大学物理,气体动理论14-06麦克斯韦气体分子速率分布律

1、12气体分子处在永不停息气体分子处在永不停息的无规则的运动中，由于碰的无规则的运动中，由于碰撞，每个分子的速度都在不撞，每个分子的速度都在不断地改变。断地改变。大量分子整体：大量分子整体：在一定条件下，分子的速率在一定条件下，分子的速率分布分布气体速率分布律气体速率分布律。 某个分子某个分子：其：其速度的大速度的大小和方向完全是小和方向完全是。可以用可以用某一速率区间内分子数占总分子数的某一速率区间内分子数占总分子数的百分比百分比来表示来表示分子按速率的分布规律分子按速率的分布规律。3分布的概念分布的概念1）学生人数按成绩的分布）学生人数按成绩的分布（学生总人数为（学生总人数为200人，以人，

2、以10分为一个分数区间）分为一个分数区间）60 208071100916520%10%5 .32%10 分数区间分数区间人数按分人数按分数的分布数的分布人数比率按人数比率按分数的分布分数的分布%5 .22457061908150%25N NN 42）伽尔顿板实验：）伽尔顿板实验：大量大量小球按位置的分布。小球按位置的分布。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53）气体分子按速率的分布）气体分子按速率的分布（设总分子数为（设总分子数为N，

3、分子速率在，分子速率在 0 都是可能的，都是可能的，以以 为一个分数区间）为一个分数区间）vvv 21 1N 32 1 ii 2N iN NN1 NN2 NNi 速率区间速率区间分子数按速分子数按速率的分布率的分布分子数比率按分子数比率按速率的分布速率的分布6气体分子按速率分布的统计规律最早是由气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克麦克斯韦斯韦于于1859年年在概率论的基础上导出的，在概率论的基础上导出的，1877年年玻玻耳兹曼耳兹曼由经典统计力学导出。由经典统计力学导出。由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到的实验，直到20世纪二十年代

4、才实现。世纪二十年代才实现。 1920年年斯特斯特恩恩首先测出银蒸汽分子的速率分布；首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年年我国物我国物理学家理学家葛正权葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年年密勒密勒和和库士库士测出钍蒸汽分子的速率分布。测出钍蒸汽分子的速率分布。斯特恩实验斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。布律的实验。实验证实了麦克斯韦的分子按速率分实验证实了麦克斯韦的分子按速率分布的统计规律。布的统计规律。7十九世纪英国最杰出的物理十九世纪英国最杰出的物理学家和数学家。学家和数学家。麦克斯韦麦克斯韦在在法拉第法

5、拉第等对电磁等对电磁现象研究的基础上，现象研究的基础上，建立了完整建立了完整的电磁场基本理论，并由此预言的电磁场基本理论，并由此预言了电磁波的存在了电磁波的存在，在麦克斯韦去，在麦克斯韦去世七年后，世七年后，赫兹赫兹用电火花实验证用电火花实验证实了电磁波的存在。实了电磁波的存在。此外此外麦克斯韦麦克斯韦还运用数学统还运用数学统计的方法，计的方法，导出了气体分子运动导出了气体分子运动的速率分布统计规律的速率分布统计规律。麦克斯韦麦克斯韦（James Clerk Maxwell1831-1879）8 实验装置实验装置一一 测定气体分子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验llvv2lHg金属蒸汽

6、金属蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵910测量原理测量原理(1) 能通过细槽到达检测能通过细槽到达检测器的分子所满足的条件器的分子所满足的条件LvvL(2) 通过改变角速度通过改变角速度的的大小，选择速率大小，选择速率 v (3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间通过细槽的宽度，选择不同的速率区间vv2L(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率下的分子数。相应速率下的分子数。 11氧分子在氧分子在273K时的时的速率分布速率分布速率区间速率区间 (m/s)百分数百分数 实验数据实验数据 实验结果：实验结果：在确定实验条件下，分布在任

