1/dhkl 证证：设：设ABC平面是正点阵中平行晶面平面是正点阵中平行晶面(hkl)组中距原点最近的平面，组中距原点最近的平面，它在三个晶轴上的截

21、距分别为它在三个晶轴上的截距分别为a/h、b/k、c/l。由图可知，有矢量。由图可知，有矢量关关系式系式AB = OB-OA，所以：所以：AB = b/k a/h，则则g*hklAB = ( ha*+kb*+lc*)(b/k a/h)= h/k a*b a*a +b*b k/h b*a+ l/k c*b l/h c*a = 0所以所以g*hkl AB，同理，同理g*hkl BC，故故g*hklABC平面，平面， 即即g*hkl(hkl)晶面。晶面。20222022年年6 6月月2626日日1919时时0606分分22设设n为为沿着沿着g*hkl方向的单位矢量，则方向的单位矢量，则n = g*h

22、kl / |g*hkl|。由图知，。由图知，dhkl等于等于a/h在在n方向上的投影，即方向上的投影，即dhkl = a/hn = a/h( ha*+kb*+lc*)/ |g*hkl| = 1/ |g*hkl|所以所以 |g*hkl| =1/dhkll倒易点阵的几何意义是：倒易点阵的几何意义是：正点阵中的每组平行晶面正点阵中的每组平行晶面(hkl)相当于倒相当于倒易点阵中的一个倒易点，此点必须处在这组晶面的公共法线上，易点阵中的一个倒易点，此点必须处在这组晶面的公共法线上，即倒易矢量方向上；倒易点至原点的距离即倒易矢量的长度为相即倒易矢量方向上；倒易点至原点的距离即倒易矢量的长度为相应晶面间距

23、的倒数。由无数个倒易点组成的点阵即为倒易点阵。应晶面间距的倒数。由无数个倒易点组成的点阵即为倒易点阵。若已知某一正点阵，就可得出相应的倒易点阵。若已知某一正点阵，就可得出相应的倒易点阵。20222022年年6 6月月2626日日1919时时0606分分23五、倒易点与正点阵中的(hkl)晶面的对应关系24g*hkl的基本性质表达了与（的基本性质表达了与（hkl）的一一对应关系，即一）的一一对应关系，即一个个g *与与一组（一组（hkl）对应；）对应；g* hkl的方向与大小表达了（的方向与大小表达了（hkl）在正点阵中的方位与晶）在正点阵中的方位与晶面间距，反之，（面间距，反之，（hkl）决定

24、了）决定了g *的的方向和大小；方向和大小；g* hkl的基本性质也建立了作为终点的倒易阵点与（的基本性质也建立了作为终点的倒易阵点与（hkl）的一一对应关系：的一一对应关系：p正正点阵中每一组点阵中每一组(hkl)对应着一个倒对应着一个倒易点易点，该倒易点在倒易点阵中的坐标，该倒易点在倒易点阵中的坐标(可称可称阵点阵点指数指数)即为即为hkl ；p反之反之，一个阵点指数为，一个阵点指数为hkl的倒易点的倒易点对应对应正点阵中一组正点阵中一组(hkl)，(hkl)方位方位与与晶面间距晶面间距由该倒易点相应的由该倒易点相应的H(hkl) 决定决定。20222022年年6 6月月2626日日191

25、9时时0606分分l晶面与倒易结点的关系晶面与倒易结点的关系: : 20222022年年6 6月月2626日日1919时时0606分分25l立方二维点阵与其倒易点阵的关系：立方二维点阵与其倒易点阵的关系：20222022年年6 6月月2626日日1919时时0606分分2620222022年年6 6月月2626日日1919时时0606分分27六、广义晶带理论28在倒易点阵中，同一晶带的所有晶面的倒易矢量共面，即倒阵中每在倒易点阵中，同一晶带的所有晶面的倒易矢量共面，即倒阵中每一阵面上的阵点所表示的晶面均属于同一晶带轴。当阵面通过原点一阵面上的阵点所表示的晶面均属于同一晶带轴。当阵面通过原点时则

26、时则 uh+vk+wl = 0当倒阵面不过原点，而是位于原点的上方或下方，则此时当倒阵面不过原点，而是位于原点的上方或下方，则此时uh+vk+wl = N当当N0时，倒易阵面在原点上方；时，倒易阵面在原点上方；当当N0时，倒易阵面在原点的下方。时，倒易阵面在原点的下方。广义晶带定律示意图广义晶带定律示意图29广义晶带理论物理意义：广义晶带理论物理意义：倒倒易矢量的端点表示正空间中的晶面；端点坐标由不带括号的三易矢量的端点表示正空间中的晶面；端点坐标由不带括号的三位数表示；位数表示；倒倒易矢量的长度表示正空间中晶面间距的倒数；易矢量的长度表示正空间中晶面间距的倒数；倒倒易矢量的方向表示该晶面的法线方向；易矢量的方向表示该晶面的法线方向；倒倒空间的直线点列表示正空间中一个系列平行晶面；空间的直线点列表示正空间中一个系列平行晶面；倒倒空间中的阵面表示正空间中同一晶带的系列晶带面。空间中的阵面表示正空间中同一晶带的系列晶带面。正正空间的晶面空间的晶面(hkl)可用倒空间的一个点可用倒空间的一个点hkl表示，正空间表示，正空间中同一根晶带轴中同一根晶带轴uvw的所有晶面可用倒空间的一个倒易的所有晶面可用倒空间的一个倒易阵面阵面(uvw)*来表示，广义晶带中的不同倒易阵面可用来表示，广义晶带中的不同倒易阵面可用(uvw)N*表示。表示。本章小结本章小结1.1.晶