函数的连续与一致连续

1、目录u选题的目的和意义u本选题的理论依据、研究内容u论文结构u具体内容 u致谢选题的目的和意义 本选题的目的是在充分了解函数连续和函数一致连续的基础上，讨论函数连续与一致连续的关系，总结出判断函数一致连续的各种有效方法。函数连续与一致连续的关系函数连续与一致连续的关系判别函数一致连续的方法判别函数一致连续的方法函数连续函数连续一致连续一致连续本选题的理论依据、研究内容本选题的理论依据、研究内容在给出函数连续与一致连续定义之后，主要依据在给出函数连续与一致连续定义之后，主要依据Cantor定理（闭区间上的连续函数是一致连续的）寻求定理（闭区间上的连续函数是一致连续的）寻求在开区间、无穷区间上函数

2、连续与一致连续的关系。在开区间、无穷区间上函数连续与一致连续的关系。研究内容主要包括：研究内容主要包括：1、了解连续函数与一致连续函数的关系，主要是给出、了解连续函数与一致连续函数的关系，主要是给出在不同区间（闭区间、有限开区间、半开半闭区间、无在不同区间（闭区间、有限开区间、半开半闭区间、无穷区间）上的一致连续函数判别方法。穷区间）上的一致连续函数判别方法。2、区间进行拓展，进一步讨论一致连续函数具有的一、区间进行拓展，进一步讨论一致连续函数具有的一些性质，再对判别一致连续的方法进行总结。些性质，再对判别一致连续的方法进行总结。3、综合出判别函数一致连续的充要条件，并根据这些、综合出判别函数

3、一致连续的充要条件，并根据这些判别方法结合具体例子说明这些判别方法的应用。判别方法结合具体例子说明这些判别方法的应用。论文结构论文结构总结总结 讨论函数连续讨论函数连续与一致连续的关与一致连续的关系及详细论证系及详细论证函数的连续函数的连续与一致连续与一致连续一致连续函数的一些一致连续函数的一些性质以及其他判别函性质以及其他判别函数一致连续的方法数一致连续的方法相关知识相关知识具体内容具体内容 相关知识相关知识 1 )基本概念基本概念 函数在某区间、某点连续以及在区间函数在某区间、某点连续以及在区间I上一致连续的定义上一致连续的定义： 函数在区间的每一点都连续，则称在区间内连续。 00000(

4、 )()lim( )()xxf xxU xf xf x若函数在 点附近有定义，并且时，我们称f(x)在x 点连续。0000000( )()0,( ,)0,():,( )(),( )f xxU xxxU xxxf xf xf x 若函数在 点附近有定义，若只要都有则称在x 点连续。( )0,( )0,:,( )(),( )f xxIxxf xf xf x 若函数在区间I上有定义，若只要x都有则称在区间I上一致连续。根据定义浅谈函数连续与一致连续的区别根据定义浅谈函数连续与一致连续的区别函数一致连续定义在实例中应用sin,yx例1：证明在(-+)内一致连续。()()sinsin2 sincos22

5、()sin20,=,(,),( )().sin,xxxxxxxxxxx xxxf xf xyx 取，满足就有：所以就有在(-+ )内一致连续。函数连续与一致连续的关系及详细论证1 )1 )在闭区间上连续与一致连续的关系在闭区间上连续与一致连续的关系Cantor定理：函数f(x)在a,b上一致连续的充要条件是f(x)在a,b上连续。这里我选择的是区间套定理进行证明的。 2)2)在有限开区间上连续与一致连续的关系在有限开区间上连续与一致连续的关系这里先根据以下例子得出在开区间上一致连续的充要条件。 由此我们发现：在有限开区间上连续函数是否一致连续，取决于函数在区间断点的状态，于是可以得出以下两个推

6、论。从而根据以上例子得出在有限开区间上函数连续与一致连续关系：3 )3 )在无穷区间上连续与一致连续的关系在无穷区间上连续与一致连续的关系为了给出在无穷区间上连续与一致连续的关系，这里先介绍函数一致连续的一个性质区间可加性。其他性质将在后面章节会讲到。该定理可以将函数已知的一致连续区间进行整合和拓延，得到新的一致连续区间。这样的区间可加性为我们分段处理函数一致连续性问题提供了理论基础。以下，我将给出函数在无穷区间上的一致连续性。1212)lim( )0,1,),()()( )1,).( ) ,)( ) ,1 ,11,),2( ) ,)xf xCauchyXx xXf xf xf xXf xax

