大学物理角动量3

1、 刚体的角动量刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。设刚刚体上各个质点的角动量之和。设刚体以角速度体以角速度绕固定轴绕固定轴z转动转动, Li=miviri=mi ri2L=( mi ri2) I= mi ri2,称为称为mivirioL Z IL上次内容回顾I= mi ri2dmrI2质量连续分布刚体质量连续分布刚体和转轴有关和转轴有关,和物体的质量和质量分布有关和物体的质量和质量分布有关上次内容回顾质量为质量为m、长度为、长度为L的细直棒，通过质的细直棒，通过质心心C且垂直于棒的轴且垂直于棒的轴2121mLI 2mR21I 均质圆盘均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，绕中心轴转动时，上次

2、内容回顾 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量I等于刚体通过质心的等于刚体通过质心的平行轴的转动惯量平行轴的转动惯量Ic加上刚体的总质量加上刚体的总质量M乘以两平行乘以两平行轴间距离轴间距离d的平方，即的平方，即 I=Ic+Md2 IL IdtdIM对定轴转动来说对定轴转动来说,刚体的角加速度与它所受到的力矩正刚体的角加速度与它所受到的力矩正比比,与转动惯量成反比与转动惯量成反比刚体定轴转动的刚体定轴转动的角动量定理角动量定理dtdLM 上次内容回顾 刚体的进动非定轴转动问题dtLdMIL IdtdIMmgO例题例题1 以以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，的恒力矩作用在有

3、固定轴的转轮上，在在10s内该轮的转速均匀地由零增大到内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。此时撤去该力矩，转轮经此时撤去该力矩，转轮经100s而停止。试推算此转轮而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量对该轴的转动惯量,及摩擦力距。及摩擦力距。2IMrm.N8 . 1Mkgm3 .17Ir222t 20-Mr=I 1， 1= /t1 o对对m: mg-T=ma对柱：对柱： TR=I ， 解得解得 =2mg/(2m+M)R, T=Mmg/(2m+M)。RMmTmg 例题例题2 质量为质量为M、半径为、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体

4、边缘绕有一根不能伸长轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，如图所示。求柱的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。体的角加速度及绳中的张力。221MRI 解： a=R x mg-T2= ma a=R 1=r 2 , T1R= m1R21 2121 T2r-T1r = m2r2 2T1T1T2mgm1m2mRr12例题例题3 质量质量m1半径为半径为R的匀质圆盘可绕水平光滑轴转的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为m2半径半径r的具有水平光滑轴的圆盘形定

5、滑轮后挂有质量为的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有质量为m的的物体，如图所示。求当物体物体，如图所示。求当物体m由静止开始下落了由静止开始下落了h时，时，求求:物体物体m的速度及的速度及 绳中的张力。绳中的张力。 解解 : v2=2ah，x 例题例题4 一根质量为一根质量为m、长为、长为l的均匀细棒的均匀细棒AB，可绕，可绕一水平光滑轴一水平光滑轴o在竖直平面内转动，在竖直平面内转动，o轴离轴离A端的距离端的距离为为 l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕o轴转动，轴转动，求棒转过角求棒转过角 时的角加速度和角速度。时的角加速度和角速度。 ABoCmgcos6lm

6、gMo22291)6(121mllmmlIocos23lgIMoo 解解 dtdddddcos23lgdtd所以dlgdcos2300完成积分得lgsin3讨论讨论: (1)当当 =0时，时， =3g/2l， =0 ； (2)当当 =90时，时， =0， =(3g/l)1/2。 dtddtdddddcos23lgABoCmg 例题例题5 一质量为一质量为m、半径为、半径为R的匀质圆盘绕通过盘的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以心且垂直于盘面的光滑轴正以 o的角速度转动。现将的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为为

7、，求圆盘经转几圈将停下来？求圆盘经转几圈将停下来？ rdro计算出来摩计算出来摩擦力矩是关键擦力矩是关键rdrRmgrMR202mgR32221mRI rdrRmgrMR202rdro221mRI RgIM34于是得于是得 又由又由 2- o2=2，所以停下来前转过的圈数为，所以停下来前转过的圈数为gRNoo1632222mgR32 定轴转动的角动量守恒定律dtdLM ILdtLdMdt)I (d 若物体所受的合外力矩为零若物体所受的合外力矩为零(即即0)时，则时，则 I =常量常量 这表明：当合外力矩为零时这表明：当合外力矩为零时,物体的角动量将保持不物体的角动量将保持不变，这就是定轴转动的

8、角动量守恒定律变，这就是定轴转动的角动量守恒定律说明：在惯性系下成立说明：在惯性系下成立恒定角速度刚体，则定轴转动的物体如果是是刚体定轴转动的物体如果不增大减小则减小增大则若III I =常量常量零，系统总角动量守恒矩矢量和为只要系统所受到的外力系统，如果是几个物体组成的系统定轴转动的角动量守恒dtLdMo量保持不变。则物体对这个轴的角动心的轴的力矩为零，到的合外力对通过其质），只要物体所受下（既有平动又有转动体运动的情况可以证明：在物体有整转轴存在运动的情况 系统角动量守恒的条件是：系统角动量守恒的条件是： 系统动量守恒的条件是：系统动量守恒的条件是：时当外 0M常矢量iiP时当外0F系统的