7、一在确定实验条件下，分布在任一速率区间的分子数与总分子数的比值是确定的。速率区间的分子数与总分子数的比值是确定的。10020020030030040040050050060060070070080080090090010020.6 %1.4 %8.1 %16.5 %21.4 %15.1 %9.2 %4.8 %2.0 %0.9 %12分子速率分布图分子速率分布图N：分子总数分子总数N 为速率在为速率在 区间的分子数。区间的分子数。vvv)/(vNNovvvvS表示速率在表示速率在 区间的分区间的分子数占总数的百分比。子数占总数的百分比。NNSvvv13NN 与与 v 有关，有关，v 有关，有关，

8、dvv速率间隔很小速率间隔很小,该区间内分子数为该区间内分子数为dN，则：则：dvNdN )/(vNNovvvv S速率分布就是要指出，在速率分布就是要指出，在 v v + dv 区间的区间的分子数分子数 dN 占总分子数占总分子数 N 的百分比是多少。这一的百分比是多少。这一百分比在各速率区间是不同的，它应是速率百分比在各速率区间是不同的，它应是速率 v 的的函数，同时还与区间大小函数，同时还与区间大小 dv 成正比。成正比。d( )Nf v dvN14d( )NfvN dv 速率分布函数速率分布函数 vvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNfv)(vfo 表示在温度为表示在温度

9、为 的平衡的平衡状态下，速率在状态下，速率在 附近附近单位单位速率区间的速率区间的分子数占总分子分子数占总分子数的百分比。数的百分比。v物理意义物理意义T15SfNNdd)(dvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数分布函数 表示速率在表示速率在 区间的区间的分子数占总分子数的分子数占总分子数的百分比百分比。vvvd1d)(d00vvfNNN 归一归一化条件化条件v)(vfovvv dSd16v)(vfo1vS2vSfNNdd)(dvvvv d)(dNfN 速率位于速率位于 内内分子数分子数vvvdvvvvd)(21fNN 速率位于速率位于 区间的区间的分子数分子数2

10、1vv 21( )dNSfN vvvv速率位于速率位于 区间的区间的分子数占总数的百分比分子数占总数的百分比21vv 对单个分子用概率的观点来说。对单个分子用概率的观点来说。17二二 麦克斯韦气体速率分布定律麦克斯韦气体速率分布定律1860年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律。年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律。内容：内容：在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间忽略时，分布在任一速率区间 + d 的分子数的分子数占总分子数的比率为：占总分子数的比率为：vvvde)2(4d22232kTmkTmNN22232e)2(4)(vvvk

11、TmkTmf麦氏分布函数麦氏分布函数 反映理想气体在热动平衡条件下，各速率反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律区间分子数占总分子数的百分比的规律 。18说明说明:）麦克斯韦速率分布律只麦克斯韦速率分布律只适用于由大量分子组成的处适用于由大量分子组成的处于平衡态的气体，不能把它于平衡态的气体，不能把它应用于少量分子组成的气体应用于少量分子组成的气体系统；系统；从统计的概念来看，从统计的概念来看，速率恰好等于某一值的分子速率恰好等于某一值的分子数多少是没有意义的。数多少是没有意义的。） 在通常情况下实际气体分子的速率分布和在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯

12、韦速率分布能很好的符合。麦克斯韦速率分布能很好的符合。vvNddNf)(v)(vfo22232e)2(4)(vvvkTmkTmf麦氏分布函数麦氏分布函数19问题：问题： 试述气体分子试述气体分子速率分布函数速率分布函数 的物的物理意义理意义，请在以下四种表述中选出正确表述：，请在以下四种表述中选出正确表述：1）气体分子处于单位速率间隔的分子数与分子气体分子处于单位速率间隔的分子数与分子总数总数 N 的比值；的比值；2）气体分子处于速率气体分子处于速率 附近附近 速率间隔内速率间隔内的分子数与总分子数的比值；的分子数与总分子数的比值；3）平衡状态下，气体分子处于速率平衡状态下，气体分子处于速率率

