第九章导体和电介质中的静电场例题详解

1、 例例9-1 9-1 两个半径分别为两个半径分别为R R和和r r的球形导体（的球形导体（R R r r），用一跟很长的细导线连接起来，使这个导），用一跟很长的细导线连接起来，使这个导体组带电，电势为体组带电，电势为V V，求两球表面电荷面密度曲，求两球表面电荷面密度曲率的关系。率的关系。 01,4RQVRRrrRQRqrRrQq014rqVr001144rRQqVVRr 说明：细导线很长说明：细导线很长, 忽略两球之间的静电感应忽略两球之间的静电感应, 两球可近似看成孤立导体。两球可近似看成孤立导体。2244RrRRrr1）导体表面凸出而尖锐的地方（）导体表面凸出而尖锐的地方（曲率较大曲率较

2、大） 电荷面密度较大电荷面密度较大2）导体表面平坦的地方（）导体表面平坦的地方（曲率较小曲率较小） 电荷面密度较小电荷面密度较小3）导体表面凹进去的地方（）导体表面凹进去的地方（曲率为负曲率为负） 电荷面密度更小电荷面密度更小结论：结论： 对于孤立带电体，其电荷分布将只取决于对于孤立带电体，其电荷分布将只取决于导体导体自身的形状。自身的形状。一般导体电荷的分布与一般导体电荷的分布与导体形状有关导体形状有关附近其它带电体有关附近其它带电体有关例例9-2 在内外半径分别为在内外半径分别为R1和和R2的导体球壳内，有一的导体球壳内，有一个半径为个半径为r1 的导体小球，小球与球壳同心，让小球与的导体

3、小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别带上电荷量球壳分别带上电荷量q和和Q。试求：。试求： （1）小球的电势）小球的电势Vr，球壳内、外表面的电势；，球壳内、外表面的电势； （2）小球与球壳的电势差；）小球与球壳的电势差； （3）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。 1R2RqQr1E120()4qrRr)(021RrR220()4QqrRrqQ1R2R 解：解： 球壳内表面均匀分布电荷球壳内表面均匀分布电荷-q，球壳外表面均，球壳外表面均 匀分布电荷匀分布电荷q+Q。qq（1）小球的电势为）小球的电势为球壳内、外表面的电势为球壳内、外表面的电势为1211

4、120112ddd14RRrrRRVE rE rE rqqqQrRR1102d4RRqQVE rR2202d4RRqQVE rRr1球壳为等势体球壳为等势体场强积分法场强积分法qQ 球壳内、外表面的电势为球壳内、外表面的电势为1011214rqqqQVrRR1011202144RqqqQqQVRRRR2022202144RqqqQqQVRRRR1R2Rqqr1电势叠加法电势叠加法（1）小球的电势为）小球的电势为导体组可看成三层均匀带电球面导体组可看成三层均匀带电球面011114rRqVVrR（3）若外球壳接地，球壳外表面上电荷为零，但）若外球壳接地，球壳外表面上电荷为零，但 导体球表面和球壳内

5、表面上的电荷分布不变，导体球表面和球壳内表面上的电荷分布不变， 两球的电势分别为两球的电势分别为（2）两球的电势差为）两球的电势差为011114rqVrR021RRVV011114rRqVVrR两球的电势差仍为两球的电势差仍为qq1R2R（1）不管外球壳接地与否，两球的电势差恒保持不变。）不管外球壳接地与否，两球的电势差恒保持不变。 当当q为正值时，小球的电势高于球壳；为正值时，小球的电势高于球壳； 当当q为负值时，小球的电势低于球壳。为负值时，小球的电势低于球壳。（2）球壳与小球的电势）球壳与小球的电势 与小球在壳内的位置无关。与小球在壳内的位置无关。（3）如果两球用导线相连或小球与球壳相接

