高中数学课件精选--随机变量的均值

1、高中数学课件精选-随机变量的均值离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值第一课时第一课时问题：某人射击问题：某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数；则所得的平均环数是多少？是多少？2104332221111 X把环数看成随机变量的概率分布列：把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041 X权数权数加权平均加权平均 X P 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx 则称 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望（Mathemati

2、cal expectation）. 1122()iinnE Xx px px px p它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平.随机变量的均值与样本均值的区别与联系？随机变量的均值与样本的随机变量的均值与样本的平均值有何区别和联系平均值有何区别和联系随机变量的均值是常数，而样本的平均值随随机变量的均值是常数，而样本的平均值随 着样本的不同而变化，因而样本的平均值是着样本的不同而变化，因而样本的平均值是 随机变量；随机变量；对于简单随机样本，随着样本容量的增加，对于简单随机样本，随着样本容量的增加， 样本的平均值越来越接近总体的平均值，因样本的平均值越来越接近总体的平均值，因 此，我们常用样

3、本的平均值来估计总体的平此，我们常用样本的平均值来估计总体的平 均值。均值。例题例题1 随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望的期望. X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为E(X)=1 1/6+2 1/6+31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5你能理解3.5的含义吗？变式：将所得点数的变式：将所得点数的2倍加倍加1作为得分数，作为得分数， 即即Y=2X+1，试求，试求Y的的期望？期望？例题例题1随机抛掷一个均匀的骰

4、子，求所得骰子随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数的点数X的期望的期望 Y 3 5 7 9 11 13 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量Y的均值为 E(Y) =3 1/6+5 1/6+71/6+9 1/6+11 1/6+13 1/6=8=2E(X)+1设设X X为为离离散散型型随随机机变变量量，若若Y Y= =a aX X+ +b b, ,其其中中a a, ,b b为为常常数数，则则E E( (Y Y) )= = ? ? X P ()(),1,2,3iiP YaxbP Xxin而解：设离散型随机变量X的概率

5、分布为ip2x2pnpix1x1pnx所以Y的分布列为 Y P ip2axb 2pnpiaxb 1axb 1pnaxb 1122( ) ()()()nnEYaxb paxb paxb p1122()nna x px px p12()nb ppp()aE Xb若若Y Y= =a aX X+ +b b, ,则则E E( (Y Y）= =a aE E( (X X) )+ +b b线线性性性性质质离散型随机变量均值的线性性质离散型随机变量均值的线性性质()()E aXbaE Xb1、随机变量的分布列是135P0.50.30.2(1)则E= . 2、随机变量的分布列是2.4(2)若=2+1，则E= .

6、5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则a= b= .0.40.13、E(-E)的值是_0解:X X的分布列为 所以 E(X)0P(X0)1P(X1)00.1510.850.85例题2篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分 X X 的均值？ X 0 1 P 0.15 0.85解:X的分布列为 所以 E(X)0P(X0)1P(X1)00.1510.850.85例题2 X 0 1 P 0.15 0.85P1-PP1-PP篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得

7、分X的均值？例题2变式：若姚明在某次比赛中罚球n次， 求他罚球的得分X的均值？若XB(1，0.85), 则E(X)=0.85若XB(n，0.85), 则E(X)=?你能猜想出结果吗?篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分X的均值？ 求证： 若XB(n，p)， 则E(X)= npE(X) =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0P(X=k)= Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q

8、(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0) X 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0( k Cnk =n Cn-1k-1)= np(p+q)n-1=np()()E aXbaE Xb(1)线性性质线性性质 若XB(n，p)， 则E(X)= np(2)两点分布的均值两点分布的均值(3)二项分布的均值二项分布的均值 若XB(1，p)， 则E(X)= p离散型随机变量均值的定义离散型随机变量均值的定义 X P 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx 则称 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期

9、望。 1122()iinnE Xx px px px p小 结离散型随机变量均值的性质离散型随机变量均值的性质()()E aXbaE Xb(1)随机变量均值的线性性质 若XB(n，p)， 则E(X)= np(2)服从两点分布的均值(3)服从二项分布的均值 若XB(1，p)， 则E(X)= p归纳求离散型随机变量均值的步骤归纳求离散型随机变量均值的步骤确定所有可能取值；确定所有可能取值；写出分布列；写出分布列；求出均值求出均值离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值第二课时第二课时温故而知新1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）1niiiEXx p2、均值的线性性质()E aXbaE Xb（

10、 ）3、两种特殊分布的均值（1）若随机变量X服从两点分布，则E Xp（ ）（2）若 ，则( , )XB n pE Xnp（ ）反映了离散型随机变量取值的平均水平.课前热身11 ( ,), ( , ),(21)31,(2) .23B nB nEE已知且则8从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望;(3) 求“所选3人中女生人数X1”的概率.例题1(2009上海理，7)某学校要从5名男生和2名女生 中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E()=_(结果用最简分数表示)

11、. 解析 的可能取值为0,1,2,.7422111211002110)(,211CC)2(,2110CCC) 1(,2110CC)0(27222712152725EPPP74一次英语单元测验由一次英语单元测验由2020个选择题构成，每个选个选择题构成，每个选择题有择题有4 4个选项，其中有且仅有一个选项是正确个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得答案，每题选择正确答案得5 5分，不作出选择或分，不作出选择或选错不得分，满分选错不得分，满分100100分。学生甲选对任一题的分。学生甲选对任一题的概率为概率为0.90.9，学生乙则在测验中对每题都从，学生乙则在测验中对每题都从4

12、 4个个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。这次英语单元测验中的成绩的均值。例题2解： 设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是X和Y，则 XB(20，0.9)， YB(20，0.25)，E(X)200.918，E(Y)200.255由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5X和5Y。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是E(5X)5EX51890，E(5Y)5EY5525 不一定不一定, ,其含义是在多次类似的测试中其含义是在多次类似的测试中, ,他的平均成他的平均成绩大约

13、是绩大约是9090分分思考思考: :学生甲在这次测试中的成绩一定会是学生甲在这次测试中的成绩一定会是9090分吗分吗? ?他的他的均值为均值为9090分的含义是什么分的含义是什么? ?例例3 3 （决策问题）（决策问题）解解: :因为商场内的促销活动可获效益因为商场内的促销活动可获效益2 2万元万元设商场外的促销活动可获效益设商场外的促销活动可获效益 万元万元, ,则则 的分布列的分布列P 10 40.6 0.4所以所以E =10 0.6(-4) 0.4=4.4因为因为4.42,所以商场应选择在商场外进行促销所以商场应选择在商场外进行促销. .统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元

14、；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？12人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需缴纳保险费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡，则赔付1万元，经统计，此年龄段一年内意外死亡的概率是p ,非意外死亡的概率为p ,则a满足什么条件，保险公司才能盈利？高考练兵高考练兵1122()iinnE Xx px px px p小 结1. 离散型随机变量均值的性质离散型随机变量均值的性质()()E aXbaE Xb若XB(n，p)， 则E(X)= np若XB(1，p)， 则E(X)= p2. 求离散型随机变量均值的步骤求离散型随机变量均值的步骤确定所有可能取值；确定所有可能取值；写出分布列；写出分布列；求出均值求出均值彩球游戏准备一个布袋，内装彩球游戏准备一个布袋，内装6 6个红球与个红球与6 6个白球，除颜色个白