13、率 间隔内的概率；间隔内的概率； 4）平衡状态下，气体分子处于速率平衡状态下，气体分子处于速率 附近单位附近单位速率间隔内的分子数与总分子数的百分比速率间隔内的分子数与总分子数的百分比 。20三三 三种统计速率三种统计速率pv1）最概然速率最概然速率0d)(dpvvvvfmkTmkT41. 12pvMRT41. 1pvkNRmNMAA,v)(vfopvmaxf根据分布函数求得：根据分布函数求得： 气体在一定温度下分布在最概然气体在一定温度下分布在最概然速率速率 附近单位速率间隔内的相对附近单位速率间隔内的相对分子数最多。分子数最多。pv物理意义物理意义21 同一温度下不同同一温度下不同气体的速

14、率分布气体的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfo 同种气体分子在不同种气体分子在不同温度下的速率分布同温度下的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfop22kTRTmMv22vv d)(dNfN 速率位于速率位于 内分子数内分子数:vvvd2）平均速率平均速率vd( )dNNfvvvv全速率区间分子的速率之和全速率区间分子的速率之和:0( )dNfvv v0( )dNfNvvvv08( )dkTfmvvv该该 区间分子的速率之和区间分子的速率之和:dvv)(vfoMRTmkT60.160.1v233）方均根速率方均根速率2vmkTv32v)(vfoNvvNfvNNvvN0

15、2022d)(d2pvvvMRTmkT332rmsvvMRTmkT60. 160. 1vMRTmkT22pv24Tpv v2vf(v)vO,2pmkTv ,8mkTv mkTv32三种速率应用场合不同：三种速率应用场合不同： 在讨论在讨论速率分布速率分布时，用时，用最可几速率最可几速率；在讨论在讨论分子碰撞分子碰撞时，用时，用平均速率平均速率；在计算在计算分子的平均平动分子的平均平动动能动能时，用时，用方均根速率方均根速率。都含有统计的平均意义，反映大量分子作热运动都含有统计的平均意义，反映大量分子作热运动的统计规律。的统计规律。25讨论讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概

16、然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率。是气体分子中大部分分子所具有的速率。（B） 是速率最大的速度值。是速率最大的速度值。（C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值。是麦克斯韦速率分布函数的最大值。（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大。率最大。pvpvpvpv26请说明下列各量的物理意义：请说明下列各量的物理意义：dvvf)()1dvvNf)()2 )()421vvdvvf21)()5 vvdvvNfdvvnf)()3 )()60dvvf )()702dvvfv27分布在速率分布

17、在速率 v 附近附近 v v + d v 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。 单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。( )Nf v dvdN( )NdNdNnf v dvVNV 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v 速率区间内的速率区间内的分子数占总分子数的比率。分子数占总分子数的比率。( )dNf v dvN请说明下列各量的物理意义：请说明下列各量的物理意义：282211()()( )vN vvN vdNNf v dvNN 分布在有限速率区间分布在有限速率区间 v1 v2 内

18、的分子数占总内的分子数占总分子数的比率。分子数的比率。2211()()( )vN vvN vNf v dvdN 分布在有限速率区分布在有限速率区间间 v1 v2 内的分子数。内的分子数。0( )1f v dv 分布在分布在 0 速率区间内的分子数速率区间内的分子数占总分子数的比率。占总分子数的比率。（ 归一化条件）归一化条件）220( )v f v dvv v 2 的平均值。的平均值。29哪一种解法对？哪一种解法对？;ddddd)(21212121vvvvvvvvvNNvvvNNvvvvf求：求：速率速率在在 v1 v2 之间的分子的平均速率。之间的分子的平均速率。 212121vvvvvvd

19、vvfdvvvfv)()( 2121vvvvdvvvfv)(30vvvvpd)(Nf1）pd)(212vvvv Nfm2）例：例：已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数求：求：1）速率在速率在 间的分子数；间的分子数； 2）速率在速率在 间所有分子动能之和。间所有分子动能之和。 vv p)(vfNmpvvv d)(dNfN 速率在速率在 间的分子数间的分子数vvvd31 例：例： 计算在计算在 时，氢气和氧气分子的时，氢气和氧气分子的方均方均根速率根速率 。rmsvC271Hmolkg002. 0M1Omolkg032. 0M11molKJ31. 8RK300TMRT3rmsv13rmssm1093. 1v氢气分子氢气分子1rmssm483v氧气分子氧气