6、触，）如果两球用导线相连或小球与球壳相接触，电荷电荷q 总是全部迁移到球壳的外边面上。总是全部迁移到球壳的外边面上。011114rRqVVrR两球的电势差为两球的电势差为:可见：可见：例例9-3三个电容器按图连接，其电容分别为三个电容器按图连接，其电容分别为C1 、C2和和 C3。当电键。当电键K打开时，将打开时，将C1充电到充电到U0，然后断开，然后断开 电源，并闭合电键电源，并闭合电键K。求各电容器上的电势差。求各电容器上的电势差。U0+q0 q0KC1C2C3解：已知在解：已知在K 闭合前闭合前, C1极板上所带电荷量为极板上所带电荷量为q0 =C1 U0 ，C2和和C3极板上的电荷量为

7、零。极板上的电荷量为零。K闭合后，闭合后， C1放电并对放电并对C2 、 C3充电，整个电路可看作为充电，整个电路可看作为C2、C3串联再与串联再与C1并联。并联。设稳定时，设稳定时， C1极板上的电荷量为极板上的电荷量为q1， C2和和C3极板上的电极板上的电荷量为荷量为q2。U1U2U3q1q2q2q1120qqq122123qqqCCCKq1q2C1C2C3U1U2U3q2q203132213211qCCCCCCCCCq解两式得解两式得03132213221UCCCCCCCCC0313221321102UCCCCCCCCCqqq因此，得因此，得C1 、C2和和C3上的电势差分别为上的电势

8、差分别为1231101122313CCCqUUCC CC CC C132202122313C CqUUCC CC CC C212303122313qC CUUCC CC CC CcosnP eP 由此可知，右半球面上由此可知，右半球面上0 左半球面上左半球面上0020处，；及处，最大。解：解：1 1）球面上任一点极化电）球面上任一点极化电 荷面密度为荷面密度为例例9-4 半径半径R 的介质球被均匀极化，极化强度为的介质球被均匀极化，极化强度为 。 求：求：1）介质球表面极化面电荷的分布；）介质球表面极化面电荷的分布； 2）极化电荷在球心处的场。）极化电荷在球心处的场。P xPnene2） 在球

9、面上在球面上 取环带取环带d 2d2 sindcos2sin dqRRPR 20ddcos4qER 2000dsincosd23PPEE 由对称性可知，在球心处的场只有由对称性可知，在球心处的场只有x轴方向的分量轴方向的分量20sincosd2P x dRP环带上的极化电荷元为环带上的极化电荷元为沿沿x轴负方向。轴负方向。E由于是均匀极化，所以介质球内为由于是均匀极化，所以介质球内为匀强电场。匀强电场。例题例题9-5 一半径为一半径为R的金属球，带有电荷的金属球，带有电荷q0，浸埋在，浸埋在 “无限大无限大”均匀电介质中（相对电容率为均匀电介质中（相对电容率为 r ），求：），求：球外任一点球

10、外任一点P的场强及极化电荷分布。的场强及极化电荷分布。解解: 如图所示，过如图所示，过P点作一半径点作一半径 为为r并与金属球同心的闭合球并与金属球同心的闭合球 面面S，由高斯定理知：，由高斯定理知：024qDr20d4DSDrqrSPDE, 所以离球心所以离球心r 处处P点的场强为点的场强为因因00022044rrrrqqEDEeerr Rq0 rP002-114rrrrqPEer极化面电荷分布在与金属球交极化面电荷分布在与金属球交界处的电介质界面上（另一电界处的电介质界面上（另一电介质表面在无限远处），介质表面在无限远处），其其电电荷面密度为荷面密度为0214rnrqP eR 0001rr

11、rqqq因为因为r 1， 恒与恒与q0 反号，在交界面处，自由电荷和反号，在交界面处，自由电荷和极化电荷的总电荷量为极化电荷的总电荷量为离球心离球心r处场强减小到处场强减小到真空时的真空时的1/ r倍的原因倍的原因RrSPPq0例题例题9-6 平行板电容器两板极的面积为平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，如图所示，两板极之间充有两层均匀电介质，电容率分别为两板极之间充有两层均匀电介质，电容率分别为 1 和和 2 ，厚度分别为，厚度分别为d1 和和d2 ，电容器两极板上自由电，电容器两极板上自由电荷面密度为荷面密度为 。求（。求（1）在各层电介质的电位移和）在各层电介质的电位移和场强；（场强