9、机械能守恒的条件是系统的机械能守恒的条件是:时当非保内外0AA常数kpEE三大守恒定律的守恒条件常矢量L 解解 .ommvv 例题例题6 粗糙的水平桌面上，有一长为粗糙的水平桌面上，有一长为2L、质量为、质量为m的匀的匀质细杆，可绕通过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴质细杆，可绕通过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴o自由转动，杆与桌面间的摩擦系数为自由转动，杆与桌面间的摩擦系数为，起初杆静止。桌起初杆静止。桌面上有两个质量均为面上有两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同的速率正对着杆的一端，以相同的速率v相向运动，并与杆的两相向运动

10、，并与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞端同时发生完全非弹性碰撞(设碰撞时间极短设碰撞时间极短), 如图如图,求求: (1)两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？ (2)杆经多少时间停止转动？杆经多少时间停止转动？(不计两小球重力造成的摩擦不计两小球重力造成的摩擦力矩）力矩）碰撞过程中有角动量守恒碰撞过程中有角动量守恒Lv762231)2(121mLLmI2mvL .ommvv (2)xgdxLmML220LgIM143由= o+t：gvt42Lmg碰撞过程中有角动量守恒碰撞过程中有角动量守恒dm.ox dxfr)2(2mLI 解解 oR/2 例题例题

11、7 匀质园盘匀质园盘(m、R)与一人与一人(m/10,视为质点视为质点)一起一起以角速度以角速度 o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动,如图如图所示所示。如果此人相对于盘以速率。如果此人相对于盘以速率v、沿半径为、沿半径为R/2的园的园周运动周运动(方向与盘转动方向相反方向与盘转动方向相反), 求求:(1)圆盘对地的角速圆盘对地的角速度度;(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？向？盘地人盘人地VVV2Rv设盘对地的角速度为oRmmR)21(102122221mR体系初态角动量体系初态角动量末态盘的角动量末态盘

12、的角动量oRmmR)21(102122221mRRvo212(2) 欲使盘静止，可令欲使盘静止，可令0212RvooRv221 oR/22)2(10RvRm当刚体在力矩当刚体在力矩M的作用下由角的作用下由角 1转到转到 2时时,力矩所作的功为力矩所作的功为FZdsdrop21MdA力矩的功率是力矩的功率是 P=dA/dt=Md /dt=M 定轴转动的功和能程功为：角度，在此过作用下转过点，刚体在的作用在与转轴距离为转动，外力刚体绕dFprFozrdFdAsinrdF Md221iivmi22iikrm21E 刚体的转动动能刚体的转动动能=刚体上各质点动能之和刚体上各质点动能之和,设刚体设刚体绕

13、一定轴以角速度绕一定轴以角速度 转动转动,第第i个质点的质量为个质点的质量为mi,它它到转轴的距离为到转轴的距离为ri,它的线速度它的线速度vi=ri. 相应的动能相应的动能定轴转动中的动能iriv2I21刚体的动能是转动惯量乘以角速度刚体的动能是转动惯量乘以角速度平方的一半平方的一半2221iirmdtdIIMdM21在上式两边同乘以在上式两边同乘以d 并积分得并积分得：合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。这便是定轴转动的动能定理量。这便是定轴转动的动能定理 2122212121IIMdA刚体定轴转动的动能定理dI21因此刚体的机械能为：因

14、此刚体的机械能为： 221ImgzEc机械能守恒定律如果一个包括刚体在内的系统如果一个包括刚体在内的系统,在运动过程中在运动过程中外力功和非保守内力功代数和为零外力功和非保守内力功代数和为零,则此系统则此系统的机械能守恒的机械能守恒cPMgzE 的大小力矩米的 轮的轮缘上为的看作均分布在半径近似转，若飞轮的质量可以转速为每分钟转后飞轮的转动，经用下由静止开下由静止的作在恒力矩轮质量为，例M求，0.51205Mkg,200m飞821222121IIMdA2221IMA01mN6 .125M2LmgChco231mLI L)sin-(13gdtddtdddddcos2L3g 例例9一质量为一质量为

15、m、长为、长为L的均匀细直棒可绕其一端且的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴与棒垂直的水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止转动。开始时，棒静止在竖直位置，求棒转到与水平面成在竖直位置，求棒转到与水平面成 角时的角速度和角时的角速度和角加速度角加速度 sin2Lmg221I 例题例题10 如图所示，有一由弹性系数为如图所示，有一由弹性系数为k的弹簧、匀的弹簧、匀质滑轮和重物质滑轮和重物M组成的系统，滑轮质量为组成的系统，滑轮质量为m半径为半径为r，该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳与滑轮间无滑动。求与滑轮间无滑动。求:(1)重物重

