第十章1相似原理和量纲分析

1、 力学相似性原理力学相似性原理模型律模型律 因次分析法因次分析法 模型与原形的全部对应线形长度的比例相等模型与原形的全部对应线形长度的比例相等L L长度比例尺长度比例尺面积比例尺面积比例尺体积比例尺体积比例尺llkl222lAkllAAk333lVkllVVk 模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻的流速模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。方向相同而流速大小的比例相等。vvkvvltkkvlvlttk/lvtvakkkktvtvaak2/速度比例尺速度比例尺加速度比例尺加速度比例尺时间比例尺时间比例尺 模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的模型与原型

2、的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此方向相同，而它们大小的比例相等。各种力彼此方向相同，而它们大小的比例相等。FgFPFaPFgFFamFiFgFPFaPFgFFamFiiiggPPFFFFFFFFFk力的比例尺力的比例尺PFFgFiF总压力总压力切向力切向力重力重力惯性力惯性力 动力相似是决定运动相似的主导因素。动力相似是决定运动相似的主导因素。 几何相似、运动相似和动力相似是模型流场和原型几何相似、运动相似和动力相似是模型流场和原型流场相似的重要特征。流场相似的重要特征。 几何相似是流动力学相似的前提条件。几何相似是流动力学相似的前提条件。 运动相似是几何相似和动力相似的表现。运动

3、相似是几何相似和动力相似的表现。 边界条件同样是影响流动过程的重要因素，要使两边界条件同样是影响流动过程的重要因素，要使两个流动力学相似，则应使其对应的边界的性质相同、几个流动力学相似，则应使其对应的边界的性质相同、几何尺寸成比例。何尺寸成比例。lk长度比例尺长度比例尺速度比例尺速度比例尺密度比例尺密度比例尺vk22/vlFVaFiikkkkkkaVFVaFk的比例尺为为基本比例尺的比例尺为为基本比例尺 用基本比例尺表示的用基本比例尺表示的动力学比例尺动力学比例尺vltlVVqkkkktltlqqkV2333/力的比例尺力的比例尺力矩（功、能）比例尺力矩（功、能）比例尺压强（应力）比例尺压强（

4、应力）比例尺23vllFMkkkkkFllFMMk 功率比例尺功率比例尺动力粘度比例尺动力粘度比例尺2/vAFPPpkkkkAFAFppk32vlvFPkkkkkFvvFPPkvlvkkkkkvvk dtVdvt dvdVFF/2222vlFvlF amF122vlFkkkkNevlF22牛顿数牛顿数 模型与原型的流场动模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必力相似，它们的牛顿数必定相等。定相等。amF 模型与原型的流场动力相似，则作用在流场上的模型与原型的流场动力相似，则作用在流场上的各种性各种性质的力质的力（如（如重力、粘滞力、总压力、弹性力、表面力重力、粘滞力、总压力、弹性力、表面力等）

5、都等）都要服从牛顿相似准则，即各单项力作用下的相似准则）。要服从牛顿相似准则，即各单项力作用下的相似准则）。重力相似准则重力相似准则粘滞力相似准则粘滞力相似准则表面力相似准则表面力相似准则非定常性相似准则非定常性相似准则弹性力相似准则弹性力相似准则压力相似准则压力相似准则 1.1.重力相似准则重力相似准则在重力作用下相似的流动，其重力场相似。在重力作用下相似的流动，其重力场相似。glggFkkkVggVFFk31)(2/1glvkkk代入代入Frglvlgv 2/12/1)()( FrFr弗劳德数，惯性力与重力的比值。弗劳德数，惯性力与重力的比值。122vlFkkkk 2.2.粘滞力相似准则粘

6、滞力相似准则在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。代入代入122vlFkkkklvxxFkkkAdydvAydvdFFk)/()/(1kkkkkkklvlvRe vllvvllv Re雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。 3.3.压力相似准则压力相似准则在压力作用下相似的流动，其压力场相似。在压力作用下相似的流动，其压力场相似。代入代入122vlFkkkk2lpppFkkpAApFFk12vpkkkEuvpvp22 Eu欧拉数，总压力与重力的比值。欧拉数，总压力与重力的比值。 4.4.弹性力相似准则（续）弹性力相似准则（续）

