第03章图像变换

1、第第3 3章章图像变换图像变换3.1 3.1 二维离散傅里叶变换（二维离散傅里叶变换（DFTDFT）3.1.1 3.1.1 二维连续傅里叶变换二维连续傅里叶变换二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变换定义如下： 设 是独立变量 的函数，且在 上绝对可积，则定义积分 为二维连续函数 的傅里叶变换 定义 为 的反变换 和 为傅里叶变换对。),(yxfyx, dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(),(yxf dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(),(vuF),(yxf),(vuF【例【例3.13.1】求图3.1所示函数 ,0,0( , )0,AxXyYf x y其 他的

2、傅里叶变换。 解：解：将函数代入到(3.1)式中，得 2 ()2200( , )( , )jux vyXYjuxjvyF u vf x y edxdyAedxedy vYjuxjevYvYeuXuXAXY)sin()sin(其幅度谱为vYvYuXuXAXYvuF)sin(sin),(二维信号的图形表示图3.1 二维信号f (x, y) （a）信号的幅度谱（频谱图) （b）图（a）的灰度图图3.2 信号的频谱图 二维信号的频谱图幅度谱的幅值用灰度表示3.1.2 3.1.2 二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换离散傅里叶变换示意图为：被抽样函数的离散傅里叶变换对为：,0,1,2,.,1u xN式中

3、二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换尺寸为MN的离散图像函数的DFT ：反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得 1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF1010)/(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf112 ()001( , )( , )yvxuMNMNjxyF u vf x yeMN 1122001( , ) yvxuNMMNjjxyf x yeeMN1, )列行（ （ftftf x yMN1, )列行（ （ftftf x yMN 二维离散Fourier变换正变换: 二维二维FourierFourier变换可以转化为两次一维变换可以转化为两

4、次一维FourierFourier变换。变换。 二维离散Fourier变换反变换:112 ()00( , )( , )yvxuMNMNjuvf x yF u ve 11, )列行（ftftf x y11, )列行（ftftf x y注：逆变换的系数为注：逆变换的系数为1 1。因Fourier变换是一种正交变换，所以其正、反变换的系数可以有几种表示形式：按照严格意义上的正交变换，正、反变换的系数相等，为：按照计算方便的角度，正、反变换的系数可以按照前面的方式给出，并且正、反变换的系数可以互换。二维离散二维离散FourierFourier变换变换 变换公式系数说明变换公式系数说明1MN ),(),

5、(),(vujIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu222( , )( , )( , )F u vRu vIu vF(u,v)为f (x, y)的频谱，复数表示为：f (x, y)的幅度谱为：f (x, y)的相位谱为：DFT变换进行图像处理时有如下特点：直流成分为F(0,0)；幅度谱|F(u,v)|对称于原点；图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。 3.1.3 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质1周期性和共轭对称性 周期性和共轭对称性带来了许多方便。一维的情况，设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换： 其他00)(Xx

6、AxfuXjXuxjuxjeuXuXAXdxeAdxexfuF022sin)()(幅度谱： uXuXAXuFsin)( （a）幅度谱 （b）原点平移后的幅度谱 图3.4 频谱图 根据定义，有 在进行DFT之前用(-1)x 乘以输入的信号 f (x) ，可以在一个周期的变换中（u0，1，2，N1），求得一个完整的频谱。21(/ 2)01(/ 2)( )Njx uNNxF uNf x eN2101( 1) ( )NjxuxNxf x eN推广到二维情况，在进行傅里叶变换之前用 (-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有： DFT的原点即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。 (0,0)点的变

7、换值为： 即 f (x,y) 的平均值。 若是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称频率谱的直流成分。 )2/, 2/() 1)(,(NvMuFyxfDFTyx1010),(1)0 , 0(MxNyyxfMNF图像的频率表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。 如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。 傅立叶变换的物理意义将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数。傅立叶逆变换将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。图像图像Fouri

8、erFourier变换变换（a）原始图像 (b) 中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱图图3.5 图像频谱的中心化 2 2可分性可分性离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示： 对于每个x值，当v0，1，2，N1时，该等式是完整的一维傅里叶变换。 1010/2/2),(11),(MxNyNvyjMuxjeyxfNeMvuF10/2),(1MxMuxjevxFM10/2),(1),(NyNvyjeyxfNvxF二维变换可以通过两次一维变换来实现。同样可以通过先求列变换再求行变换得到2D DFT。 图3.6 二维DFT变换方法3 3离散卷积定理离散卷积定理设f(x,y)和g(x,y) 是大小分别为

9、AB和CD的两个数组，则它们的离散卷积定义为卷积定理卷积定理 1010),(),(),(*),(MmNnnymxgnmfyxgyxf),(),(),(*),(vuGvuFyxgyxfDFT【例【例3.23.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。 解：解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %读入图像 imshow(A); %显示图像 A2=fft2(A); %计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2); %将直流分量移到频谱图的中心figure, imshow(log(abs(A2)+1),0 10); %显示变换后的频谱图 （a）原始图像 （b）图像频谱

10、图3.7 傅里叶变换二维二维Fourier变换的应用变换的应用 用于图像滤波用于图像滤波Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。图像的频率特性图像的频率特性 FourierFourier变换的高通滤波示例变换的高通滤波示例FourierFourier变换的低通滤波示例变换的低通滤波示例二维二维Fourier变换的应用变换的应用 用于图像压缩用于图像压缩变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。基于基于FourierFourie

11、r变换的压缩示例变换的压缩示例另一幅图像效果另一幅图像效果压缩率为：1.7：1压缩率为：2.24：1压缩率为：3.3：1基于基于FourierFourier变换的压缩示例变换的压缩示例压缩率为：8.1：1压缩率为：10.77：1压缩率为：16.1：13.2 3.2 二维离散余弦变换（二维离散余弦变换（DCTDCT） Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，复数运算费时多，且在数据的描述上相当于实数的两倍。 希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换产生了DCT变换。 任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，是简化DFT的重要方法。3.2.1 3.