16、物M下落下落h时的速度；时的速度；(2)弹簧的最大伸长量。弹簧的最大伸长量。 MghhMmrk零势面221mrI ，v= rmMkhMghv2122 解解 kMg2hMax222212121khIMv 解解 ABORo 例题例题11 空心园环可绕光滑的竖直固定轴空心园环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转自由转动，转动惯量为动，转动惯量为Io ,半径为半径为R，初始角速度为，初始角速度为 o 。质量。质量为为m的小球静止在环的最高处的小球静止在环的最高处A点，由于某种扰动，点，由于某种扰动，小球沿环向下滑动，求小球滑到与环心小球沿环向下滑动，求小球滑到与环心O在同一高度在同一高度的的B点时，环的角速

17、度及小球相对于环的速度各为多点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多少。少。(设环的内壁和小球都是光滑的，环截面很小设环的内壁和小球都是光滑的，环截面很小)2000mRIIC00I角动量守恒角动量守恒)(20mRI ABORo 上式中的上式中的v是小球相对于地的速是小球相对于地的速度，它应为度，它应为222)(BvRvvB表示小球在表示小球在B点时相对于地面的竖直分点时相对于地面的竖直分速度速度(即相对于环的速度即相对于环的速度)。 mgRI20021022200BImRRIgR2v机械能守恒机械能守恒2202121mvI 解解 2l/3mvooA32lmvo)43(6mMlmvo(2)杆在

18、转动过程中显然机械能守恒：杆在转动过程中显然机械能守恒： 例题例题12 长为长为l、质量为质量为M的匀质杆可绕通过杆一端的的匀质杆可绕通过杆一端的水平光滑固定轴水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂，如图所示。转动，开始时杆竖直下垂，如图所示。有一质量为有一质量为m的子弹以水平速度射入杆上的的子弹以水平速度射入杆上的A点，并嵌点，并嵌在杆中，在杆中，oA=2l/3, 求求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度子弹射入后瞬间杆的角速度; (2)杆能转过的最大角度杆能转过的最大角度 。)32(3122lmMl 角动量守恒角动量守恒)cos2-Mg(ll)322()32(31 2)32(1cos222lm

19、glMglmMllmvo2l/3mvooA以杆的下端点为零势点以杆的下端点为零势点222)32m(M3121mg32Mgllll)cos32-mg(ll 刚体力学小结刚体力学小结质点的角质点的角动量定理动量定理质点的质点的角动量角动量质点的角动质点的角动量守恒定律量守恒定律质点系的质点系的角动量定理角动量定理定轴转动定轴转动角动量角动量定轴转动定轴转动的转动定理的转动定理刚体的角刚体的角动量守恒动量守恒定轴转动定轴转动动能定理动能定理定轴转动定轴转动动能和功动能和功刚体的机刚体的机械能守恒械能守恒在继承的在继承的基础上创新基础上创新狭义振动：狭义振动：物体在一定位置附近作物体在一定位置附近作周

20、期性周期性往复运动往复运动广义振动：任一物理量广义振动：任一物理量(如电压、电如电压、电 流等流等)在某一数值在某一数值附近反复变化。附近反复变化。 第四章第四章 振动学基础振动学基础广义振动：随时间的变化有一定的周期性的事物尽管振动有各种形式，但却具有同样的规律性，尽管振动有各种形式，但却具有同样的规律性，这种规律可以用统一的数学形式来表达这种规律可以用统一的数学形式来表达本章重要性的体现 振动学一个基本的思路振动学一个基本的思路振动叠加原理振动叠加原理任何一个复杂的振动都可以看成任何一个复杂的振动都可以看成是一种最基本的振动合成的是一种最基本的振动合成的简谐振动简谐振动研究清楚了简谐振动，

21、再清楚了它们的研究清楚了简谐振动，再清楚了它们的合成问题，就可以研究任何复杂振动了合成问题，就可以研究任何复杂振动了第一节：简谐振动的运动学第一节：简谐振动的运动学弹簧振子弹簧振子的运动如的运动如图所示图所示一，一，弹簧振子弹簧振子kmoxX当振子位移为当振子位移为x时时kxF由牛顿定律：由牛顿定律：kxdtxdm22令令2mk于是有：于是有：0222xdtxdkmoxXma简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程方程的一般解为：方程的一般解为：)cos(tAx简谐振动的运动方程简谐振动：相对与平衡位置的位移是时间简谐振动：相对与平衡位置的位移是时间的正弦或余弦函数这样的振动就是简谐振动的正弦或余弦函数这样的振动就是简谐振动方程的一般解为：方程的一般解为：)cos(tAx简谐振动的定义简谐振动的定义oTtx、 、ax 2A 0 0 0a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速 AA-A- A- 2A a)sin(tAdtdxv)cos(222tAdtxda)cos(tAx位置、速度和加速度