7、弹性力相似准则（气体）弹性力相似准则（气体）MacvKvCa2 Ma马赫数，惯性力与弹性力的比值。马赫数，惯性力与弹性力的比值。对于气体满足对于气体满足2/cK（c c为声速），为声速）， 第一定律：同名的相似准数保持相等第一定律：同名的相似准数保持相等第二定律：相似准数之间有彼此制约的关系第二定律：相似准数之间有彼此制约的关系第三定律：两系统要保证相似，除几何相似、相似第三定律：两系统要保证相似，除几何相似、相似准数相等外，还须初始条件、边界条件相似准数相等外，还须初始条件、边界条件相似 在设计模型和组织模型试验时，在与流动过程有关的在设计模型和组织模型试验时，在与流动过程有关的定性准则中定

8、性准则中只考虑那些对流动过程起主导作用的定性准则，只考虑那些对流动过程起主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的定性准则而忽略那些对过程影响较小的定性准则，以达到模型流动，以达到模型流动与原形流动的近似相似。与原形流动的近似相似。mnReRemnvlvlmn mnvlvllvkk1一般采用同种流体，即：一般采用同种流体，即：管道流动：管道流动： 故：故： 当管流雷诺数相当大时，断面流速接近均匀分布，紊当管流雷诺数相当大时，断面流速接近均匀分布，紊流达到成熟阶段，进入阻力平方区，说明阻力与惯性力均流达到成熟阶段，进入阻力平方区，说明阻力与惯性力均与流速平方成正比。这样，模型设计不受模型律的

9、制约，与流速平方成正比。这样，模型设计不受模型律的制约，只有尽可能提高模型流动的雷诺数，使它进入阻力平方区。只有尽可能提高模型流动的雷诺数，使它进入阻力平方区。由于这个缘故，阻力平方区也称为自动模型区。所谓自动由于这个缘故，阻力平方区也称为自动模型区。所谓自动模型区，是指：当某一相似准数在一定的数值范围内，流模型区，是指：当某一相似准数在一定的数值范围内，流动的相似性和该准则数无关，也就是说原型和模型的该准动的相似性和该准则数无关，也就是说原型和模型的该准则数不相等，流动仍保持相似，准则数的这一范围就称为则数不相等，流动仍保持相似，准则数的这一范围就称为自动模型区自动模型区。一般：一般：明渠流

10、动：明渠流动： 故：故：mnFrFrmnglvglv22 mngg mnlvlv22lvkk 量纲：量纲： 表征各种物理量性质和类别的标志，用符号表征各种物理量性质和类别的标志，用符号dimdim表示。表示。基本量纲：基本量纲：长度（长度（L L）、时间（）、时间（T T）、质量（）、质量（M M）、温度（）、温度（ ）导出量纲：导出量纲：速度速度dimv=LT-1、加速度、加速度dima=LT-2 、密度、密度dim =ML-3 力力dimF=MLT-2 、压强、压强dimp=ML -1 T-2 表面张力表面张力dim =MT-2 、体积模量、体积模量dimK=ML -1 T-2 动力粘度动

11、力粘度dim =ML -1 T-1 、运动粘度、运动粘度dim =L2 T-1 比热容比热容dimcp= dimcV=L 2 T-2 -1 气体常数气体常数dimR=L 2 T-2 -11.1.物理方程量纲一致性原则物理方程量纲一致性原则 任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量纲表示的物理方程必定是齐次性的。量纲表示的物理方程必定是齐次性的。2.2.准则方程式准则方程式无量纲的物理方程，是用相似准则数表示的物理方程。无量纲的物理方程，是用相似准则数表示的物理方程。 因次因次和谐性原理和谐性原理又被称为又被称为因次一致性原理因次一致性原理，也叫，也叫因