12、2.1 一维离散余弦变换一维离散余弦变换一维傅里叶级数中，被展开函数为实偶函数，则其傅里叶级数只有预余弦项。将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。 1、以x=-1/2为对称轴折叠原来实序列f(n)得：)(nfc1),1(10),(nNnfNnnf -N -10 N-1 N N+1f (n)图3.8 延拓示意图 2以2N为周期将其周期延拓，其中 f（0）f（1），f（N1）f（N） )(nfc12),12(10),(NnNnNfNnnf ) 12( nNfc )(nfc -1/23对0到2N1的2N个点的离散周期序列 作DFT，得 令i

13、2Nm1，则上式为)(nfc)(kFc1202)(NnnkNcWnf 102)(NnnkNWnf122) 12(NNmmkNWmNf )(kFc102)(NnnkNWnf 01)12(2)(NikiNNWif 22kNW102) 12(cos)(NnNknnf 为了保证变换基的规范正交性，引入常量，定义：F(k)C(k) N2C(k)= 102) 12(cos)(NnNknnf其中11, 10,21Nkk3.2.2 3.2.2 二维离散余弦变换二维离散余弦变换 1010)21(cos)21(cos),(2)()(),(MxNyyvNxuMyxfMNvCuCvuFDCT逆变换为 ： 为了方便计算

14、和分析，DCT可用矩阵的形式表示 正变换： 反变换：1010)21(cos)21(cos),()()(2),(NvMuyvNxuMvuFvCuCMNyxfTFCfCTfCFC11122221321coscoscos22213 (1)(21)(1)coscoscos222NCNNNNNNNNNNN 【例【例3.33.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。 解：解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %读入图像 I=dct2(A); %对图像作DCT变换 subplot(1,2,1),imshow(A); %显示原图像 subplot(1,2,2),imshow(l

15、og(abs(I),0 5); （a）原图 （b）DCT系数图3.10 离散余弦变换离散余弦变换（离散余弦变换（DCTDCT） 应用应用余弦变换实际上是利用了Fourier变换的实数部分构成的变换。余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。 离散余弦变换具有很强的“能量集中”特性:大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分。具体的做法与DFT相似。即高频部分压缩多一些，低频部分压缩少一些。3.3 3.3 二维离散沃尔什二维离散沃尔什- -哈达玛变换（哈达玛变换（DHTDHT）l 前面的变换都是余弦型变换，基底函数选用的都是

16、余弦型。l 图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。l 沃尔什（Walsh）变换。l 沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，非常便于计算机运算。l 沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算。l 采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称WHT或直称哈达玛变换。 3.3.1 3.3.1 哈达玛变换哈达玛变换l 哈达玛矩阵：元素仅由1和1组成的正交方阵。l 正交方阵：指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或者说它们对应元素之和为零。l 哈达玛变换要求图像的大小为N2n 。l 一维哈达玛变换核为 其中， 代表z的二进制表示的第k位值。10)()(

17、) 1(1),(niiiubxbNuxg（3.21） )(zbkl 一维哈达玛正变换为 l 一维哈达玛反变换为 l 二维哈达玛正反变换为 10)()(10) 1)(1)(nxubxbniiixfNuH（3.22） 10)()(10) 1)()(nuubxbniiiuHxf（3.23） 1010)()()()(10) 1)(,(1),(NxNyvbybubxbniiiiiyxfNvuH（3.24） 1010)()()()(10) 1)(,(1),(NuNvvbybubxbniiiiivuHNyxf（3.25） l 二维哈达玛正、反变换也具有相同形式。l 正反变换都可通过两个一维变换实现。l 高阶

18、哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：lN8的哈达玛矩阵为 222211NNNNNHHHHNHN（3.26） 5261437011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112218H（3.27） 3.3.2 沃尔什变换l 哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。l 将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的有序的变换就成为沃尔什（Walsh）变换。 l 一维Walsh变换核为l 二维沃尔什正变换和反变换为101)()(10) 1(1),(niiniubxbNiNuxg（3.28） 1010)()()()(101011)

19、 1(),(1),(NxNyvbybubxbniniiniiniyxfNvuW1010)()()()(101011) 1(),(1),(NuNvvbybubxbniniiniinivuWNyxfN8时的沃尔什变换核的值为 3.4 卡胡南卡胡南-列夫变换（列夫变换（K-L变换）变换）l Kahunen-Loeve变换是在均方意义下的最佳变换。l 优点：能够完全去除原信号中的相关性，因而具有非常重要的理论意义。l 缺点：基函数取决于待变换图像的协方差矩阵，因而基函数的形式是不定的，且计算量很大。H8= 765432101111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111221（3.29） 3.5 3.5 二维离散小波变换二维离散小波变换l 一种窗口大小固定，但形状可改变，因而能满足时频局部化分析的要求的变换。 3.5.1 连续小波变换连续小波变换l 设 且 ，按如下方式生成的函数族 称为分析小波或连续小波。l 称为基本小波或母波l a称为伸缩因子，b为平移因子。21LL 0)0(0,)()(21,aRbaabxaxba（3.30） )(x3.5.2 离散小波变换离散小波变换l 把连续小波变换离散化更有利于实际应用。l 对a和b按如下规律取样： 其中， ； ； ，得