12、；（2）电容器的电容。）电容器的电容。+ + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - -1d2d- - - - - - + + + + + + + + + + + + - - - - - - 1E2E12解解（1）先在两层电介质先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面交界面处作一高斯闭合面S，在此高斯面内的自由，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的电荷为零。由电介质时的高斯定理得高斯定理得1121d0DSD SD S +=12DD=S1S111222,DEDE=211221rrEE可见在这两层电介质中可见在这两层电介质中场强场强并不相等并不相等，而是，而是和电

13、容率率和电容率率（或（或相对电容率相对电容率）成反比成反比。 为了求出电介质中电位移和场强的大小，可另为了求出电介质中电位移和场强的大小，可另作一个高斯闭合面作一个高斯闭合面S ，这一闭合面内的自由电荷等于，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，由电介质时的高斯定理，得正极板上的电荷，由电介质时的高斯定理，得1122dDSD SS=12DD1110rE 2220rE 匀强电场匀强电场- - - - -2S+ + + + + + + + + + - - - - - - - - - 1d2d- - - - -+ + + + + + + + + +1E2E12S2S112212121212ABV

14、VE dE dddddqS=（2）正、负两极板）正、负两极板A、B间间 的电势差为的电势差为1212ABqSCddVVq=S是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为电容的大小与电介电容的大小与电介质的放置次序无关质的放置次序无关+ + + + + + + + + + - - - - - - - - - 1d2d- - - - -+ + + + + + + + + +- - - - -1E2E12S11E22E例题例题9-8如图所示，在一边长为如图所示，在一边长为d的立方体的每个的立方体的每个顶点上放有一个点电荷顶点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个点，

15、立方体中心放有一个点电荷电荷+2e。求此带电系统的相互作用能量。求此带电系统的相互作用能量。+2e e e e-e e-e-e ed解解: 任一顶点处的电势为任一顶点处的电势为00003()3()4422()43342ieeVddeedd 在体心处的电势为在体心处的电势为根据公式可得这个点电荷系的总相互作用能为根据公式可得这个点电荷系的总相互作用能为00843 2eVd022220011822211212280.34423iWe Ve Veeeedddd+2e e e e-e e-e-e ed例例9-9 求半径为求半径为R 带电量为带电量为Q 的均匀带电球的静电能。的均匀带电球的静电能。30(

16、)4QrErRR，201()4QErRr，201d2WE Vr 处电场处电场222200320004d4d2424RRQrQrrrrRr20320QR解：利用解：利用 来计算来计算201d2VWEVRrOQ球外为真空球外为真空例题例题9-10一平行板空气电容器的板极面积为一平行板空气电容器的板极面积为S，间，间距为距为d，用电源充电后两极板上带电分别为，用电源充电后两极板上带电分别为 Q。断。断开电源后再把两极板的距离拉开到开电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（。求（1）外力）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间）两极板之间的相互吸引力。（空气的

17、电容率取为的相互吸引力。（空气的电容率取为0）。）。dSCdSC2,0201 221101122QQ dWCS板极上带电板极上带电Q 时所储的电能为时所储的电能为解：（解：（1 ）两极板的间距为）两极板的间距为d 和和2d 时，平行板电容器时，平行板电容器 的电容分别为的电容分别为220122QdWS，221012Q dWWWS=（2）设两极板之间的相互吸引力为）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板，拉开两极板 时所加外力应等于时所加外力应等于F ，外力所作的功，外力所作的功A = Fd ， 所以所以AFd故两极板的间距拉开到故两极板的间距拉开到2 2d d后电容器中电场能量的后电容器中

18、电场能量的增量为增量为Wd202QS例例9-11 平行板空气电容器每极平行板空气电容器每极板的面积板的面积S = 310-2m2 ，极板，极板间的距离间的距离d = 310-3m 。今以厚。今以厚度为度为d = 110-3m的铜板平行地的铜板平行地插入电容器内。插入电容器内。（1）计算此时电容器的电容；）计算此时电容器的电容；（2）铜板离极板的距离对上述）铜板离极板的距离对上述结果是否有影响？结果是否有影响？（3）使电容器充电到两极板的）使电容器充电到两极板的电势差为电势差为300V后与电源断开，后与电源断开，再把铜板从电容器中抽出，外再把铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？界需作功多少功？d1d2dd +