12、次因次齐次性原理齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项的因次应该是和谐的、一致理方程表示时，方程中每项的因次应该是和谐的、一致的、齐次的。的、齐次的。 一个正确的物理方程，式中的每项的因次应该一样，一个正确的物理方程，式中的每项的因次应该一样，以能量方程为例以能量方程为例 方程左边各项的因次从左到右依次为方程左边各项的因次从左到右依次为Cgvgpz22LLLTMLTML2321LLTTL222 瑞利法是用定性物理量瑞利法是用定性物理量x1、 x2、. 、 xn的某种幂次之的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量积的函数来表

13、示被决定的物理量y。nanaaxxkxy.2121k为无量纲系数，由试验确定。为无量纲系数，由试验确定。a1、 a2、. 、an为待定指数，根据量纲一致性原则求出。为待定指数，根据量纲一致性原则求出。 1.1.瑞利法瑞利法 如果一个物理过程涉及到如果一个物理过程涉及到 n个物理量和个物理量和m个基本量纲，个基本量纲，则这个物理过程可以由则这个物理过程可以由n个物理量组成的个物理量组成的n-m个无量纲量个无量纲量（相似准则数（相似准则数 i）的函数关系来描述。）的函数关系来描述。0).(21nxxxF，0).(21mnf， 2. 2. 定理（泊金汉定理）定理（泊金汉定理） 例例 经初步分析知道，

14、在水平等直径圆管道内流体流经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降动的压降 p与下列因素有关：管径与下列因素有关：管径d、管长、管长l、管壁粗、管壁粗糙度糙度 、管内流体密度、管内流体密度 、流体的动力粘度、流体的动力粘度 ，以及断，以及断面平均流速面平均流速v有关。试用有关。试用 定理推出压降定理推出压降 p的表达形式。的表达形式。 解：解： 所求解问题的原隐函数关系式为所求解问题的原隐函数关系式为 f( p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，三个，m=3，按，按 定理，这定理，这

15、n个变量转换成有个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式个无量纲量的函数关系式 F( 1, 2, 3, 4)=0 从从7个物理量中选出基本物理量个物理量中选出基本物理量3个，如取个，如取 、d、v，而而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示 1=l 1v 1d 1 2= 2v 2d 2 3= 3v 3d 3 4= p 4v 4d 4将上述表达式写成量纲形式将上述表达式写成量纲形式 1=L(ML-3) 1(LT-1) 1L 1=M0L0T （1） 2=L(ML-3) 2(LT-1) 2L 2=M0L0T0 （2） 3=ML-1T-1(ML-3)

16、3(LT-1) 3L 3=M0L0T0 （3） 4=ML-1T-2 (ML-3) 4(LT-1) 4L 4=M0L0T0 (4） 求解方程（求解方程（1） M: 1=0 T: 1=0 L: -3 1+ 1+ 1+1=0 1= -1所以所以 1=l/d求解方程（求解方程（2） M: 2=0 T: 2=0 L: 1-3 2+ 2+ 2=0 2= -1所以所以 2= /d求解方程（求解方程（3） M: 1+3=0 3= -1 T: -1- 3=0 3= -1 L: -1-3 3+ 3+ 3=0 3= -1所以所以 3= / vd=1/Re求解方程（求解方程（4） M: 1+ 4=0 4= -1 T:

17、 -2- 4=0 4= -2 L: -1-3 4+ 4+ 4=0 4= 0所以所以 4= p / v2因此，所解问题用无量纲数表示的方程为因此，所解问题用无量纲数表示的方程为 F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式可知可知 p / v2与其余三个无量纲数有关，那么与其余三个无量纲数有关，那么 p/ v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re) p/ g= p/ = (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re)令令 = F2( /d, 1/Re) p/ = (l/d)(v2/2g)这就是达西公式，这就是达西公式， 为沿程阻力系数，表示了等直圆管为沿程阻力系数，表示了等直圆管中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，与管径成反比。正比，与管径成反比