7、a Xa XXf xa f(+存在，由收敛准则有成立.在上一致连续在上连续在上连续，从而一致连续.由定理 ，在上一致连续.根据以上出以下推论：根据以上出以下推论： ,?( ,)()().2 ,?,().aaf afbbf推论3.1 函数f(x)在上一致连续的充分条件是：f(x)在上连续且和都存在推论3函数f(x)在上一致连续的充分条件是：f(x)在上连续且存在4, 定理 函数f(x)在上一致连续的充分必要条件是：f(x)在上连续且f(-)和f(+)都存在.,0,0,00,02, 证明： f(x)在上连续f(x)在上连续f(+ )存在由定理3，f(x)在上一致连续同理f(x)在上一致连续由定理

8、，函数f(x)在上一致连续.3 ,?,().bb推论3函数f(x)在上一致连续的充分条件是：f(x)在上连续且f(b-)和f存在4 )在一般任意区间上连续与一致连续的关系 ,( )( )( )( )( )( )xXf xf xL g xg xg xXf xX引理 若对于定义在区间X上的函数f(x)和g(x)， L0,x有成立，而在上一致连续，则在 上也一致连续.5?( )f xX定理 设函数f(x)在区间X上连续，且满足f(x)在X上有界，则在 上一致连续.0,( )()( )LxXf xf xL xxf xX推论 （Lipschitz） 若函数f(x)在区间X上满足下述Lipschitz条件

9、，即：， x，有成立,则在 上一致连续.一致连续函数的一些性质以及其他判别函数一致连一致连续函数的一些性质以及其他判别函数一致连续的方法续的方法1 )1 )一致连续函数的一些性质一致连续函数的一些性质一致连续函数的四则运算性质一致连续函数的四则运算性质复合函数的一致连续性复合函数的一致连续性2 )2 )关于函数连续性与一致连续性关系的其他判定方法关于函数连续性与一致连续性关系的其他判定方法（以下（以下主要结合例题进行说明）主要结合例题进行说明）经过查阅资料，我在该论文中总结的判别函数一致连续的方法还包括：比较判别法；比值判别法以及凸函数判别法。我们看一个例题：这里就主要应用了比值判别法：其中定

10、理17内容如下：22+28lnlnlim1,( )0,17ln0 +xxxxxxxxg xxxxx 例 判断函数f(x)=的一致连续性。解： 选取函数x作为比较函数，有：而函数在区间上一致连续，由定理可知：函数函数f(x)=在区间，一致连续.+17,lim( )lim( );( ),( )( )()limlim( )( ),xxxxaf xg xiiafxf xiiiAg xg xa 定理 函数f(x),g(x)在上连续，f(x),g(x)满足：(i) f(x),g(x)在上可导，且g(x)0； 存在，若（A为非0定值），则f(x),g(x)在区间上有相同的一致连续性.3 )3 )关于函数一致

11、连续性的其他定理关于函数一致连续性的其他定理（这里分别给出了利用数（这里分别给出了利用数列判别、利用积分判别的方法）列判别、利用积分判别的方法）利用数列利用积分31,( ),.xaaaf s dsa定理 设函数f(x)在区间上局部可积，且f(x)在区间上有界，则f(x)=在上一致连续 nn29,lim0,lim()()0.30:()nnnnnnnnxyxyf xf yIIxf x定理 函数f(x)在I上一致连续的充要条件：对区间I上的任意两个数列当时 有定理 函数f(x)在有限区间 上一致连续的充要条件是 当 上数列为基本列时，也是基本列.总结总结 本论文主要讨论了一元函数的一致连续性，探讨了

12、函数连续与一致连续的关系，总结了判别函数一致连续的方法。 通过几个月的不懈努力，我较好的完成了该毕业设计，在此过程中，我对函数的连续及一致连续有了更深刻的认识。该论文中总结出的函数一致连续的判别方法，主要是在以前学习的基础上查阅了大量资料，多次与指导老师探讨之后归纳出来的，较系统的整理了函数的连续与一致连续的关系，给出了很多判别函数一致连续的方法。 当然，由于时间的仓促及自身专业水平的欠缺，我相信还有很多判别方法并没有完全总结出来，该论文也有很多需要改善之处，如：其他可以判别函数一致连续的方法、推广到二元函数上的一致连续、扩充到数集上的函数的一致连续性等。恳请阅读此论文的老师、同学多予指正，我将不胜感激！ 但是，通过我对函数一致连续的比较系统的总结，我相信这一定能给以后的学习函数的连续与一致连续、判别函数一致连续带来一定程度的方便；在对该论文加以改进完善以后，是可以在函数连续中使用的。致谢 本论文是在我的导师老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。 从最初的资料收集、开题报告的提交到写作、修改，再到最后的定稿，整个过程中我也遇到过各种各样的问题，李老师都会为我孜孜不倦的一一解答。在他的耐心的指导和无私的帮助下，我对函数一致连续方面